數(shù)學(xué)工作效率公式

數(shù)學(xué)工作效率公式

課堂提問是一種最干脆的師生雙邊活動，是組織課堂教學(xué)的運用頻率最高的教學(xué)手段，更是教學(xué)勝利的根底。精確、恰當(dāng)?shù)恼n堂提問能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的愛好、誘發(fā)學(xué)生的思維、集中學(xué)生的精力、開啟學(xué)生的智力，提高課堂教學(xué)的效率?，F(xiàn)實中，經(jīng)常會出現(xiàn)這樣兩種不同的現(xiàn)象：在令人感愛好的、老師善問的課堂上，學(xué)生興趣盎然，感到時間像在飛，甚至遺忘了時間。相反，有的老師不擅長提問，時時是每講一兩句，便問“是不是？”“對不對？”發(fā)問不少，卻引不起學(xué)生愛好，使學(xué)生覺得乏味，感到時間像在漸漸地爬，渴望早點下課。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，重在引導(dǎo)，而引導(dǎo)之法首先在于善問，所以數(shù)學(xué)老師必需講究提問的技巧和策略。老師提出的問題應(yīng)能讓學(xué)生明白哪些內(nèi)容是學(xué)習(xí)重點、難點、關(guān)鍵點，能把學(xué)生思維引入“最近開展區(qū)”，使學(xué)生思維到達適當(dāng)?shù)纳疃群蛷V度，提高課堂教學(xué)的效率。

一、運用題組式提問奇妙構(gòu)建學(xué)問網(wǎng)絡(luò)

這種提問通常是在一堂課課末或一個章節(jié)學(xué)完之時。因為一堂課或全章節(jié)的學(xué)問點比擬散，課末或章末時運用題組式提問，可使學(xué)生對所學(xué)學(xué)問理解、駕馭得更加連貫、完整、系統(tǒng)，提高教學(xué)效率。

例如，在學(xué)習(xí)完函數(shù)定義、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性等內(nèi)容后，可設(shè)計如下題組進展復(fù)習(xí)：

案例1、函數(shù)的定義域為R，對x，y∈R都有

f〔x+y〕=f〔x〕+f〔y〕，f〔3〕=5，當(dāng)x>0時，f〔x〕>0.

〔1〕f〔0〕的值是多少？〔2〕f〔x〕的奇偶性如何？〔3〕f〔x〕在R上的單調(diào)性如何？〔4〕f〔x〕在區(qū)間[-3，6]上存在最值嗎？假設(shè)存在，如何求？你還能求函數(shù)在哪些區(qū)間上的最值？

生1：〔1〕∵對x，y∈R都有f〔x+y〕=f〔x〕+f〔y〕，取x=y=0，得f〔0〕=f〔0〕+f〔0〕，∴f〔0〕=0.

〔2〕∵對x，y∈R都有f〔x+y〕=f〔x〕+f〔y〕，取y=-x，得f〔0〕=f〔x〕+f〔-x〕，又由⑴知，f〔0〕=0，

∴f〔x〕=-f〔-x〕，∴f〔x〕的為奇函數(shù)。

〔3〕設(shè)x2>x1，那么x2-x1>0，又由確定，當(dāng)x>0時，f〔x〕>0，∴f〔x2-x1〕>0，即f〔x2〕+f〔-x1〕>0，即f〔x2〕+f〔x1〕>0，

∴f〔x2〕>f〔x1〕，∴f〔x〕在R上為單調(diào)增函數(shù)。

〔4〕由⑶f〔x〕在區(qū)間[-3，6]上也應(yīng)為增函數(shù)，且f〔x〕min=f〔-3〕=-f〔3〕=-5，f〔x〕max=f〔6〕=2f〔3〕=10。由確定條件，還能求f〔x〕在[-3，3]，[-3，9]，[-3，12]，…，[0，3]，[0，6]，[0，9]，[0，12]，…，[3，6]，[3，9]，[3，12]，…等區(qū)間上的最值。

解答上述各題，分別將函數(shù)、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域等概念復(fù)習(xí)了一遍，這樣做要比單純地提問：“函數(shù)的定義是什么？函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域等概念分別怎樣？”更有效，而且在整個操作過程中學(xué)生心情興奮，思維活潑，回答下列問題踴躍性很高。另外，通過第⑷題后面的一道開放題，可以造就學(xué)生思維的開闊性、發(fā)散性。

二、針對關(guān)鍵詞提問深刻理解概念定理

通過“關(guān)鍵詞”提問可以定向限制教學(xué)活動，使學(xué)生思維遵照正確方向踴躍主動開展。數(shù)學(xué)中，因“關(guān)鍵詞”引發(fā)的提問數(shù)不勝數(shù)。

案例2、線面平行判定定理“假如平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這平面平行”，即“假設(shè)a?埭?琢，b?埭?琢，a∥b，那么a∥?琢”〔如圖1〕中的關(guān)鍵詞是什么？

生2：定理中的關(guān)鍵詞是“平面外”，“平面內(nèi)”，“平行”。

師：依據(jù)關(guān)鍵詞你能提出什么問題？

生2：〔1〕將“平面外”三個字去掉，結(jié)論如何？

〔2〕將“平面內(nèi)”三個字去掉，結(jié)論又如何？

〔3〕將條件中“平行”兩字去掉，結(jié)論又如何？

師：誰來答復(fù)上述各問題？

生3：〔1〕結(jié)論有可能為“線a在面?琢內(nèi)，如圖2”；

〔2〕結(jié)論有可能為“線a和面?琢相交，如圖3”；

〔3〕結(jié)論有可能為“線a和面?琢相交，如圖4”。

通過上述問題的設(shè)計和解答，大大加深了學(xué)生對概念的理解。在教學(xué)時，大膽放手讓學(xué)生主動去依據(jù)關(guān)鍵詞提問并答疑，符合青少年學(xué)生好勝心強，喜愛挑戰(zhàn)，敢于發(fā)表看法的特點，可使教學(xué)更具競爭性和刺激性，教學(xué)效率自然提高。

愛因斯坦曾說過：“提出一個問題比解決一個問題更重要?！奔偃鐚W(xué)生提不出問題，那肯定是教育的悲慘，故鼓舞引導(dǎo)學(xué)生自己提出問題，強化其問題意識是提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率、造就創(chuàng)新實力的重要手段。

三、進展懸念性提問激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)愛好

利用懸念提問可使學(xué)生精力集中，給學(xué)生造成一種躍躍欲試和急于求知的迫切心情，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)愛好，提高課堂教學(xué)效率。

如學(xué)習(xí)虛數(shù)時，可采納如下引入過程。

案例3、確定a+=1求a2+的值。

生4：a2+=〔a+〕2-2=1-2=-1，

〔但很快，該學(xué)生對結(jié)果產(chǎn)生了疑心〕a2+怎么會小于0呢？

師：a+沒有實數(shù)根，但有虛數(shù)根，而當(dāng)a取某虛數(shù)時，a2+可使值小于0.那么什么是虛數(shù)呢？

這樣提問，能激起學(xué)生的懸念，讓學(xué)生產(chǎn)生急于想知道的心理需求，聽課會更加專注，比干脆給出虛數(shù)定義要自然合理得多，教學(xué)效率也自然會提高。

四、進展拓寬性提問強化思維的深刻度

這種提問可以鼓勵學(xué)生學(xué)習(xí)的踴躍性，使課堂教學(xué)充溢朝氣和活力。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，假如僅僅駕馭課堂上和書本中的學(xué)問，這樣學(xué)生學(xué)習(xí)愛好和踴躍性就不高，且也適應(yīng)不了高考的要求，所以提問時，要有意識地提問具有必須深度和廣度的拓寬性問題。問題深度是指提出的問題蘊含著重要的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，而問題的廣度是指提出的問題與其他學(xué)問聯(lián)系較多。如，在學(xué)習(xí)“恒成立問題”時，可提出如下問題串，強化學(xué)生思維的深度和廣度，提高課堂教學(xué)效率。

案例4、〔1〕對于隨意k∈[－1，1]，函數(shù)

f〔x〕＝x2＋〔k－4〕x－2k＋4的值恒大于零，那么x的取值范圍是________．

⑵對于隨意x∈[3，5]，函數(shù)f〔x〕＝x2＋〔k－4〕x－2k＋4的值恒大于零，那么k的取值范圍是________．

生5：⑴此題應(yīng)將k視為主變量，x視為次變量。

令g〔k〕＝〔x－2〕k＋〔x－2〕2，它是關(guān)于k的一次函數(shù)，那么問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)g〔k〕>0對k∈[－1，1]恒成立。

∴g〔-1〕>0g〔1〕>0，解之得x3.∴x的取值范圍是｛x|x3｝。

師：還有其他解法嗎？

生6：此題也可用分別參數(shù)法，且把x當(dāng)作參數(shù)〔即次變量〕。

∵對于隨意k∈[－1，1]，函數(shù)f〔x〕＝x2＋〔k－4〕x－2k＋4的值恒大于零，

∴對于隨意k∈[－1，1]，〔x-2〕k>-x2+4x-4恒成立，

∴對于隨意k∈[－1，1]，〔x-2〕k>-〔x-2〕2恒成立，

①當(dāng)x-2=0，即x=2時，上式不行能對隨意k∈[－1，1]恒成立，故x=2舍；

②當(dāng)x-2>0，即x>2時，對于隨意k∈[－1，1]，k>-〔x-2〕恒成立，即對于隨意k∈[－1，1]，-〔x-2〕3，又x>2，∴x>3；

③當(dāng)x-2本文為全文原貌未安裝PDF閱讀器用戶請先下載安裝原版全文即對于隨意k∈[－1，1]，-〔x-2〕>k恒成立，〔把-〔x-2〕作為一個整體分別出來〕

∴-〔x-2〕>1，∴x3｝.

師：第〔2〕應(yīng)怎樣解？只要說出解題思路即可。

生7：〔2〕此題應(yīng)將x視為主變量，k視為次變量。

法一：需對對稱軸直線x=的位置分三種狀況〔在區(qū)間[3，5]的左、中、右〕進展探討〔過程略〕。

法二：分別參數(shù)法〔過程略〕。

此題答案：k的取值范圍是〔-1，+∞〕。

五、進展層次性提問突出思維的漸近性

在教學(xué)過程中，老師提出的問題應(yīng)按部就班，有層次感，將學(xué)生思維逐步引向深化。如在學(xué)習(xí)過函數(shù)奇偶性概念后，為了讓學(xué)生理解深刻，老師可提出如下問題：

案例5、〔1〕判定以下函數(shù)的奇偶性：

①f〔x〕=x-；②f〔x〕=5；③f〔x〕=0；④f〔x〕=；

⑤y=x2，x∈[-1，1]；⑥y=x2，x∈[-1，1〕；⑦y=.

⑵函數(shù)f〔x〕=3x-3-x在區(qū)間[-3a+2，a2]上的奇偶性如何？

⑶假設(shè)函數(shù)y=ax+b，x∈〔1-2a，a2〕為奇函數(shù)，那么a，b的值分別為多少？

生8：〔1〕①奇；②偶；③既奇又偶；④非奇非偶；⑤偶；⑥非奇非偶；⑦非奇非偶；

〔2〕∵f〔x〕=3x-3-x，∴f〔-x〕=3-x-3x=-f〔x〕，

∴函數(shù)f〔x〕=3x-3-x在區(qū)間[-3a+2，a2]上為奇函數(shù)。

師：上述解法正確嗎？

生9：⑵不正確。只有在-3a+2+a2=0，即a=1或a=2時，f〔x〕=3x-3-x才是奇函數(shù)，否那么此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；

生10：⑶∵函數(shù)y=ax+b，x∈〔1-2a，a2〕為奇函數(shù)，

∴，〔1-2a〕+a2=0b=0，即a=1，b=0.

上面的幾個問題由淺入深，由易到難，前后連接，相互照應(yīng)，按部就班，把一個函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件“函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱”和充要條件“函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且對定義域內(nèi)隨意x，都有f〔x〕=-f〔x〕〔偶函數(shù)〕或f〔x〕=-f〔-x〕〔奇函數(shù)〕”提醒出來，這樣提問要比干脆提問“一個函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件和充要條件分別是什么？”要更能引起學(xué)生的關(guān)注，教學(xué)效率也隨之提高。

六、進展開放性提問強化思維的發(fā)散性

條件或結(jié)論不唯一的問題稱為開放題。開放性問題具有挑戰(zhàn)性，它給學(xué)生供應(yīng)了充分表達自己想法的時機，能使學(xué)生體驗到探究和發(fā)覺數(shù)學(xué)學(xué)問的樂趣。因此，老師在教學(xué)過程中，提出的問題應(yīng)具有必須的開放性，使學(xué)生產(chǎn)生盡可能多、盡可能新穎 的想法，更好地造就學(xué)生思維的發(fā)散性、創(chuàng)新性。進展開放性提問，學(xué)生勢必會綻開多角度、多方向的思維活動，產(chǎn)生大量的、新穎 獨特的答案，使學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)的魅力。

例如，學(xué)習(xí)過映射概念之后，為了穩(wěn)固加深對概念的理解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愛好，提高課堂的教學(xué)效率，可提出以下開放性問題：

案例6、〔1〕確定集合A=｛x|-4≤x≤-1｝，函數(shù)f〔x〕=x2，你能構(gòu)造一個集合B，使集合A到集合B的對應(yīng)構(gòu)成映射，且對應(yīng)法那么為f嗎？

〔2〕確定集合A=｛x|-4≤x≤-1｝，集合B=｛x|0≤x≤5｝，你能構(gòu)造一個函數(shù)f〔x〕，使集合A到集合B的對應(yīng)構(gòu)成映射，且對應(yīng)法那么為f嗎？

生11：⑴集合B是不唯一的，只要｛x|1≤x≤16｝?哿B即可，如B=｛x｜1≤x≤16｝，或B=｛x｜0≤x≤16｝，或B=｛x｜-3≤x≤19｝等均可；

〔2〕函數(shù)f〔x〕是不唯一的，如f〔x〕=|x|，或f〔x〕=|x|、

f〔x〕=x+4、f〔x〕=x+5等均可。

七、進展陷阱式提問造就思維的批判性

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，針對學(xué)生對某些數(shù)學(xué)概念、法那么、定理、公式等方面理解不夠深刻和透徹而導(dǎo)致解題失誤的現(xiàn)象，可有意識地在易錯處設(shè)計一些迷惑性問題，讓學(xué)生充分暴露其不合理的思維過程，再引導(dǎo)學(xué)生過渡到正確解法，這樣學(xué)生的印象特殊深刻。如在學(xué)完圓錐曲線的統(tǒng)必須義后，為了讓學(xué)生真正理解此定義，可以提問：

案例7、〔1〕到定直線2x+y=4的距離與到定點〔1，2〕的距離相等的動點的軌跡是什么？

〔2〕到定直線2x+y=4的距離與到定點〔1，1〕的距離的比為2的動點的軌跡是