簡單數(shù)學建模100例

“學”以致用-----簡單數(shù)學建模步驟數(shù)學教學過程中學習了一個數(shù)學公式后，需要做大量的應用題，通過訓練來加深理解所學公式。但是在生活中又有多少實際問題是可以直接套用公式的呢？數(shù)學建模的引入對培養(yǎng)學生利用數(shù)學方法分析、解決實際問題的能力開辟了一條有效的途徑，讓中職學生從中體會到數(shù)學是來源于生活并應用于生活的..模型準備先了解該問題的實際背景和建模目的，盡量弄清要建模的問題屬于哪一類學科的問題，可能需要用到哪些知識，然后學習或復習有關(guān)的知識，為接下來的數(shù)學建模做準備。.模型假設(shè)有了模型準備的基礎(chǔ)，要想把實際問題變?yōu)閿?shù)學問題還要對其進行必要合理的簡化和假設(shè).明確了建模目的又掌握了相關(guān)資料，再去除一些次要因素.以主要矛盾為主來對該實際問題進行適當?shù)暮喕⑻岢鲆恍┖侠淼募僭O(shè)。.模型構(gòu)成 在模型假設(shè)的基礎(chǔ)上，選擇適當?shù)臄?shù)學工具并根據(jù)已知的知識和搜集的信息來描述變量之間的關(guān)系或其他數(shù)學結(jié)構(gòu)（如數(shù)學公式、定理、算法等）。.模型解析在模型構(gòu)成中建立的數(shù)學模型可以采用解方程、推理、圖解、計算機模擬、定理證明等各種傳統(tǒng)的和現(xiàn)代的數(shù)學方法對其進行求解，其中有些可以借助于計算機軟件來做這些工作。五.模型檢驗與應用把模型解析得到的結(jié)果與實際情況對比，以檢驗其合理和有效性，檢驗后獲取的正確模型對研究的實際問題給出預報或?qū)︻愃茖嶋H問題進行分析、解釋，以供決策者參考稱為第一關(guān)：接觸數(shù)學建?！?】一副撲克牌有54張，從中任取多少張，可以保證一定有5張牌的花色 *:是一樣的？W\W//”■分析除去大、小鬼還有52張牌，其中4種花色各13張.運氣最好的情況下所取的5張牌都是同一花色的，哪運氣不佳時至少要取多少張牌，才能保證一定有5張牌的花色是一樣的呢？假設(shè)假定至少要取N張，才能保證一定有5張牌的花色是一樣的.模型逆向地思維解析在運氣最不好的情況下，每種花色各4張，再加大、小鬼2張，共取18張是保證一定沒有5張牌的花色一樣的最大可能。所以N=4x4+2+1=19張就可以保證一定有5張牌的花色是一樣的.檢驗在很多情況下采用逆向地思維，可以使解題思路清晰、便捷.練習題 公園里準備對300棵珍稀樹木依次從1—300進行編號，問所有的編號中“1”共會出現(xiàn)的幾次?【2】一只貓發(fā)現(xiàn)離它10步遠的前方有一只老鼠在奔跑，貓便緊追。貓的步子大，它跑5步的路程，老鼠要跑9步。但是老鼠的動作頻率快，貓跑2步的時間，老鼠能跑3步。請問：按照這種速度，貓能追得上老鼠嗎？如果能，它要跑多少步才能追到。假設(shè) 此題兩問可歸結(jié)為一個問題：假定貓跑X步就能追上老鼠模型 貓與老鼠之間頻率的最小公倍數(shù)解析 由頻率關(guān)系可知，老鼠跑3X3=9步時，貓跑了2X3=6步.根據(jù)路程關(guān)系知，貓跑6步其中有1步是追上老鼠的路程X 一可得本題的數(shù)學模型為--10=06解得x60（步）檢驗 由此可見，按照現(xiàn)有速度，貓要跑60步才能追得上老鼠.練習題現(xiàn)有玩具模型20個，交給小黃加工，規(guī)定加工合格一個可得5元，不合格一個扣2元，未完成的不得不扣.最后小黃共得到56元.問小黃在加工玩具模型中不合格的共有幾個？【3】在小傅家門口有一個十字型的交通路口（如圖所示），小傅就想了，警察叔叔需要指揮多少種情況的汽車運行線路?分析 此問題需要分是否可以原路調(diào)頭的情況來討論.假設(shè)（1）每條線路都有往返雙向線（2）設(shè)4條路分別為A,B,C,D；（3）以A為起始，①如允許原路調(diào)頭，則有AAAB,AC,AD,②如不允許原路調(diào)頭，則有A B,A C,A D,?模型 分步乘法計數(shù)原理解析 第一步：始線路條數(shù)；第二步：終線路條數(shù)。①如允許原路調(diào)頭：則N=4?4=16（種可能）②如不允許原路調(diào)頭，則N=4?3=12（種可能）檢驗如果允許汽車原路調(diào)頭，那么在此交通路口共有16種不同的行車情況；如果不允許汽車原路調(diào)頭，那么在此交通路口共有12種不同的行車情況。練習題鐵路京廣線（北京一廣州）共有36個大站，問用電腦上購票時需要有多少種不同的火車票？【4】杭州市車輛管理所的工作人員為汽車牌照的事弄得焦頭爛額，現(xiàn)在有個問題要請教一下，數(shù)字號碼為血變到5的汽車牌照共有多少塊？分析 由條件知，問題為三個卬中各可以填入多少種數(shù)字或字母假設(shè) 假定按要求的汽車牌照共有N種可能，且在第i個“中共有n(i=1,2,3)種字符可以填寫.i根據(jù)汽車牌照的特點，在每個%可以填入1~0共10個阿拉伯數(shù)字和A,B,C,D……，26個英語字母，即n=36(i=1,2,3)模型 分步乘法計數(shù)原理.解析因為各卬中填入的字符數(shù)符合N=n倉n n1 2 3故N=36倉6636=46656檢驗數(shù)字號碼為浙AW^W5|的汽車牌照共有46656塊。不難發(fā)現(xiàn)，無論B和5在何位置，所得結(jié)論不變.練習題出租車在開始10千米以內(nèi)收費10.4元，以后每走1千米，收費1.6元，問走20千米需收多少錢?第二關(guān)：初識數(shù)學建模把20個蘋果全部分給小明、小惠、小曼三人，要求每人最少分3個，可以有多少種不同的分法?假設(shè) 先取9個蘋果，平均每人3個，剩下的11個再按不同情況討論.

模型 排列數(shù)公式解析可以有：(11,0,0),(10,1,0),(9,2,0),(9,1,1),(8,3,0),(8,2,1),(7,4,0),(7,3,1),?(7,2,2),(6,5,0),(6,4,1),(6,3,2),(5,5,1),(5,4,2),(5,3,3),解析15種不同種類，對每一種類再考慮小明、小惠、小曼的不同次序，用排列數(shù)公式a”即可求解.m①對（11,0,0），（9,1,1），（7,2,2），（5,5,1），（5,3,3）五類，各類可以有3種次序排法，故共有15種分發(fā)法.②對其余的10類，各類可以有6（a3）種次序排法，故共有60種分發(fā)法檢驗所以按要求可以有檢驗所以按要求可以有75種不同的分法.練習題水果店進了十筐蘋果，每筐10個，共100個，每筐里的蘋果重量都一樣，其中有九筐每個蘋果的重量都是1斤，另一筐中每個蘋果的重量都是0.9斤,但是外表完全一樣，用眼看或用手摸無法分辨?，F(xiàn)在要你用一臺普通的大秤一次把這筐重量輕的找出來。你可以辦到么？【6】有243顆外形一模一樣的珠子，其中有一顆稍重一點。用一架沒有祛碼的天平，至少稱幾次才能找出這顆珠子來分析與假設(shè)①將243顆珠子平均分成3份，每份81顆，任取其2份放置在天平兩邊，若平衡則稍重的一顆在另1份中；若不平衡則稍重的一顆在天平下沉的1份中.②在找出含有稍重珠子的一份中（含81顆），再將其81顆珠子平均分成3份，每份27顆，任取其2份放置在天平兩邊，若平衡則稍重的一顆在另1份中；若不平衡則稍重的一顆在天平下沉的1份中.③在找出含有稍重珠子的一份中（含27顆），再將其27顆珠子平均分成3份，每份3顆，任取其2份放置在天平兩邊，若平衡則稍重的一顆在另1份中；若不平衡則稍重的一顆在天平下沉的1份中.④在找出含有稍重珠子的一份中（含1顆），再將其3顆珠子平均分成3份，每份1顆，任取其2顆放置在天平兩邊，若平衡則另1顆稍重的一顆；若不平衡則稍重的一顆為天平下沉的1顆.模型“三分法”解析按“分析與假設(shè)“所述可知，至少稱4次才能找出這顆珠子來.檢驗 此題的關(guān)鍵是珠子的顆數(shù)243,可以平均分成3份，每份81顆，而81又可以平均分成3份，每份27顆，而27又可以平均分成3份，每份3顆，而3可以平均分成3份，每份1顆，最后找出異樣的珠子.練習題小敏把100只彩色小燈泡串聯(lián)起彩燈，用來布置教室，可是其中有只小燈泡壞了，這可急壞了小敏。你能用最速捷的方法很快地找出了那只損壞的小燈泡嗎?【7】水果店進了十筐蘋果，每筐10個，共100個，每筐里的蘋果重量都一樣，其中有九筐每個蘋果的重量都是1斤，另一筐中每個蘋果的重量都是0.9斤，但是外表完全一樣，用眼看或用手摸無法分辨?，F(xiàn)在要你用一臺普通的大秤一次把這筐重量輕的找出來。你可以辦到么？分析與假設(shè)普通的大秤上是有刻度，可以稱得具體重量.從這點考慮不妨將十筐蘋果進行標號A(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)并取與標號對應的蘋果數(shù)一一1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，共計55個，再用所給的大枰稱得這55個蘋果的總重量若此55個蘋果重量均為1斤(理想狀態(tài))，則總重量應為55斤，由題目條件知其中某一框蘋果重量均為0.9斤，假定為第j框時，那么所取蘋果數(shù)為j個，大秤稱得總重量就要比55斤少j兩.模型等差數(shù)列的求和解析利用框數(shù)與所取蘋果數(shù)的對應關(guān)系，考慮大枰稱得總重量與理想狀態(tài)55個蘋果的總重量之間的差按“分析與假設(shè)“所述可解得.若大枰稱得總重量為54斤3兩，比55斤差7兩，即得框號為A7的這框蘋果重量為0.9斤.練習題某單位某月1?12日安排甲、乙、丙三人值夜班，每人值班4天.要求三個人各自值班日期數(shù)字之和相等。已知甲頭兩天值夜班，乙9、10日值夜班，問丙在自己第一天與最后一天值夜班之間，最多有幾天不用值夜班？【8】甲、乙兩人去沙漠中探險，他們每天向沙漠深處走20千米，已知每人最多可帶一個人4天的食物和水。如果允許將部分食物存放于途中，其中1人最遠可深入沙漠多少千米？（要求最后兩人返回出發(fā)點）分析與假設(shè) 要使其中一位探險者盡可能走得遠，另一位須先回，留下食物和水給另一位，所以必須分頭行動.問題是在何處留下食物和水？①經(jīng)過商議讓甲走得更遠（最遠走4x40=80千米，但回程就沒有食物和水了），需要乙在適當?shù)牡攸c留小足夠的食物和水.②第1天乙在10千米處留下1份食物和水，到20千米處吃1份留下1份，第2天走到30千米處留下1份食物和水后馬上往回返，到20千米處再吃1份，第3天走20千米回出發(fā)點.③第1天甲20千米處吃1份，第2天走到40千米處吃1份，第3天走到60千米處吃1份，第4天走到65千米處然后往回返，到50千米處吃1份（到此為止甲自帶的食物和水已吃完），第5天走到30千米處吃1份（此處食物和水是乙留下的），第6天走到10千米處吃1份，然后回出發(fā)點模型錯位推進法解析所謂“錯位推進法”對于本題來說，關(guān)鍵點為“乙在30千米和10千米處給甲留下食物和水”，根據(jù)分析與假設(shè)推知結(jié)論一一其中的1位沙漠探險家最多可深入沙漠65千米.檢驗從“第6天走到10千米處吃1份，然后回出發(fā)點”，感覺似乎還有10千米可以走，但已經(jīng)回出發(fā)點了.考慮一下甲是否還可以再往前推進5千米呢？練習題在一排10個花盆中種植3種不同的花卉，要求每3個相鄰的花盆中所種的花的品種各不相同，問共可有多少種不同的種植方法？【9】家里有兩個容積分別為5升和6升的空水壺.問大明怎樣用這兩個水壺得到3升的水.分析從5升的滿水壺倒出2升即可得到3升的水，問題是如何使6升的水壺空出2升的空間（即得到4升水），問題是如何使5升的水壺空出1升的空間（即得到4升水），問題是如何使6升的水壺空出1升的空間（即得到5升水），此問題不難解決.假設(shè)由上分析可以如下操作：①②③④將5升的滿水壺的水全部倒出6升的空水壺中，在6升的水壺中得到1升的空間.①②③④用5升水壺取滿水，倒?jié)M6升水壺中的1升空間，此時的5升水壺空出了1升的空間.將5升水壺中的4升水倒進6升的空水壺，在6升水壺中的得到2升的空間.用5升水壺取滿水，倒?jié)M6升水壺中的2升空間,.此時在5升的水壺里剩下的就是3升的水了.模型逆向推理綜合法解析按分析及假設(shè)即可將問題解決，得到3升的水.檢驗逆向推理綜合法是一種非常有用的數(shù)學思維方法，用途非常廣泛.練習題某鹽溶液的濃度為20%，加水后溶液的濃度稀釋為15%.如果再加同樣多的水，問溶液的濃度為多少?【10】箱子里放著一箱梨，第一個人拿了梨總數(shù)的一半又多半只，第二個人拿了剩下梨的一半又多半只，第三個人拿了第二次剩下的一半又多半只，第四個人3拿了第三次剩下的一半又多半只，第五個人拿了第四次剩下的一半又多半只。這時箱子里的梨正好拿完，而且每人手里的梨都沒有半只的，請問箱子里原來有多少只梨？假設(shè)假定箱子里原來有X只梨，則有條件X1X+1①第一個人拿梨數(shù)：-+-=—；X+11 1X+1②第二個人拿梨數(shù)：（X-——）-+-=^—乙乙乙 IX+1X+11 1X+1③第三個人拿梨數(shù)：（X------）-+-=^2 4 22o…4A人，，，/x+1x+1X+L11x+1④第四個人拿梨數(shù)：（X—— +7=H2 4 8 22lo/x+1x+1x+1x+lx11⑤第五個人旱梨數(shù)：（工一「1一一廠一一1--^二）三十72 4 8 1622模型解一元一次方程解析解方程（』+▲+■+工+L）（%+1）=%nl=312481632檢驗按題意驗證當箱子里原來有31只梨時，題目條件符合.32練習題去年某種貨物的進價為15元/公斤，今年該貨物的進口量增加了一半，進口價增加了20%,問今年該貨物的進口價是多少?第—關(guān)：初識數(shù)學建模11】暑假里，班里共30名學生，其中有姓趙、姓錢、姓孫、姓李、姓周各6位，為了進行社會調(diào)查，需要分成15個小組，現(xiàn)要使每個小組的姓都不同，該如何分呢？分析 題目沒有問共有多少種分法，而是問如何分，也就是說只要找出方法即可，如何描述把事情說清楚是關(guān)鍵假設(shè) ①以姓氏趙、錢、孫、李、周分成5組，每組6人，用對應的字符A,B，C，D，E(i=123,4,5,6)表示.②用一個大圓作為輔助工具，將其6等分，把Aji=1,2,3,4,5,6)依次放在圓上的6個等弧上，再將B(i=1,2,3,4,5,6)依次放在圓上的6個等弧上，對C,D,E,作同樣的操作.此時大圓上已有30個字符(次序以A,B,C,D,E\i=1,2,3,4,5,6)排列).③從圓上任一字符開始，依次兩個一組，兩個一組，所得15個小組中每個小組的姓都不同.模型 ”等分圓特征的利用”.解析 根據(jù)分析、假設(shè)的討論即得問題的解答.檢驗 巧妙利用幾何圖形，借助其幾何特征，使問題的討論更有條理，這也是一種數(shù)學模型

練習題100人參加7項活動，要求每人只能參加1項活動，而且每項活動參加的人數(shù)都不能相同，問參加人數(shù)第四多的活動最多有多少人?【12】2001個學生排成一排，從左向右1至2報數(shù)，與從右向左1至5報數(shù)，其中兩種報數(shù)時都是偶數(shù)的共有多少人分析根據(jù)題目中條件的周期性，可采用通過局部（10個）結(jié)論推廣到全體的方法.假設(shè)不妨取最右端的局部：……2 1 2 1 2 1 2 1 2 1… 1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001…1 2 3 4 5 1 2 3 4 5不難得出，在最右的10個數(shù)字中滿足條件的只有2個.模型數(shù)型結(jié)合法解析2x解析2x210=400（人）檢驗兩種報數(shù)時多是偶數(shù)的共有400人.第三關(guān)：嘗試數(shù)學建模練習題同學們來試著完成以下數(shù)學問題的建模吧!1、某市將在今年12月舉辦一個全國招商引資交流會議，目前確定參加的人數(shù)已經(jīng)達到4300人。在安排會場的時候，負責人打算租用一個設(shè)置50排座位的大劇院，第一排有48個座位，往后每排都比前一排多2人。估算一下這個大劇院是否可用？2、杭州市車輛管理所的工作人員為汽車牌照的事弄得焦頭爛額，現(xiàn)在有個問題要請教一下,數(shù)字號碼為浙A恤俯|的汽車牌照共有多少塊？【13】小新開著一艘帆船在河里航行，一陣狂風吹來，把小新的草帽吹落水中，6分鐘后小新才發(fā)現(xiàn)草帽被風吹走了，于是開船返回去追，試問小新需要幾分鐘方可追上落水的草帽.

分析此題按帆船逆水與順水兩種情況討論假設(shè)①設(shè)船速為X米/分，水速為y米/分②當船順水行駛時，船6分鐘共向前行駛路程為6G+y),草帽向前漂的路程為6y，兩者相距6x.③當船逆水行駛時，船6分鐘共向前行駛路程為6G-y),草帽向后漂的路程為6y，兩者相距6(x-y)+6y=6x.模型船要追上草帽所需時間二船帽距離/船行速度解析船要追上草帽所需時間=6X/X=6(分鐘)檢驗由上述推論可知，船往回返到追上草帽所需時間同等于草帽落水到發(fā)現(xiàn)草帽落水所化時間，此結(jié)論對判斷能否打撈草帽十分有用.練習題5431581214如左圖，有正整數(shù)1、2、3、4…16,每一個數(shù)在正方形中占有一小格，圖中已填入若干數(shù)字，試將其余數(shù)字填入正方形的空格處，使每 一行，每一列，每一條對角線上的4個數(shù)字的和都相等.【14】兩根同樣長的蠟燭，點完粗蠟燭要3小時，點完細蠟燭要1小時?，F(xiàn)同時點燃兩根蠟燭，一段時間后同時熄滅發(fā)現(xiàn)粗蠟燭的長度是細蠟燭的倍。問兩根蠟燭燃燒了多長盹間分析及假設(shè)①設(shè)兩根蠟燭額長度為l厘米，粗、細蠟燭的燃燒速度分別為X、J（厘米/小時）.則有y=1=3x；②點燃兩根蠟燭一段時間后同時熄滅，粗、細蠟燭的長度分別為「，則R=3r.模型 代數(shù)方法，等量關(guān)系疊代解析 根據(jù)條件有：匕=匕3r（燃燒時間相同）yx

…， ，………，……一，…1 ，3化簡為/二4「，即細蠟燭燃燒后的長度是原來長度的4（也即燃燒了-）.3 3-I-I3所以燃燒的時間為—=4-=-（小時）.yl4檢驗為了明確各量之間的相互關(guān)系，在必要的地方可以加注檢驗為了明確各量之間的相互關(guān)系，在必要的地方可以加注練習題將自然數(shù)1—100分別寫在完全相同的00張卡片上，然后打亂卡片，先后隨機取張，問這4張先后取出的卡片上的數(shù)字呈增序的幾率是多少【15】一個十位數(shù)字為0的三位數(shù)，恰好是各數(shù)字之和的34倍.現(xiàn)交換個位于百位數(shù)字后得到一個新的三位數(shù)，求新數(shù)是各數(shù)字和的幾倍?假設(shè)三位數(shù)可記為四.其值為100a+b；則新三位數(shù)可記為甌其值為100b+a模型代數(shù)方法解析由條件100a+b=34(a+0+b)n2a=b100b+a201a/所以= =67a+0+b 3a即新數(shù)是各數(shù)字和的67倍.練習題

下列圖形均是由正方形與胭格所構(gòu)成的，圖形中陰影部分的面積最大的是A最大下列圖形均是由正方形與胭格所構(gòu)成的，圖形中陰影部分的面積最大的是A最大E,H最大C.C最大D.都一樣大【16】果農(nóng)要用繩子捆扎甘蔗，有三種規(guī)格的繩子可供選擇：長繩子1米，每根可捆扎7根甘蔗；中繩子0.6米，每根可捆扎5根甘蔗；短繩子0.3米，每根可捆扎3根甘蔗.現(xiàn)在有甘蔗46根，問果農(nóng)共有多少種繩子的取法？其中最節(jié)約的是哪一種？分析先求三種繩子各需多少根，根據(jù)長、中、短繩子的價值（長度于所捆甘蔗的根數(shù)之比），不難發(fā)現(xiàn)，用短繩子比較合算假設(shè) 設(shè)所需三種繩子的根數(shù)以次為（X、y、z）模型 求不定方程的自然數(shù)解解析 有條件可得方程7x+5y+3z=46nx="-5y—3z，7要使X有自然數(shù)解需分子46—5y—3z是7的倍數(shù)，按0，7,14,21,28,35,42討論可得：（0,8,2），（1,6,3），（2,4,4），（3,2,5），（4,0,6）.其中最合算的是（0,8,2），即最合算方法是：用8根中繩子和2根短繩子即可捆扎46根甘蔗.練習題從1，2,3