極值點(diǎn)偏移問(wèn)題專題（五）-對(duì)數(shù)平均不等式（本質(zhì)回歸）

7/7這或許是史上最全的極值點(diǎn)偏移系列文章目錄極值點(diǎn)偏移（0）——偏移新花樣（拐點(diǎn)偏移） 2極值點(diǎn)偏移（1）——對(duì)稱化構(gòu)造（常規(guī)套路） 4極值點(diǎn)偏移（2）——函數(shù)的選取（操作細(xì)節(jié)） 7極值點(diǎn)偏移（3）——變更結(jié)論（操作細(xì)節(jié)） 11極值點(diǎn)偏移（4）——比值代換（解題方法） 15極值點(diǎn)偏移（5）——對(duì)數(shù)平均不等式（本質(zhì)回歸） 20極值點(diǎn)偏移（6）——泰勒展開(kāi)（本質(zhì)回歸） 25極值點(diǎn)偏移（7）——好題精選一題多解23例 28極值點(diǎn)偏移（8）—一題弄懂極值點(diǎn)偏移5大套路 35極值點(diǎn)偏移（5）——對(duì)數(shù)平均不等式（本質(zhì)回歸）筆者曾在王挽瀾先生的著作《建立不等式的方法》中看到這樣一個(gè)不等式鏈：，不曾想，其中一部分竟可用來(lái)解極值點(diǎn)偏移問(wèn)題．對(duì)數(shù)平均不等式：對(duì)于正數(shù)，，且，定義為，的對(duì)數(shù)平均值，且有，即幾何平均數(shù)＜對(duì)數(shù)平均數(shù)＜算術(shù)平均數(shù)，簡(jiǎn)記為．先給出對(duì)數(shù)平均不等式的多種證法．證法1（對(duì)稱化構(gòu)造） 設(shè)，則，，構(gòu)造函數(shù)，則．由得，且在上，在上，為的極大值點(diǎn)．對(duì)數(shù)平均不等式即，等價(jià)于，這是兩個(gè)常規(guī)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，留給讀者嘗試．證法2（比值代換） 令，則，構(gòu)造函數(shù)可證．證法3（主元法） 不妨設(shè)，．記，，則，得在上，有，左邊得證，右邊同理可證．證法4（積分形式的柯西不等式） 不妨設(shè)，則由得，；由得，．證法5（幾何圖示法） 過(guò)上點(diǎn)作切線，由曲邊梯形面積，大于直角梯形面積，可得，即；如上右圖，由直角梯形面積大于曲邊梯形面積，可得，即．由對(duì)數(shù)平均不等式的證法1、2即可看出，它與極值點(diǎn)偏移問(wèn)題間千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，下面就用對(duì)數(shù)平均不等式再解前面舉過(guò)的例題．再解例1：即，，則（正數(shù)，的對(duì)數(shù)平均數(shù)為1），于是，得，且．再解例2：即；由得，兩式相減得，下面用反證法證明．若，則，，取對(duì)數(shù)得，則．而由對(duì)數(shù)平均不等式得，矛盾．再解例3：由得，；．由對(duì)數(shù)平均不等式得，，得．再解練習(xí)1：由得，則，得；，已證．再解例4：同例1，不再詳述．再解例5：同例1得到，則．再解例7（2）：易得，則，則，．再解例8：，，得，則，，．再解練習(xí)2：原題結(jié)論抄寫(xiě)有誤，應(yīng)更正為．即，，則①－②得，則（正數(shù)，的對(duì)數(shù)平均數(shù)為1）．于是，，得，且．①＋②得，所以，由此可得．解練習(xí)3：選項(xiàng)D：即，則，，所以．順帶地，也有．極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，多與指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)有關(guān)，解題的關(guān)鍵有以下幾步：（1）根據(jù)建立等量關(guān)系；（2）等量關(guān)系中如果含有參數(shù)，可考慮消參；如果含有指數(shù)式，可考慮兩邊取對(duì)數(shù)；（3）通過(guò)恒等變形轉(zhuǎn)化出對(duì)數(shù)平均數(shù)（的值或仍用，表示），代入對(duì)數(shù)平均不等式求解．細(xì)心的讀者不難發(fā)現(xiàn)，用對(duì)數(shù)平均不等式來(lái)解極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的方法也有局限性，也不是萬(wàn)能的（再解過(guò)程中漏掉了例6），其中能否簡(jiǎn)潔地表示