4 微分方程建模實例-Malthus模型與Logistic模型

4微分方程建?！狹althus模型與Logistic模型4.1.人口增加模型4.2.贗品的判定4.3.耐用新產(chǎn)品的銷售速度問題4.4.傳得病模型4.1人口增加模型

年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增加大體中國人口增加大體

年19081933195319641982199019952000

人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律，控制人口過快增加！模型一(最簡單的人口增加模型)：假定今年的人口是x0,人口的年增加率是常數(shù)r,于是，k年后的人口為:美麗的大自然模型二(指數(shù)增加模型，即Malthus模型)：馬爾薩斯(1766～1834)

Malthus，Thomas

Robert英國有名經(jīng)濟學家，出生于英格蘭的一個土地貴族家庭.1784年進入劍橋大學學習，1798年加入英國教會的僧籍,任牧師.1799年到歐洲一些國家檢查人口問題.1805年成為英國第一位(也是世界上第一位)政治經(jīng)濟學教授.模型假定：人口增加率r是常數(shù).人口的數(shù)目本應取失散值，但因為人口數(shù)目一般較大，為成立微分方程模型，能夠?qū)⑷丝跀?shù)目看作連續(xù)變量，甚至贊成它為可微變量，由此惹起的偏差將是十分渺小的.模型構(gòu)成：設(shè)x(t)表示t時刻的人口，有當r>0，跟著時間的增加，人口按指數(shù)規(guī)律無窮增加!回想：模型檢驗：比較歷年的人口統(tǒng)計資料，能夠發(fā)現(xiàn)人口增加的實質(zhì)狀況與馬爾薩斯模型的預告結(jié)果基真符合.特別，利用馬爾薩斯模型考證并檢查1700年至1961的260年間人口實質(zhì)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)二者幾乎完好一致！比如，1961年世界人口數(shù)為30.6億，人口數(shù)大概每35年增加一倍.模型展望：若是人口數(shù)真能保持每35年增加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級數(shù)的方式增加。比如，到2510年，人口達2×1014個，即使海洋所有變?yōu)殛懙?，每人也只?.3平方英尺的活動范圍，而到2670年，人口達36×1015個，只能一個人站在另一人的肩上排成二層了.故馬爾薩斯模型是不完美的.Malthus模型實質(zhì)上只有在集體總數(shù)不太大時才合理，當總數(shù)增大時，生物集體的各成員之間因為有限的生計空間，有限的自然資源及食品等原因，即可能發(fā)生生計競爭等現(xiàn)象.所以Malthus模型假定的人口凈增加率不可能一直保持常數(shù)，它應當與人口數(shù)目有關(guān).模型三(阻滯增加模型，即Logistic模型)：由荷蘭生物數(shù)學家P.F.Verhust于1837年在研究人口問題時成立.鑒于這個模型能夠描述一些事物的客觀規(guī)律，常被稱為Logistic模型.因為空間和資源都是有限的，不可能奉養(yǎng)無窮增加的種群個體，當種群數(shù)目過多時，因為人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增加等原因，出生率將降低而死亡率卻會提高.阻滯作用隨人口數(shù)目增加而變大r

是

x的減函數(shù)假定r(0)=r0：固有增加率xm：人口容量(資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)目)s的意義是什么？dx/dtx0xmxm/2xmtx0x0xm/2模型檢驗和展望：大量實驗資料表示用Logistic模型描述種群的增加，成效相當不錯!比如，數(shù)學家高斯把5只草履蟲放進一個盛有0.5cm3營養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開始時草履蟲以每天230.9%的速率增加，此后增加速度不斷減慢，到第五天達到最大量375個，實驗數(shù)據(jù)與r0=2.309，x0=5,xm=375的Logistic曲線：幾乎完好符合.Malthus模型與Logistic模型固然都是為了研究種群數(shù)目的增加狀況而成立的，但它們也可用來研究其余實質(zhì)問題，只需這些實質(zhì)問題的數(shù)學規(guī)律與Malthus模型與Logistic模型所反應的數(shù)學規(guī)律近似即可.阻滯增加模型從必定程度上戰(zhàn)勝了指數(shù)增加模型的不足，能夠被用來做相對較長時期的人口展望；而指數(shù)增加模型在做人口的短期展望時因為其形式的相對簡單性也常被采用.總結(jié)4.2贗品的判定在第二次世界大戰(zhàn)比利時解放后，荷蘭野戰(zhàn)軍保安機關(guān)開始搜捕納粹合謀犯.他們從一家曾向納粹德國出賣過藝術(shù)品的公司中發(fā)現(xiàn)線索，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了三流畫家漢·凡·米格倫(HanvanMeegeren)，這人曾將17世紀荷蘭有名畫家約翰內(nèi)斯·維米爾(JohannesVermeer)的一些油畫賣給了當時納粹德國的空軍司令戈林.維米爾名作《戴珍珠耳環(huán)的少女》最初，米格倫的確慌張了一陣子.但是，米格倫在同年7月12日在牢里突然宣稱：他從未把真畫賣給戈林，并且他還說，這些畫包含當時眾所周知的油畫《在埃牟斯的門徒》都是他自己為“捉弄納粹”的仿造品.一位法官試圖證明米格倫確有經(jīng)過制贗牟利的動機，他卻高調(diào)回答：“假如我不賣個高價，他們就不會相信這是真的！”《在埃牟斯的門徒》（TheDisciplesatEmmaus）米格倫最有名的偽作之一這件事在當時震驚了全世界，為了證明自己是一個假造者，米格倫在牢獄里開始假造維米爾的油畫《在埃牟斯的門徒》.旁聽的公眾為之瘋狂，在短短的時間內(nèi)，賣國賊成了民族英豪，罪名轉(zhuǎn)變?yōu)槭⒚?947年10月12日米格倫被宣布犯有假造罪，判刑一年.但是他在牢獄中只待了兩個多月就因心臟病發(fā)生，于1947年12月30日去世了.六十年后，美國記者、專欄作家喬納森·洛佩茲(JonathanLopez)第一版了《制造維米爾的人》(ThemanwhomadeVermeers)一書.在書中，洛佩茲表達了對那個時代荷蘭人民的諒解：“荷蘭人對米格倫的態(tài)度并不是不可理解.在二戰(zhàn)中，這個國家遭受了殘忍的欺侮，光復也是在盟國的幫助下達成.米格倫給了未能主宰自己命運的荷蘭人內(nèi)心深處想要獲取的東西.而對于‘欺騙’這種事情，他又是太熟諳了.”但是，事情到此并未結(jié)束，很多人還是不肯相信有名的《在埃牟斯的門徒》是米格倫假造的.事實上，在此以前這幅畫已經(jīng)被文物判定家認定為真跡，并以17萬美元的高價被倫布蘭特學會買下.專家小組對于思疑者的回答是：因為米格倫曾因他在藝術(shù)界中沒有地位而十分煩惱，他下信心繪制《在埃牟斯的門徒》，來證明他高于三流畫家.當創(chuàng)立出這樣的杰作后，他的志氣減退了.并且，當他看到這幅《在埃牟斯的門徒》那么簡單賣掉此后，他在炮制此后的偽制品時就不太專心了.這種解說不可以使思疑者感覺滿意，他們要求完好科學確定地證明《在埃牟斯的門徒》的確是一個假造品.這一問題拖了20年，直到1967年，才被卡內(nèi)基·梅倫大學的科學家們基本解決.原理與模型出發(fā)點：測定油畫中顏料礦物質(zhì)的年齡.測定年齡的重點依靠于二十世紀初發(fā)現(xiàn)的放射性現(xiàn)象.放射性現(xiàn)象：有名物理學家盧瑟夫在二十世紀初發(fā)現(xiàn)，某些“放射性”元素的原子是不穩(wěn)固的，在一段時間內(nèi)，有必定比率的原子會自然演變形成新元素的原子，且物質(zhì)的放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù).用N(t)表示時刻t時存在的原子數(shù),則：(λ為物質(zhì)的衰變率)λ和N(t)能測出或算出，只需再知道N0即可斷代.這正是問題的難處，下面是間接確定N0的方法.與負增長的Malthus模型完全一樣其解為:稱t–t0為衰變時間,于是與本問題有關(guān)的其余知識:(1)藝術(shù)家們應用白鉛作為顏料之一，已有兩千多年歷史.白鉛中含有微量的放射鉛210，白鉛是從鉛礦中提煉出來的，而鉛又屬于鈾系.(2)衡量物質(zhì)衰變的一個常用參數(shù)是它的半衰期，即給定數(shù)目的放射性原子衰變一半所需的時間.令則有:利用(3)鈾238鐳226鉛210釙210鉛206(放射性)(無放射性)地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾.一方面，鈾系中各種放射性物質(zhì)均在不斷衰減；另一方面，鈾又不斷衰減，補充著此后繼元素.設(shè)t時刻1克白鉛中鉛210的含量為N(t)；設(shè)鐳單位時間鉛210的分解數(shù)為r(常數(shù))；設(shè)λ為鉛210的衰變率，則N(t)滿足微分方程：由此解得：模型構(gòu)成：若此畫是真品，t-t0≈300(年).從而可求出λN0的近似值.對油畫《在埃牟斯的門徒》詳細計算以下：于是，因為半衰期:于是，地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾.一方面，鈾系中的各種放射性物質(zhì)均在不斷衰減，另一方面，鈾又不斷地衰減，補充著此后繼元素.從而，各種放射性物質(zhì)（除鈾以外）在巖石中處于放射性均衡中.從鉛礦中提煉鉛時，鉛210與鉛206一起被作為鉛留下，而其余物質(zhì)則有90—95%被留在礦渣里，因此打破了原有的放射性均衡.各地采集的巖石中鈾的含量差異很大，但從未發(fā)現(xiàn)含量高于3%的.與本問題有關(guān)的進一步的知識:因為提煉前巖石中的鈾系是處于放射性均衡的，故鈾與鉛的單位時間分解數(shù)相同.設(shè)λu是鈾的衰變率，λ是鉛210的衰變率，U0是0時刻白鉛中鈾的含量，N0是0時刻白鉛中鉛210的含量.于是，由此計算出每克白鉛中鉛210每分鐘分解數(shù)不可以大于30000個，不然鈾的含量將超出4%，而這是不可能的.若則(個)這些鈾約0.04克！即每克白鉛約含0.04克鈾，含量為4%.以上確定了每克白鉛中鉛分解數(shù)的上界，若畫上的鉛分解數(shù)大于該值，說明畫是贗品；但若是小于不可以判定畫必定是真品.4.3耐用新產(chǎn)品的銷售速度問題一種耐用新產(chǎn)品進入市場后，一般會都經(jīng)過一個銷售量先不斷增加，而后下降的過程.研究新產(chǎn)品銷售量的變化規(guī)律,對于擬定生產(chǎn)計劃以及擬定促銷策略都很存心義.如何成立數(shù)學模型描述產(chǎn)品的銷售速度，并由此給出一些實用的結(jié)果以指導生產(chǎn)？模型構(gòu)成：設(shè)需求量有一個上界，記此上界為K.(對于耐用產(chǎn)品,人們一般不會重復購買.所以,產(chǎn)品的積累銷售量可認為是購買者人數(shù))記t時刻已銷售出的商品數(shù)目為x(t)，則還沒有使用該商品的人數(shù)為K－x(t).于是，x(t)滿足此方程即Logistic模型，解為：dx/dtx0KK/2此方程即Logistic模型，解為：在銷出量小于最大需求量的一半時，銷售速度是不斷增大的，銷出量達到最大需求量的一半時，該產(chǎn)品最為熱賣，接著銷售速度將開始下降.Ktx0x0K/2此方程即Logistic模型，解為：所以早期應采納小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳；從有20%用戶到有80%用戶這段時期，應當大量量生產(chǎn)；后期則應合時轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣做能夠獲得較高的經(jīng)濟成效.4.4傳得病模型醫(yī)學科學的發(fā)展已經(jīng)能夠有效地預防和控制很多傳得病，天花在世界范圍內(nèi)被消滅，鼠疫、霍亂等傳得病獲取控制.但是仍舊有一些傳得病暴發(fā)或流行，危害人們的健康和生命.被傳染的人數(shù)與哪些因素有關(guān)？如何預告?zhèn)鞯貌「叱钡牡絹?？模型一記時刻t已感染(infective)的病人數(shù)為i(t).每個病人在單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)為常數(shù).一個人生病后，持久不愈，人在傳染期內(nèi)不會死亡.設(shè)i(t)是連續(xù)可微函數(shù).開始時有i0個傳得病人.模型假定及符號說明：模型構(gòu)成：模型檢驗：此模型即Malthus模型.它大概上反應了傳得病流行早期的病人增加狀況，在醫(yī)學上有必定的參照價值；但跟著時間的推移，將愈來愈偏離實質(zhì)狀況.在傳得病流傳時期，一個病人單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)應當是變化的.有必需將人群區(qū)分紅病人與健康者，來成立兩房室系統(tǒng).在早期，較大；跟著病人的增加，健康者減少，被傳染的機遇也將減少，于是就會變小.模型二(SI模型)模型假定及