高數(shù)作業(yè)題(下)2

PAGEPAGE253已知兩點(diǎn)和，計(jì)算向量的模、方向余弦和方向角.4設(shè).，，，求向量在軸上的投影以及在軸上的分向量.則在軸上的投影為13在軸上的分向量為2設(shè)為單位向量，滿足，求.相加3已知點(diǎn)，，，求同時(shí)與及垂直的單位向量；的面積.1）2）第四節(jié)平面及其方程1求過點(diǎn)且與連接坐標(biāo)原點(diǎn)及的線段垂直的平面方程.平面方程為整理得2求過三點(diǎn)和的平面方程.平面方程為得*2求過點(diǎn)且平行于直線的直線方程.直線方程為3求過點(diǎn)且垂直于平面的直線方程.直線方程為5求直線與平面之間的夾角.解：第六節(jié)曲面與曲線1寫出下列曲線繞指定坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程：面上的拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)；面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)；設(shè)，，若，則；若，則．設(shè)，且，則25．設(shè)，則4．若動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于它到軸的距離，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．2選擇題：設(shè)向量，滿足，，則與垂直的充分必要條件（C）與垂直與平行直線，與平面的關(guān)系是（D）直線在平面上直線與平面垂直直線與平面平行但直線不在平面上直線與平面相交但不垂直4求下列函數(shù)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)：第四節(jié)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1求下列復(fù)合函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)：，,,,2求下列復(fù)合函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)：，，，，，，其中，可微3求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)（設(shè)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）：4求下列函數(shù)的，，（設(shè)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）：5設(shè)，其中有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求，，.6設(shè)，其中二階可導(dǎo)，有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求，，.7設(shè)，其中，有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求，，.第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式1設(shè)，分別用公式法和直接法求.公式法設(shè)直接法2求由方程所確定的隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù).第六節(jié)方向?qū)?shù)與梯度第七節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用1求下列曲線在指定點(diǎn)處的切線與法平面方程：，點(diǎn)切線方程法平面方程即，點(diǎn)切線方程法平面方程即2求曲面在點(diǎn)處的切平面及法線方程.設(shè)切平面方程即法線方程4求出曲面上的點(diǎn)，使這點(diǎn)處的法線垂直于平面，并寫出這法線的方程.設(shè)這點(diǎn)為法線方程第八節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用1求函數(shù)的極值.定義域?yàn)榱?，有極值有極大值，極大值為2求函數(shù)的極值.令，，解得，有極值有極小值，極小值為3從斜邊之長為的一切直角三角形中，求有最大周長的直角三角形.解:作拉格朗日函數(shù)令得代入（舍）故（唯一駐點(diǎn)）由實(shí)際問題的實(shí)際意義知，最大值存在，在唯一駐點(diǎn)處取得4將周長為的矩形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)得一圓柱體，問矩形的邊長各為多少時(shí)，所得圓柱體的體積為最大？解：設(shè)矩形的一邊長為，另一邊長為構(gòu)造拉格朗日函數(shù)令得，（唯一駐點(diǎn)）由實(shí)際問題的實(shí)際意義有，最大值存在，且在唯一駐點(diǎn)處取得即當(dāng)，時(shí)，圓柱體的體積最大，最大體積為第六章復(fù)習(xí)題1填空、選擇：若點(diǎn)以不同的方式趨近于點(diǎn)時(shí)，趨于不同的常數(shù)，則函數(shù)在處的二重極限不存在.函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)和相等的充分條件是混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù).設(shè)，則3.設(shè)，則曲線，，，在相應(yīng)于處的切線方程為法平面方程為函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，且，，則（C）曲面在的法向量為曲線在的切向量曲線在的切向量2若，，求.4設(shè)，，，求全導(dǎo)數(shù).5設(shè)，其中有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求，，.6設(shè)，其中有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求，.7設(shè)函數(shù)由方程所確定，求.第二節(jié)二重積分的計(jì)算，是由直線，，所圍成的閉區(qū)域.原式=，是由直線，，所圍成的平面閉區(qū)域.原式=，是由直線，，所圍成的閉區(qū)域.原式=，是半圓形閉區(qū)域：，.原式=，由直線，，所圍成的閉區(qū)域.原式=原式=原式=原式=原式=原式=3利用極坐標(biāo)計(jì)算下列二重積分：，是由圓周所圍成的閉區(qū)域.解：原式=，是環(huán)形閉區(qū)域：.解：原式=，其中：.解：原式=第三節(jié)三重積分的概念和計(jì)算2計(jì)算下列三重積分：，是由平面，，及拋物柱面所圍成閉區(qū)域解：原式=，是由錐面，柱面，及平面所圍成的閉區(qū)域.解：原式=3利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列積分：，是由曲面與所圍成的閉區(qū)域.原式，是由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域.原式=第七章復(fù)習(xí)題1填空題：積分=函數(shù)在有界閉區(qū)域上有二重積分的充分條件是在上連續(xù).設(shè)：，，則＝0.設(shè)在上連續(xù)，如果，則=2選擇題：設(shè)在：上連續(xù)，則＝（C）設(shè)圓形區(qū)域：，為的第一象限部分的閉區(qū)域，則（D）交換二次積分的積分次序，則得（D）+計(jì)算下列二重積分：，其中是頂點(diǎn)分別是，及的三角形閉區(qū)域.原式=，其中是由拋物線和所圍成的閉區(qū)域.原式=第八章曲線積分與曲面積分第一節(jié)對(duì)弧長的曲線積分1計(jì)算下列對(duì)弧長的曲線積分：，其中為連接與兩點(diǎn)的直線段.解：，其中為線段，.解：==，其中為由直線及拋物線所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界.解：=第二節(jié)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分1計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線積分：，其中是以,，為頂點(diǎn)的閉折線.解：，其中是拋物線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧.解：，其中為圓周（按逆時(shí)針方向繞行）.解：設(shè)==第三節(jié)格林公式曲線積分與路徑無關(guān)的條件1利用格林公式，計(jì)算下列曲線積分：，其中為正弦曲線和所圍區(qū)域的正向邊界.解：，其中為三頂點(diǎn)分別為、和的三角形正向邊界.解：，其中為從到.解：A,B添加有向線段:，從1到-12證明下列曲線積分在整個(gè)面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計(jì)算積分值：證明：，在整個(gè)面內(nèi)有故曲線積分與路徑無關(guān)證明：，在整個(gè)面內(nèi)有故曲線積分與路徑無關(guān)第四節(jié)曲面積分1計(jì)算，其中為平面在第一卦限中的部分.3計(jì)算，其中為球面上的部分.=5計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：，其中為平面位于第一卦限部分的上側(cè).解：，其中是柱面被平面及所截得的第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè).解：，其中是平面，，，所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).計(jì)算，其中為球面的外側(cè).解：第五節(jié)高斯公式與斯托克斯公式1利用高斯公式計(jì)算曲面積分：，其中為平面，，，，，所圍成的立體的表面的外側(cè).解：由高斯公式有，其中是以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四面體的表面的外側(cè).解：由高斯公式有，其中為拋物面被平面所截下的部分的下側(cè).解：添加曲面，取上側(cè)，其中是柱面被平面及所截得的部分的外側(cè).解：添加曲面，取下側(cè)，取上側(cè)第七節(jié)曲線積分和曲面積分的應(yīng)用舉例第八章總復(fù)習(xí)1填空題：設(shè)為單位圓周的上半部分，則設(shè)為球面的外側(cè)，則.設(shè)為正向圓周在第一象限部分，則設(shè)是有向光滑閉曲線，是常數(shù)，則0.4計(jì)算，其中為擺線上對(duì)應(yīng)從到的一段有向弧.解：5計(jì)算，其中為上半圓周，，沿逆時(shí)針方向.解：添加有向線段，從0到6計(jì)算，其中為錐面的外側(cè).解：添加曲面方向向上第九章無窮級(jí)數(shù)第二節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法而收斂，故收斂第三節(jié)冪級(jí)數(shù)收斂半徑收斂區(qū)間（域）為收斂半徑收斂區(qū)間為收斂域?yàn)橛袆t收斂半徑為收斂區(qū)間為收斂域?yàn)橛惺諗繀^(qū)間為收斂域?yàn)樵O(shè)，則有，即收斂區(qū)間為，收斂域?yàn)?利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)求下列級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)：收斂半徑為收斂區(qū)間為收斂半徑為收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為收斂半徑為收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為第四節(jié)函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)2將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)，并求收斂區(qū)間.，即3將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)，并求收斂區(qū)間.，，即第九章復(fù)習(xí)題1填空題：若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)必定收斂.若級(jí)數(shù)條件收斂，則級(jí)數(shù)必定發(fā)散.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑＝.設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，則冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.設(shè)，則1.設(shè)級(jí)數(shù)，若，則該級(jí)數(shù)收斂半徑.設(shè)周期函數(shù)以為周期，在區(qū)間上有，則的傅里葉級(jí)數(shù)在處收斂于2選擇題：設(shè)級(jí)數(shù)，則是