一類分數(shù)階微分方程邊值問題解的存在性與唯一性

一類分數(shù)階微分方程邊值問題解的存在性與唯一性分數(shù)階微積分理論是最近幾年來發(fā)展起來的一門新興數(shù)學分支，它在數(shù)學、物理、工程、生物、經濟等領域都有著廣泛的應用。分數(shù)階微分方程是分數(shù)階微積分的基本工具之一，它可以描述許多具有分形結構的現(xiàn)象，如擴散、傳熱、非局部感應等。本文主要討論一類分數(shù)階微分方程邊值問題解的存在性與唯一性。一、引言分數(shù)階微分方程是一類含有分數(shù)階導數(shù)的微分方程，它的解具有描述非局部感應、擴散和傳輸?shù)忍卣?。分?shù)階微分方程在物理、數(shù)學和工程等領域有著廣泛的應用。在本文中，我們考慮下面的分數(shù)階微分方程：$$\\begin{aligned}D_ax(t)-c(x)t^{\\alpha-1}=f(x,t)&,\\quad0<x<1,\\quad0<t<T,\\\\x(0)=x(1)=0,\\quadx(t)&>0,\\quad0\\leqt\\leqT,\\end{aligned}$$其中$0<\\alpha<1$，$D_a^{\\alpha}$是分數(shù)階Riemann-Liouville導數(shù)，即$$D_a^{\\alpha}f(t)=\\frac{1}{\\Gamma(1-\\alpha)}\\frac7i3ip2p{dt}\\int^t_{a}\\frac{f(s)}{(t-s)^{\\alpha}}ds,\\quad\\alpha>0,$$$D_a$是常規(guī)導數(shù)，$c(x)>0$且$c(x)$連續(xù)，$f(x,t)$且$f(x,t)$連續(xù)，具有有界變化和線性增長，即存在正常數(shù)$M$和$p$及$\\forallx\\in[0,1],t\\in[0,T]$，使得$$|f_x(x,t)|\\leqM,\\quad|f_t(x,t)|\\leqMt^p.$$$x(0)=x(1)=0$且$x(t)>0$是邊值條件。我們的目標是證明這個方程的邊值問題存在唯一解。二、存在性為了證明存在性，我們需要利用直接法，即構造函數(shù)序列$\\{x_n(t)\\}$近似于$x(t)$，使得$\\{x_n(t)\\}$滿足方程以及邊界條件，并證明$\\{x_n(t)\\}$在特定空間中的極限為$x(t)$。我們構造以下的近似函數(shù)序列$$x_n(t)=\\int^1_0G_n(x,t)y(x)dx,$$其中$G_n(x,t)$是滿足下列條件的函數(shù)：$$\\begin{aligned}&\\text{(a)}\\quadG_n(x,t)\\inC^{\\alpha}[0,1]\\times[0,T],\\\\&\\text{(b)}\\quadt^{-\\alpha}D_a^{\\alpha}[G_n(x,t)]=\\begin{cases}1,&n\\leqx\\\\0,&n>x\\end{cases},\\quadx\\in[0,1],t\\in[0,T]\\\\&\\text{(c)}\\quad\\|G_n\\|_{\\infty}\\leqC,\\quad\\text{且}\\|t^{-\\alpha}D_a^{\\alpha}G_n\\|_{\\infty}\\leqC/n,\\end{aligned}$$其中$y(x)=\\int^T_0[x(t)-c(x)t^{\\alpha-1}f(x,t)]dt$。由于$f(x,t)$有界變化和線性增長，所以$y(x)$是有界的。容易證明上述條件(b)和(c)是可行的。我們現(xiàn)在將上述函數(shù)$G_n(x,t)$帶入到$x_n(t)$中：$$\\begin{aligned}x_n(t)&=\\int^1_0G_n(x,t)y(x)dx\\\\&=\\int^t_0\\int^1_0G_n(x,t)D_a^{\\alpha}y(x)(t-s)^{-\\alpha}dsdx+\\int^1_0G_n(x,t)y(x)dt.\\end{aligned}$$因此，$$\\begin{aligned}x_n(t)-x_0(t)-\\int^t_0\\int^1_0G_n(x,t)c(x)s^{-\\alpha}f(x,s)(t-s)^{-\\alpha}dsdx&=\\int^t_0\\int^1_0G_n(x,t)D_a^{\\alpha}(x_0-c(x)s^{-\\alpha}f(x,s))(t-s)^{-\\alpha}dsdx\\\\&+\\int^1_0G_n(x,t)(y(x)-y_0(x))dt,\\end{aligned}$$其中$x_0(t)=x(0)=0$，$y_0(x)=\\int^T_0c(x)t^{\\alpha-1}f(x,t)dt$。因此，我們必須證明$\\|x_n(t)-x_0(t)-\\int^t_0\\int^1_0G_n(x,t)c(x)s^{-\\alpha}f(x,s)(t-s)^{-\\alpha}dsdx\\|$對于$n\\rightarrow\\infty$趨向于$0$。然后，我們必須證明$\\int^1_0G_n(x,t)D_a^{\\alpha}(x_0-c(x)s^{-\\alpha}f(x,s))(t-s)^{-\\alpha}dsdx$和$\\int^1_0G_n(x,t)(y(x)-y_0(x))dt$都趨向于$0$。最終得到$x_n(t)$的極限函數(shù)$x(t)$滿足方程以及邊界條件，從而存在性得證。三、唯一性為了證明唯一性，我們需要利用反證法，假設存在兩個不同的解$x_1(t)$和$x_2(t)$。定義$E(t)=x_1(t)-x_2(t)$。很明顯，$E(t)$是滿足以下方程：$$D_ax(t)-c(x)t^{\\alpha-1}=0,\\quad0<x<1,\\quad0<t<T,$$且$x(0)=x(1)=0$?，F(xiàn)在，我們考慮下面兩個問題：問題1：是否存在非零解$E(t)$且$E(t)$滿足$E(t)=0$僅在$t=0$和$t=T$時成立？問題2：是否存在一個正常數(shù)$\\delta$使得如果$E(0)=E(T)=0$，則$\\|E(t)\\|<\\delta$對于所有的$t\\in[0,T]$成立？問題1的解非常簡單。令$h(x)=c(x){\\Gamma(2-\\alpha)}^{-1}x^{2-\\alpha}$，則$h\\inC^1[0,1]$且$h(x)>0$。令$$Q(t)=\\int^1_0E'^{2}(x,t)h(x)dx,\\quad\\text{且}\\quadH(t)=\\int^1_0|E_x(x,t)|^2dx,$$由于$E(t)$滿足$E(0)=E(T)=0$，則有$Q(0)=Q(T)=H(0)=H(T)=0$。因此，$Q(t)$和$H(t)$的上升性質保證了在$[0,T]$上，如果$E(t)$非零，則存在$t_0\\in(0,T)$，使得$Q(t_0)>0$或$H(t_0)>0$。因此，$E(t)$不能是在$(0,T)$上嚴格正的。問題2的解也非常簡單。由于$E(t)$滿足$E(t)=0$僅在$t=0$和$t=T$時成立，則必須存在一個$\\delta>0$和$0<t_0<T/2$，使得$|E(t_0)|=\\delta$。由此，可以定義$h_0=c(x)\\Gamma(2-\\alpha)^{-1}x^{2-\\alpha}$，則：$$\\begin{aligned}\\fracakyghoc{dt}(\\delta^2H)&=\\int^1_0E\\left[D_ax-\\frac{c(x)t^{\\alpha-1}}{\\Gamma(2-\\alpha)x^{2-\\alpha}}E_x\\right](x,t)h_0(x)dx\\\\&=\\int^1_0E\\left[\\fraclya8ae3{dx}\\left(c(x)\\frac{t^{\\alpha}}{\\Gamma(2-\\alpha)}E_x\\right)+c'(x)\\frac{t^{\\alpha}}{\\Gamma(2-\\alpha)}E_x\\right](x,t)h_0(x)dx\\\\&=\\int^1_0E\\fracsc338ip{dx}\\left(c(x)\\frac{t^{\\alpha}}{\\Ga