4 微分方程建模實(shí)例-Malthus模型與Logistic模型

4微分方程建?！狹althus模型與Logistic模型4.1.人口增加模型4.2.贗品的判定4.3.耐用新產(chǎn)品的銷售速度問(wèn)題4.4.傳得病模型4.1人口增加模型

年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增加大體中國(guó)人口增加大體

年19081933195319641982199019952000

人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律，控制人口過(guò)快增加！模型一(最簡(jiǎn)單的人口增加模型)：假定今年的人口是x0,人口的年增加率是常數(shù)r,于是，k年后的人口為:美麗的大自然模型二(指數(shù)增加模型，即Malthus模型)：馬爾薩斯(1766～1834)

Malthus，Thomas

Robert英國(guó)有名經(jīng)濟(jì)學(xué)家，出生于英格蘭的一個(gè)土地貴族家庭.1784年進(jìn)入劍橋大學(xué)學(xué)習(xí)，1798年加入英國(guó)教會(huì)的僧籍,任牧師.1799年到歐洲一些國(guó)家檢查人口問(wèn)題.1805年成為英國(guó)第一位(也是世界上第一位)政治經(jīng)濟(jì)學(xué)教授.模型假定：人口增加率r是常數(shù).人口的數(shù)目本應(yīng)取失散值，但因?yàn)槿丝跀?shù)目一般較大，為成立微分方程模型，能夠?qū)⑷丝跀?shù)目看作連續(xù)變量，甚至贊成它為可微變量，由此惹起的偏差將是十分渺小的.模型構(gòu)成：設(shè)x(t)表示t時(shí)刻的人口，有當(dāng)r>0，跟著時(shí)間的增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)窮增加!回想：模型檢驗(yàn)：比較歷年的人口統(tǒng)計(jì)資料，能夠發(fā)現(xiàn)人口增加的實(shí)質(zhì)狀況與馬爾薩斯模型的預(yù)告結(jié)果基真符合.特別，利用馬爾薩斯模型考證并檢查1700年至1961的260年間人口實(shí)質(zhì)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)二者幾乎完好一致！比如，1961年世界人口數(shù)為30.6億，人口數(shù)大概每35年增加一倍.模型展望：若是人口數(shù)真能保持每35年增加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級(jí)數(shù)的方式增加。比如，到2510年，人口達(dá)2×1014個(gè)，即使海洋所有變?yōu)殛懙?，每人也只?.3平方英尺的活動(dòng)范圍，而到2670年，人口達(dá)36×1015個(gè)，只能一個(gè)人站在另一人的肩上排成二層了.故馬爾薩斯模型是不完美的.Malthus模型實(shí)質(zhì)上只有在集體總數(shù)不太大時(shí)才合理，當(dāng)總數(shù)增大時(shí)，生物集體的各成員之間因?yàn)橛邢薜纳?jì)空間，有限的自然資源及食品等原因，即可能發(fā)生生計(jì)競(jìng)爭(zhēng)等現(xiàn)象.所以Malthus模型假定的人口凈增加率不可能一直保持常數(shù)，它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)目有關(guān).模型三(阻滯增加模型，即Logistic模型)：由荷蘭生物數(shù)學(xué)家P.F.Verhust于1837年在研究人口問(wèn)題時(shí)成立.鑒于這個(gè)模型能夠描述一些事物的客觀規(guī)律，常被稱為L(zhǎng)ogistic模型.因?yàn)榭臻g和資源都是有限的，不可能奉養(yǎng)無(wú)窮增加的種群個(gè)體，當(dāng)種群數(shù)目過(guò)多時(shí)，因?yàn)槿司Y源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增加等原因，出生率將降低而死亡率卻會(huì)提高.阻滯作用隨人口數(shù)目增加而變大r

是

x的減函數(shù)假定r(0)=r0：固有增加率xm：人口容量(資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)目)s的意義是什么？dx/dtx0xmxm/2xmtx0x0xm/2模型檢驗(yàn)和展望：大量實(shí)驗(yàn)資料表示用Logistic模型描述種群的增加，成效相當(dāng)不錯(cuò)!比如，數(shù)學(xué)家高斯把5只草履蟲(chóng)放進(jìn)一個(gè)盛有0.5cm3營(yíng)養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開(kāi)始時(shí)草履蟲(chóng)以每天230.9%的速率增加，此后增加速度不斷減慢，到第五天達(dá)到最大量375個(gè)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與r0=2.309，x0=5,xm=375的Logistic曲線：幾乎完好符合.Malthus模型與Logistic模型固然都是為了研究種群數(shù)目的增加狀況而成立的，但它們也可用來(lái)研究其余實(shí)質(zhì)問(wèn)題，只需這些實(shí)質(zhì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)規(guī)律與Malthus模型與Logistic模型所反應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)律近似即可.阻滯增加模型從必定程度上戰(zhàn)勝了指數(shù)增加模型的不足，能夠被用來(lái)做相對(duì)較長(zhǎng)時(shí)期的人口展望；而指數(shù)增加模型在做人口的短期展望時(shí)因?yàn)槠湫问降南鄬?duì)簡(jiǎn)單性也常被采用.總結(jié)4.2贗品的判定在第二次世界大戰(zhàn)比利時(shí)解放后，荷蘭野戰(zhàn)軍保安機(jī)關(guān)開(kāi)始搜捕納粹合謀犯.他們從一家曾向納粹德國(guó)出賣過(guò)藝術(shù)品的公司中發(fā)現(xiàn)線索，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了三流畫家漢·凡·米格倫(HanvanMeegeren)，這人曾將17世紀(jì)荷蘭有名畫家約翰內(nèi)斯·維米爾(JohannesVermeer)的一些油畫賣給了當(dāng)時(shí)納粹德國(guó)的空軍司令戈林.維米爾名作《戴珍珠耳環(huán)的少女》最初，米格倫的確慌張了一陣子.但是，米格倫在同年7月12日在牢里突然宣稱：他從未把真畫賣給戈林，并且他還說(shuō)，這些畫包含當(dāng)時(shí)眾所周知的油畫《在埃牟斯的門徒》都是他自己為“捉弄納粹”的仿造品.一位法官試圖證明米格倫確有經(jīng)過(guò)制贗牟利的動(dòng)機(jī)，他卻高調(diào)回答：“假如我不賣個(gè)高價(jià)，他們就不會(huì)相信這是真的！”《在埃牟斯的門徒》（TheDisciplesatEmmaus）米格倫最有名的偽作之一這件事在當(dāng)時(shí)震驚了全世界，為了證明自己是一個(gè)假造者，米格倫在牢獄里開(kāi)始假造維米爾的油畫《在埃牟斯的門徒》.旁聽(tīng)的公眾為之瘋狂，在短短的時(shí)間內(nèi)，賣國(guó)賊成了民族英豪，罪名轉(zhuǎn)變?yōu)槭⒚?947年10月12日米格倫被宣布犯有假造罪，判刑一年.但是他在牢獄中只待了兩個(gè)多月就因心臟病發(fā)生，于1947年12月30日去世了.六十年后，美國(guó)記者、專欄作家喬納森·洛佩茲(JonathanLopez)第一版了《制造維米爾的人》(ThemanwhomadeVermeers)一書.在書中，洛佩茲表達(dá)了對(duì)那個(gè)時(shí)代荷蘭人民的諒解：“荷蘭人對(duì)米格倫的態(tài)度并不是不可理解.在二戰(zhàn)中，這個(gè)國(guó)家遭受了殘忍的欺侮，光復(fù)也是在盟國(guó)的幫助下達(dá)成.米格倫給了未能主宰自己命運(yùn)的荷蘭人內(nèi)心深處想要獲取的東西.而對(duì)于‘欺騙’這種事情，他又是太熟諳了.”但是，事情到此并未結(jié)束，很多人還是不肯相信有名的《在埃牟斯的門徒》是米格倫假造的.事實(shí)上，在此以前這幅畫已經(jīng)被文物判定家認(rèn)定為真跡，并以17萬(wàn)美元的高價(jià)被倫布蘭特學(xué)會(huì)買下.專家小組對(duì)于思疑者的回答是：因?yàn)槊赘駛愒蛩谒囆g(shù)界中沒(méi)有地位而十分煩惱，他下信心繪制《在埃牟斯的門徒》，來(lái)證明他高于三流畫家.當(dāng)創(chuàng)立出這樣的杰作后，他的志氣減退了.并且，當(dāng)他看到這幅《在埃牟斯的門徒》那么簡(jiǎn)單賣掉此后，他在炮制此后的偽制品時(shí)就不太專心了.這種解說(shuō)不可以使思疑者感覺(jué)滿意，他們要求完好科學(xué)確定地證明《在埃牟斯的門徒》的確是一個(gè)假造品.這一問(wèn)題拖了20年，直到1967年，才被卡內(nèi)基·梅倫大學(xué)的科學(xué)家們基本解決.原理與模型出發(fā)點(diǎn)：測(cè)定油畫中顏料礦物質(zhì)的年齡.測(cè)定年齡的重點(diǎn)依靠于二十世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)的放射性現(xiàn)象.放射性現(xiàn)象：有名物理學(xué)家盧瑟夫在二十世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)，某些“放射性”元素的原子是不穩(wěn)固的，在一段時(shí)間內(nèi)，有必定比率的原子會(huì)自然演變形成新元素的原子，且物質(zhì)的放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù).用N(t)表示時(shí)刻t時(shí)存在的原子數(shù),則：(λ為物質(zhì)的衰變率)λ和N(t)能測(cè)出或算出，只需再知道N0即可斷代.這正是問(wèn)題的難處，下面是間接確定N0的方法.與負(fù)增長(zhǎng)的Malthus模型完全一樣其解為:稱t–t0為衰變時(shí)間,于是與本問(wèn)題有關(guān)的其余知識(shí):(1)藝術(shù)家們應(yīng)用白鉛作為顏料之一，已有兩千多年歷史.白鉛中含有微量的放射鉛210，白鉛是從鉛礦中提煉出來(lái)的，而鉛又屬于鈾系.(2)衡量物質(zhì)衰變的一個(gè)常用參數(shù)是它的半衰期，即給定數(shù)目的放射性原子衰變一半所需的時(shí)間.令則有:利用(3)鈾238鐳226鉛210釙210鉛206(放射性)(無(wú)放射性)地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾.一方面，鈾系中各種放射性物質(zhì)均在不斷衰減；另一方面，鈾又不斷衰減，補(bǔ)充著此后繼元素.設(shè)t時(shí)刻1克白鉛中鉛210的含量為N(t)；設(shè)鐳單位時(shí)間鉛210的分解數(shù)為r(常數(shù))；設(shè)λ為鉛210的衰變率，則N(t)滿足微分方程：由此解得：模型構(gòu)成：若此畫是真品，t-t0≈300(年).從而可求出λN0的近似值.對(duì)油畫《在埃牟斯的門徒》詳細(xì)計(jì)算以下：于是，因?yàn)榘胨テ?于是，地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾.一方面，鈾系中的各種放射性物質(zhì)均在不斷衰減，另一方面，鈾又不斷地衰減，補(bǔ)充著此后繼元素.從而，各種放射性物質(zhì)（除鈾以外）在巖石中處于放射性均衡中.從鉛礦中提煉鉛時(shí)，鉛210與鉛206一起被作為鉛留下，而其余物質(zhì)則有90—95%被留在礦渣里，因此打破了原有的放射性均衡.各地采集的巖石中鈾的含量差異很大，但從未發(fā)現(xiàn)含量高于3%的.與本問(wèn)題有關(guān)的進(jìn)一步的知識(shí):因?yàn)樘釤捛皫r石中的鈾系是處于放射性均衡的，故鈾與鉛的單位時(shí)間分解數(shù)相同.設(shè)λu是鈾的衰變率，λ是鉛210的衰變率，U0是0時(shí)刻白鉛中鈾的含量，N0是0時(shí)刻白鉛中鉛210的含量.于是，由此計(jì)算出每克白鉛中鉛210每分鐘分解數(shù)不可以大于30000個(gè)，不然鈾的含量將超出4%，而這是不可能的.若則(個(gè))這些鈾約0.04克！即每克白鉛約含0.04克鈾，含量為4%.以上確定了每克白鉛中鉛分解數(shù)的上界，若畫上的鉛分解數(shù)大于該值，說(shuō)明畫是贗品；但若是小于不可以判定畫必定是真品.4.3耐用新產(chǎn)品的銷售速度問(wèn)題一種耐用新產(chǎn)品進(jìn)入市場(chǎng)后，一般會(huì)都經(jīng)過(guò)一個(gè)銷售量先不斷增加，而后下降的過(guò)程.研究新產(chǎn)品銷售量的變化規(guī)律,對(duì)于擬定生產(chǎn)計(jì)劃以及擬定促銷策略都很存心義.如何成立數(shù)學(xué)模型描述產(chǎn)品的銷售速度，并由此給出一些實(shí)用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)？模型構(gòu)成：設(shè)需求量有一個(gè)上界，記此上界為K.(對(duì)于耐用產(chǎn)品,人們一般不會(huì)重復(fù)購(gòu)買.所以,產(chǎn)品的積累銷售量可認(rèn)為是購(gòu)買者人數(shù))記t時(shí)刻已銷售出的商品數(shù)目為x(t)，則還沒(méi)有使用該商品的人數(shù)為K－x(t).于是，x(t)滿足此方程即Logistic模型，解為：dx/dtx0KK/2此方程即Logistic模型，解為：在銷出量小于最大需求量的一半時(shí)，銷售速度是不斷增大的，銷出量達(dá)到最大需求量的一半時(shí)，該產(chǎn)品最為熱賣，接著銷售速度將開(kāi)始下降.Ktx0x0K/2此方程即Logistic模型，解為：所以早期應(yīng)采納小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳；從有20%用戶到有80%用戶這段時(shí)期，應(yīng)當(dāng)大量量生產(chǎn)；后期則應(yīng)合時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣做能夠獲得較高的經(jīng)濟(jì)成效.4.4傳得病模型醫(yī)學(xué)科學(xué)的發(fā)展已經(jīng)能夠有效地預(yù)防和控制很多傳得病，天花在世界范圍內(nèi)被消滅，鼠疫、霍亂等傳得病獲取控制.但是仍舊有一些傳得病暴發(fā)或流行，危害人們的健康和生命.被傳染的人數(shù)與哪些因素有關(guān)？如何預(yù)告?zhèn)鞯貌「叱钡牡絹?lái)？模型一記時(shí)刻t已感染(infective)的病人數(shù)為i(t).每個(gè)病人在單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)為常數(shù).一個(gè)人生病后，持久不愈，人在傳染期內(nèi)不會(huì)死亡.設(shè)i(t)是連續(xù)可微函數(shù).開(kāi)始時(shí)有i0個(gè)傳得病人.模型假定及符號(hào)說(shuō)明：模型構(gòu)成：模型檢驗(yàn)：此模型即Malthus模型.它大概上反應(yīng)了傳得病流行早期的病人增加狀況，在醫(yī)學(xué)上有必定的參照價(jià)值；但跟著時(shí)間的推移，將愈來(lái)愈偏離實(shí)質(zhì)狀況.在傳得病流傳時(shí)期，一個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)應(yīng)當(dāng)是變化的.有必需將人群區(qū)分紅病人與健康者，來(lái)成立兩房室系統(tǒng).在早期，較大；跟著病人的增加，健康者減少，被傳染的機(jī)遇也將減少，于是就會(huì)變小.模型二(SI模型)模型假定及