高考考綱與考向分析-定積分與微積分基本定理

高考考綱與考向分析——定積分與微積分基本定理考綱原文知識點(diǎn)詳解一、定積分1曲邊梯形：由直線、和曲線y=f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖①)．求曲邊梯形面積的方法與步驟：①分割：把區(qū)間[a，b]分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形(如圖②)；②近似代替：對每個小曲邊梯形“以值代曲”，即用矩形的面積②)；③求和：把以近似代替得到的每個小曲邊梯形面積的近似值求和；④取極限：當(dāng)小曲邊梯形的個數(shù)趨向無窮時，各小曲邊梯形的面積之和趨向一個定值，即為曲邊梯形的面積．求變速直線運(yùn)動的路程如果物體做變速直線運(yùn)動，速度函數(shù)為分割、近似代替、求和、取極限的方法，求出它在移定積分的定義和相關(guān)概念定積分的性質(zhì)【注】定積分的性質(zhì)（3）稱為定積分對積分區(qū)間的可加性，其幾何意義是曲邊梯形ABCD的面積等于曲邊梯形AEFD與曲邊梯形EBCF的面積的和．定積分的幾何意義定積分的概念是從曲邊梯形面積引入的，但是定積分并不一定就是曲邊梯形的面積．這要結(jié)合具體圖形來確定：設(shè)陰影部分面積為S,則定積分的物理意義二、微積分基本定理【注】常見的原函數(shù)與被積函數(shù)的關(guān)系考向分析考向一定積分的計(jì)算1．求定積分的三種方法利用微積分基本定理求定積分；用牛頓—萊布尼茨公式求定積分的步驟與常數(shù)的積的和或差；把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分；分別用求導(dǎo)公式找到一個相應(yīng)的原函數(shù)；利用牛頓—萊布尼茨公式求出各個定積分的值；3．分段函數(shù)的定積分分段函數(shù)求定積分，可先把每一段函數(shù)的定積分求出后再相加．4．奇偶函數(shù)的定積分考向二利用定積分求平面圖形的面積利用定積分求平面圖形面積問題的常見類型及解題策略利用定積分求平面圖形面積的步驟①根據(jù)題意畫出圖形；②借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限；③把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和；④計(jì)算定積分，寫出答案．知圖形的面積求參數(shù)求解此類題的突破口：畫圖，一般是先畫出它的草圖；然后確定積分的上、下限，確定被積函數(shù)，由定積分求出其面積，再由已知條件可找到關(guān)于參數(shù)的方程，從而可求出參數(shù)的值．與概率相交匯問題解決此類問題應(yīng)先利用定積分求出相應(yīng)平面圖形的面積，再用相應(yīng)概率公式進(jìn)行計(jì)算.考向三定積分的物理意義利用定積分解決變速直線運(yùn)動與變力做功問題利用定積分解決變速直線運(yùn)動問題和變力做功問題時，關(guān)鍵是求出物體做變速直線運(yùn)動的速度函數(shù)和變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分區(qū)間，得到積分表達(dá)式，再利用微積分基本定理計(jì)算即得所求.【名師點(diǎn)睛】1、定積分的計(jì)算一般有三個方法：①利用微積分基本定理求原函數(shù)；②利用定積分的幾何意義，即利用面積求定積分；③利用奇偶性、對稱性求定積分，如奇函數(shù)在對稱區(qū)間的定積分值為0.2、由函數(shù)圖象或曲線圍成的曲邊圖形面積的計(jì)算及應(yīng)用，一般轉(zhuǎn)且當(dāng)圖形的邊界不同時，要討論解決．具體步驟如下