高考考前談兵（2）借尸還魂數(shù)形相依

借尸還魂，數(shù)形相依前面我們談到，在考場上，小題必須小做。為什么？考場的時間有限，考生的精力有限，考生攻關(guān)的重點是大題而不是小題。所以小題決不可以大作。除特值法外，小題小做的最有效的方法就是數(shù)形結(jié)合。這是因為：形是數(shù)的外衣,數(shù)是形的靈魂.我們因形而識數(shù),也因數(shù)而得以解形,所以在數(shù)學中,數(shù)與形本是密不可分的,所以在高考備考中,我們把數(shù)形結(jié)合的思想放在又一個重要的位置.1.有形無數(shù)去找數(shù)【題1】(2015.安徽文數(shù)10題).函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論成立的是a>0，b<0，c>0，d>0a>0，b<0，c<0，d>0（C）a<0，b<0，c<0，d>0（D）a>0，b>0，c>0，d<0【解析】解題的前提條件是讀得懂圖形。那么，這個圖給我們以什么有用的信息？其一，函數(shù)圖象交y軸于正向,排除D;其二，函數(shù)圖象與x軸有3個交點,也就是有3個零點，不妨設(shè)其依次為為m,n,k（見解圖）,那么：。由圖可知,當時,.但是,排除C.由圖象可知:在處有極大值,在處有極小值,且.,排除B.故選A.評注1:由及可繼續(xù)證出.2.本題關(guān)鍵之處是確定,這可以根據(jù)下表在任何一個區(qū)間取值確定:xm<x<nN<x<kx>kf（x）-+-+3.解本題還借助了因式定理,即:如果是一元n次函數(shù)的n個根,那么：4.注意本題需要判定4個參變量a,b,c,d的符號,所以需要慎用特值.因為任何一組特值都沒有充分的說服力.2.有數(shù)無形需配形【題2】（高考題）：在這四個函數(shù)中，當恒成立的函數(shù)的個數(shù)是（）A，0B，1C，2D，3【分析】雖然是一道小題，可就是這一道不起眼的小題，那一屆卻難倒了一大批考生.即使是考后，有些教師為了解這道題也費了九牛二虎之力.為什么？因為題中的四個函數(shù)，如果逐一探究，哪都不是省油的燈.為此人們不得不反思：解題尋根.這道題的根究竟在哪里呢？原來除直線函數(shù)外，無論什么函數(shù)的圖像都是曲線，而曲線只有“上凸”和“下凹”兩種簡單形式，這就是本題的“根”.【解析】解本題應先掌握凸，凹函數(shù)的性質(zhì)，如圖1，曲線在弦AB的上方，我們稱它是上凸的函數(shù)，在曲線上任取兩點A，B，作有交于C，AB于M，那么，如圖2，曲線在弦AB的下方，我們稱它是下凹的函數(shù)，同理，由，又說明下凹函數(shù)有性質(zhì)：以上結(jié)論與曲線所在象限無關(guān)，這是因為曲線經(jīng)過平移后，不影響它們的數(shù)量關(guān)系.題中的四個函數(shù)，所以在（0，1）內(nèi)，式子不是恒成立。又是下凹的，只有是上凸的，這就是說，在（0，1）內(nèi)，使式子恒成立的函數(shù)只有一個。∴選B。（參看以下圖（1）-（4））【題3】（2009.遼寧卷12題）若滿足滿足則（）（A）(B)3(C)(D)4【分析】本題有“數(shù)”無“形”，僅靠枯燥的數(shù)字分析或推理，試圖分別求出x1與x2，再求它們的和是不可能的.唯一的出路是“借尸還魂”，到圖中去尋找答案.這就是說:“有數(shù)無形需配形”.但是,題中“數(shù)”的條件不夠統(tǒng)一規(guī)范,解題前需要將其盡可能變形使其相似或接近,方能找出規(guī)律【解析】.將條件式改寫為及令如圖，曲線關(guān)于直線對稱.設(shè)直線分別與曲線及直線交于，則點A,B亦關(guān)于點M對稱.由，故選C.3.一匹黑馬是平幾【題3】（2010.武漢二月調(diào)考.10題）.過定點P（2,1）的直線交x軸正半軸于A,交y軸正半軸于B,O為坐標原點，則△OAB周長的最小值為（）A.8B.10C.12D.【分析】這道題如果僅用高中知識去做，無論解析法，三角法還是向量法都何其難也。假如你具備如下的平面幾何知識,那么就會做得非常簡單:直角三角形的周長等于其斜邊上旁切圓的直徑.簡單證明如下:如圖1.△AOB中,圓M是其斜邊上的旁切圓且其半徑為r.C,D,E都是切點,由切線長定理知:AE=AC,BE=BD.故△AOBd的周長OA+OB+AB=OC+OD=2r【解析】如圖設(shè)M（r,r）為△AOB中斜邊AB上旁切圓的圓心,MC⊥x軸于C,MD⊥y軸于D,ME⊥AB于E,連MP.顯然MP≥ME.當且僅當MP=ME=r時MP最短.此時即解得r=1（舍去）或r=5.由上述平幾知識知△AOB周長的最小值為2r=10.故選B.評注:高中的解析幾何,立體幾何,乃至三角,向量等,都是在平面幾何的基礎(chǔ)上建立起來的.所以解這類題如果遇到困境,應當?shù)狡矫鎺缀沃R中去尋根.4.一種手段叫“對稱”【題4】（2010.北京.崇文.5月考.8題）已知圓的方程，過作直線與圓交于點，且關(guān)于直線對稱，則直線的斜率等于（）（A）（B）

（C）

（D）【解析】如解圖,顯然點在圓上.點M關(guān)于y軸的對稱點N（4,3）也在圓上.連ON.∵MN平分∠AMB,∴N為的中點.必ON⊥AB.評注：本解再次印證：平面幾何是一匹黑馬.假如沒有相應的平面幾何知識，即使使用特值，也簡單不到哪里去?？紙鼍省绢}5】【題5】（2008.江蘇卷）△ABC中，若AB=2,AC=BC，則的最大值．【分析】本題說的是“形”，而并未給出有關(guān)的“形”，所以解題必須從畫出“形”，且充分研究這個“形”的數(shù)據(jù)特點著手.【解析】以直線AB為x軸，過A且垂直于AB的直線為y軸建立如圖的直角坐標系，則有B（2，0）.設(shè)動點C（x，y），那么由.化簡得：故點C在以M（4，0）為圓心，.為半徑的圓上.（不含圓與x軸的兩個交點）當且僅當CM⊥x軸時，評注:如果我們懂得阿波羅圓的知識,這道題可以做得相當簡單.∵動點C到定點A(-1，0)和B（1，0）距離之比為,則有,,∴得為內(nèi)分點，為外分點．圓半徑，即為三角形高的最大值，即△ABC高的最大值是.故△ABC的面積的最大值是.【題6】（08.福建卷.12題）已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導函數(shù)的圖象如右圖，那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是（）【分析】本題“形”有余而數(shù)據(jù)不足.只有從“形”中發(fā)掘隱藏的數(shù)據(jù)特點，才有可能找到正確的選項.【解析】首先得把原圖讀懂.原圖中且遞減，說明是上凸且遞增的函數(shù)，選項A，C肯定不對；與的圖象交點的橫坐標是說明兩函數(shù)在點處的切線有相同的斜率，也就是它們在點處有公切線，或者平行的切線.所以B不對，正確的選項是D.【題7】（武漢市2016屆高三二月調(diào)考理數(shù)10題）函數(shù)的取值范圍為（）【解析】本題有數(shù)無形，需為之配形。,則,如解圖,P（2,1）為定點,當點在上半圓上運動時,直線PC斜率的最小值為最大值為.故.即的取值范圍為[0,1],選C.評注:將一個純代數(shù)題賦之以恰當?shù)膸缀螆D形,即發(fā)現(xiàn):此題的根在求直線斜率的變化范圍.【題8】（武漢市2016屆高三二月調(diào)考理數(shù)`12題）設(shè)直線與橢圓交于A,B兩點,過A,B的圓與橢圓交于另外兩點C,D,則直線CD的斜率k為【解析】橢圓是對稱圖形，故考慮用對稱法解題直線與y軸交于P（0,-2）,作直線AB關(guān)于y軸的對稱直線CD,且交橢圓于C,D.根據(jù)橢圓對稱性有,即AB,CD必是同一個圓中交于點P的兩條等弦.,故選B.評注:本題的要害是如何確定弦CD的位置.因為圓與橢圓都是對稱圖形,所以需要用對稱法尋求答案.而關(guān)鍵之處是找到對稱軸上的關(guān)鍵點P.【題9】（06年,遼寧卷,10題）直線與曲線的公共點的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【解析】有數(shù)無形去配形.根據(jù)橢圓對稱性,不妨設(shè)k＞0.此曲線表示中心在M（1,0）,長,短半軸分別為的橢圓;.此曲線表示中心在N（-1,0）,長,短半軸分別為的橢圓.如解圖所示,直線y=2k與上述雙橢圓有4個公共點,故選B.【題10】(2015.湖北理數(shù)12題)函數(shù)的零點個數(shù)為【解析】首先將原式化簡:.令..如圖,我們考查,曲線會有幾個交點.是以原點為中心,π為周期的正弦曲線;是將e為底的對數(shù)曲線左移1單位,再將x軸下方的部分沿x軸翻轉(zhuǎn)180°而得.當而當.知在內(nèi),曲線的上方,而當時,恒有.故知曲線共有2個公共點（其中1個為原點）.也就是原函數(shù)有2個零點.【題11】已知向量則向量的夾角范圍為【解析】顯然B,C為定點，A為動點。只有弄清點A的軌跡，才有可能分析的夾角。如圖設(shè)故點A的軌跡是以C（2，2）為圓心，半徑的圓。作此圓的切線OM,ON（M,N為）切點，連CM,CN，,∴△COM與△CON都是含30°角的直角三角形，又射線OC平分∠xOy.所