寒假作業(yè)12建系空間角計算折疊與展開問題探索性參考解答

【寒假作業(yè)12建系角計算與展開問題索性問題】參考答【A BMBAAMaAA1A1Ma+c2(a+b)=-2a2b答案：答案：答案：3（Ⅰ） 因為底面ABCD為直角梯形 BE∥CD

33133M

)，D(-2 所以BM= , )，EP=(0,0,3)，CD=(0,-3, BMABCD所成角的余弦值為cosBMEP>=7BMABCD2BMBM×=7(Ⅱ)BMCD所成角的余弦值為|cosBMCD=72解（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DEBE1，CD2得，BDBC 2由AC 2,AB2，則AB2AC2BC2，即ACBC

BCDEACBCDEACDEDEDCDEACD（Ⅱ）DDEDCxyDxyz由題意可知各點坐標如下D000E100C020,A02,2B1,10AD0,2,

2，DB1,1,0,AE1,2,

2設平面ADE的法向量為mx1,y1z1，平面ABD的法向量為nx2,y2z2 02y1

2z1由 得，mAE

2y

，可取m0,12z

2

2z2由 得，nBD

xy

，可取n1,1,2，

mmm3所以cosmn

2BADE6證明：設ABOOP又因底面ABCD是矩形，故以OA為x軸，OPz軸，建立如圖空間直角坐標系O(0,0,0),A(1,0,0),B(-1,0,0),P(0,0,√3),C(?1√2,0),D(1,√2,0)(Ⅰ)∵→＝(1，2，－3)，→＝(－2， ∴→ PD·AC＝(1，2，－3)·(－2，(Ⅱ)假設在棱PA上存在一點E，不妨設→＝ E的坐標為(1－λ，0，∴ BE＝(2－λ，0，3λ)，BD＝(2，

（2－λ）x＋0·y＋

2x＋ 2－λ?＝－3λ

x＝3EBDn＝（3，－ABD的法向量可以是＝(0，0，3)．要使二面角E－BD－A45°，

λ3 -2-l3則|cos〈→，n〉 HP·n＝ ＝＝即 1

9

2-l

3)23 當AP＝2時，使得二面角E－BD－A21OC3AC32AD2COB連結(jié)ODOE,在OCDCOBOC2CDOC2CD22OCCDcos52由翻折不變性可知AD 2AO2OD2AD2AOOD理可證AOOE,又 OEO,所以AO平面BCDE(Ⅱ)解法一:過O作OHCD交CDHAHAOBCDEAHCD所以AHOACDBOH21HAC中點,故OH32OH22

2所以cosAHOOH 15,所以二面角ACDB的平面角的余弦值為15 zBDOyEx解法二:以O點為原點,建立空間直角坐標系Oxyz如圖所示,A00,3C030D1zBDOyEx所以CA0,3,3,DA1,2,3 nx,yz為平面ACD的法向量,

,即

3z

y,解得

x1

3z

由(Ⅰ)知OA00,3為平面CDB的一個法向量n,OA33n,OA33nOAn5ACDB的平面角的余弦值為155【Ba，b，cc＝xa＋yb(x，y∈R)，得(115l2x-yx4yx-22x-y11且-x4y5且x-2y

，解得lAB

AB?AP

AB,AP AB?(CHHD)= AB?(CHHD)= AB?HDcos 1AB?2所以cos

AB,CDAB×CD=1AB,CDAB×CD=1AB×AB ABBlDHA12

63解：(Ⅰ)AMDEBAM的中點，AB∥DE.AB?ABFABF∩PDE＝FG，AB∥FG.A－xyzC(2,1,0)，P(0,0,2)，F(xiàn)(0,1,1)＝(1,1,0)．ABF

z＝1y＝－1.n＝(0，－1,1)．BCABFα， →則sinα＝|cos〈n，→〉|＝n·BC →→BC

πH的坐標為HPC上，所以可設

nABF所

3 3＋3

＝2.[來AC⊥AB1OB1CO為坐標原點，OBx軸正方向，|OB|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系因為∠CBB1＝60°，所以△CBB1為等邊三角形，， 3，B(1，0，0)，， 3，B 3，

0，C0，－

3， 3， 3

AB1＝0，3，－3，A1B1＝AB＝1，0，－3 3 B1C1＝BC＝－1，－3

3y－3z33 即z33xxn＝(1，3，

－3 mA1B1C1 m＝(1，－3，則cos〈 n·m 所以結(jié)合圖形知二面角A-A1B1-

1D為原點，射線DA，DC，DD1x，y，z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標系D—xyz.B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(xiàn)(1，0，0)，zDBC1=(-2，0，2)，F(xiàn)P=(-1，0，λ)，F(xiàn)EDNMNMDFA（Ⅰ）λ=1FP=(-1，0，1)，BC1=(-2，0，2)，BC1=2FPFPEFPQBC1EFPQ，BC1EFPQ.FEn由FPn

xy可得xz可得

λ，使面EFPQPQMN)-解得1

2.故存在12

EFPQPQMN所成的二面角為直二面角2解：(1)在△ABC中，由E，F(xiàn)AC，BCzAECBxDPFyAB?平面DEF，EFzAECBxDPFy(2)D為坐標原點，以直線DB，DC，DA分別為x軸、y軸、zA(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，23，0)，E(0，3，1)，F(xiàn)(1，3，0)，＝(1，3，0)DE