云南昆明市2020屆高三“三診一模”模擬考試（三模）數(shù)學(xué)（理）試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精云南省昆明市2020屆高三“三診一?！备呖寄M考試（三模）數(shù)學(xué)（理）試題含解析昆明市2020屆“三診一模”高考模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼．2．回答選擇題時,選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的．1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于（)A.第一象限 B。第二象限 C。第三象限 D。第四象限【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出的坐標(biāo)得答案．【詳解】解：，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第一象限．故選:．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．2。已知集合，，則（）．A. B。 C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】先由集合，求出集合，再根據(jù)交集的概念,即可求出結(jié)果.【詳解】因為集合,所以，因此.故選：D.【點睛】本題主要考查求集合的交集，熟記交集的概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.3.已知一家便利店從1月份至5月份的營業(yè)收入與成本支出的折線圖如下：關(guān)于該便利店1月份至5月份的下列描述中，正確的是(）．A。各月的利潤保持不變B.各月的利潤隨營業(yè)收入的增加而增加C。各月的利潤隨成本支出的增加而增加D.各月的營業(yè)收入與成本支出呈正相關(guān)關(guān)系【答案】D【解析】【分析】利用收入與支出(單位：萬元）情況的折線統(tǒng)計圖直接求解．【詳解】對于,通過計算可得1至5月的利潤分別為0.5,0。8，0.7，0。5，0.9，故錯誤；對于，由所得利潤，可知利潤并不隨收入增加而增加，故錯誤；對于，同理可得錯誤；對于，由折線圖可得支出越多，收入也越多,故而收入與支出呈正相關(guān),故正確，故選：D．【點睛】本題考查學(xué)生合情推理的能力,考查折線統(tǒng)計圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．4。已知點在雙曲線的一條漸近線上,該雙曲線的離心率為（）A. B. C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】根據(jù)點在雙曲線的一條漸近線上可得的關(guān)系，再根據(jù)求解即可。【詳解】由題，點在直線上，即，故離心率。故選：C【點睛】本題主要考查了雙曲線的離心率求解，需要根據(jù)題意確定的關(guān)系，進而求得離心率.屬于基礎(chǔ)題.5.已知點,,則(）A。 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩點間距離公式結(jié)合三角函數(shù)公式求解．【詳解】點,，，故選：B．【點睛】本題主要考查了兩點間距離公式,以及三角函數(shù)公式，是基礎(chǔ)題．6。如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體的體積為()A。216 B.108 C. D.36【答案】B【解析】【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，進一步求出三棱柱體的體積．【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為:該幾何體為底面為等腰三角形,高為6的三棱柱體，如圖所示：所以：．故選：B．【點睛】本題考查的知識要點：三視圖和直觀圖形之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力．7.材料一：已知三角形三邊長分別為，，，則三角形的面積為，其中．這個公式被稱為海倫-秦九韶公式材料二：阿波羅尼奧斯（Apollonius）在《圓錐曲線論》中提出橢圓定義：我們把平面內(nèi)與兩個定點，的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓．根據(jù)材料一或材料二解答：已知中，,，則面積的最大值為（）A。 B。3 C。 D。6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)材料二可得點的軌跡為橢圓，當(dāng)點運動到橢圓短軸的頂點時，可得的面積取得最大值。【詳解】由材料二可得點的軌跡為橢圓，其焦距,長軸，短軸當(dāng)點運動到橢圓短軸的頂點時，可得的面積取得最大值，,故選:C.【點睛】本題考查橢圓的定義及三角形面積的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想,考查運算求解能力。8。已知函數(shù)的圖象向左平移個單位后與的圖象重合，則的最小值為（）A。8 B。4 C。2 D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，得到為函數(shù)周期的整數(shù)倍，進而可得出結(jié)果。【詳解】因為函數(shù)的圖象向左平移個單位后與的圖象重合，所以（其中為函數(shù)的最小正周期)，即，所以，因為,所以。故選：B?！军c睛】本題主要考查由三角函數(shù)的周期求參數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題型。9。如圖1，已知是直角梯形，∥,，在線段上，．將沿折起,使平面平面，連接，，設(shè)的中點為,如圖2．對于圖2，下列選項錯誤的是（）A。平面平面 B。平面C D。【答案】A【解析】【分析】利用線面垂直判定與性質(zhì)進行證明平面，，證明是直角三角形可得.【詳解】由已知是直角梯形，∥，，得四邊形是矩形,所以∥,,，所以平面,又∥,平面,所以B正確平面平面,平面平面,平面,平面,所以C正確平面，又，平面,,是直角三角形，又的中點為所以，所以D正確.故選：A【點睛】求解翻折問題的關(guān)鍵及注意事項:求解平面圖形翻折問題的關(guān)鍵是弄清原有的性質(zhì)變化與否，即翻折（轉(zhuǎn))后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化．應(yīng)注意：(1)點的變化，點與點的重合及點的位置變化；（2)線的變化，翻折（轉(zhuǎn))前后，若線始終在同一平面內(nèi)，則它們的位置關(guān)系不發(fā)生變化，若線與線由在一個平面內(nèi)轉(zhuǎn)變?yōu)椴辉谕粋€平面內(nèi)，應(yīng)注意其位置關(guān)系的變化；（3）長度、角度等幾何度量的變化．10.已知為拋物線的焦點，點為拋物線上一點,以線段為直徑的圓與軸相切于點,且滿足，,則的值為(）A. B。 C. D.【答案】C【解析】【分析】作出圖形，根據(jù)題意推導(dǎo)出軸，結(jié)合，可得出點的坐標(biāo)，再將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程，可求得正數(shù)的值.【詳解】如下圖所示，設(shè)線段的中點為點，由題意可知，圓與軸相切于點，則軸，又,為的中點，,軸，由于，則點，將點的坐標(biāo)代入拋物線方程得,即，，解得.故選:C。【點睛】本題考查拋物線方程中參數(shù)的求解，根據(jù)題意求出點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.11.已知函數(shù),是的唯一極小值點,則實數(shù)的取值范圍為()A。 B。C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】求導(dǎo)可得，再根據(jù)是的唯一極小值點可得恒成立,再根據(jù)恒成立問題求解最小值分析即可。【詳解】求導(dǎo)有。設(shè)，則，故當(dāng)時,單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增.故若有兩個零點，則必有一根，則此時有時；時，故為的極小值點，與題意不符。故恒成立,故，即，解得.故選：D【點睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解極值點的問題,需要根據(jù)極值點滿足的關(guān)系分析得導(dǎo)函數(shù)零點的個數(shù)，再求最值求解參數(shù)的范圍,屬于中檔題。12.中，,，有下述四個結(jié)論:①若為的重心,則②若為邊上的一個動點,則為定值2③若，為邊上的兩個動點，且,則的最小值為④已知為內(nèi)一點，若,且，則的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號是（）A。①③ B.①④ C。②③ D.②④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意,先得為等腰直角三角形;①取中點為，連接，得到，根據(jù)平面向量基本定理,即可得出結(jié)果；②先由①得到，由題意得到在上的投影為，進而可求出向量數(shù)量積；③以點為坐標(biāo)原點，分別以、所在直線為軸、軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意，設(shè)，且,不妨令,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可求出結(jié)果；④同③建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)題意，得到,再設(shè),由題意，得到,，用表示出，即可求出結(jié)果;【詳解】因為在中，，;所以為等腰直角三角形；①如圖1，取中點為，連接，因為為的重心，所以在上，且，所以，故①正確；②如圖1，同①，因為為中點，為等腰直角三角形,所以,若為邊上的一個動點，則在上的投影為，因此，故②錯；③如圖2，以點為坐標(biāo)原點，分別以、所在直線為軸、軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，,易得，所在直線方程為:；因為,為邊上的兩個動點，所以設(shè)，,且，不妨令,因為，所以，即，則,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；故③正確；④同③建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，又,所以，即因為為內(nèi)一點，且，設(shè)，則，且,，因此,因為，所以,所以無最值，即無最值,故④錯。故選：A.【點睛】本題主要考查平面向量基本定理的應(yīng)用,以及求平面向量的數(shù)量積等問題，熟記平面向量基本定理，靈活運用建系的方法求解即可,屬于常考題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分,共20分．13。若，則__________．【答案】10【解析】【分析】首先寫出展開式的通項，即可求出含的項的系數(shù);【詳解】解：因為，的展開式的通項為,令，得，則故故答案為：10【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題。14.若“,”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的不等式，解出即可．【詳解】解：“"是真命題，；故答案為：．【點睛】本題考查了特稱命題的真假,考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題．15。在中，，,,在線段上,若與的面積之比為，則__________．【答案】1【解析】【分析】由與的面積之比為,可得，進而求得，在用余弦定理即可求得.【詳解】解：如圖,因為與的面積之比為，所以，又因為,所以,在中,由余弦定理得，所以。故答案為：1.【點睛】本題主要考查用余弦定理來解三角形，考查學(xué)生的計算能力和公式得掌握程度，屬于基礎(chǔ)題.16。某校同時提供、兩類線上選修課程，類選修課每次觀看線上直播分鐘，并完成課后作業(yè)分鐘，可獲得積分分；類選修課每次觀看線上直播分鐘，并完成課后作業(yè)分鐘，可獲得積分分．每周開設(shè)次，共開設(shè)周，每次均為獨立內(nèi)容，每次只能選擇類、類課程中的一類學(xué)習(xí)．當(dāng)選擇類課程次，類課程次時，可獲得總積分共_______分．如果規(guī)定學(xué)生觀看直播總時間不得少于分鐘，課后作業(yè)總時間不得少于分鐘，則通過線上選修課的學(xué)習(xí),最多可以獲得總積分共________分．【答案】(1）.(2).【解析】【分析】根據(jù)題意可計算出當(dāng)選擇類課程次，類課程次時,可獲得的總積分；設(shè)學(xué)生選擇類選修課次，類選修課次，根據(jù)題意列出有關(guān)、的約束條件，可得出目標(biāo)函數(shù)為，利用線性規(guī)劃思想可求得的最大值，進而得解.【詳解】根據(jù)題意,當(dāng)選擇類課程次，類課程次時，可獲得總積分分。設(shè)學(xué)生選擇類選修課次，類選修課次，則、所滿足的約束條件為，即，目標(biāo)函數(shù)為，如下圖所示:則可行域為圖中陰影部分中的整數(shù)點（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點），聯(lián)立，解得，可得點，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過可行域的頂點時，直線在軸上的截距最大，此時取最大值，即。因此，通過線上選修課的學(xué)習(xí)，最多可以獲得總積分共分。故答案為：；?！军c睛】本題考查線性規(guī)劃的實際應(yīng)用,將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題是解答的關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題。三、解答題:共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知數(shù)列為正項等比數(shù)列，為的前項和，若,．（1)求數(shù)列的通項公式；(2）從三個條件:①；②;③中任選一個作為已知條件，求數(shù)列的前項和．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1）（2）見解析【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，再根據(jù)題意利用基本量法求解即可。（2)選擇①可得,即可利用等比數(shù)列求和公式求解即可。選擇②可得，再根據(jù)等比與等差數(shù)列求和的公式求解即可。選擇③可得，再用等差數(shù)列求和公式求解即可?！驹斀狻拷猓海?）設(shè)數(shù)列的公比為,因為：,所以,故：，解得：或(舍去），故．由：，得：，將代入得：，所以數(shù)列的通項公式為：；(2）選擇①：，數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,所以,選擇②：，所以選擇③：，數(shù)列是首項為0，公差為1的等差數(shù)列．所以．【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解,同時也考查了等差等比數(shù)列求和的公式，屬于基礎(chǔ)題。18.已知四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，為正三角形,是的中點，過的平面平行于平面，且平面與平面的交線為,與平面的交線為．（1)在圖中作出四邊形（不必說出作法和理由)；(2）若,求平面與平面形成的銳二面角的余弦值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1)四邊形MNOE即為所求，其中N為PD中點，O為AD中點，E為BC中點;（2）連結(jié)OP，推導(dǎo)出，，平面PAD，,從而平面ABCD，,，,以O(shè)為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量能求出平面與平面PBC形成的銳二面角的余弦值。【詳解】（1)如圖,四邊形即為所求，其中為中點，為中點,為中點;（2）連接，依題意：，所以，則，又因為且，所以平面,則，因為為正三角形且為中點，所以平面，則，，,以為原點建立如圖坐標(biāo)系，因為，所以，，，，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，解得,設(shè)平面的一個法向量為，則,解得．則，所以平面與平面形成的銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查平面的作法，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間思維能力，屬于中檔題.19。已知橢圓左焦點為,經(jīng)過點的直線與圓相交于，兩點，是線段與的公共點,且．(1）求橢圓的方程;（2)與的交點為，，且恰為線段的中點，求的面積．【答案】(1)（2)【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義可求得，又，故，由此可得的方程；（2）根據(jù)為線段的中點，得,由以及可得的坐標(biāo)，從而可得三角形的面積?！驹斀狻?1）如圖:由圓可得，因為，所以,即,又,故，所以橢圓的方程為．（2）設(shè),,易知,因為為線段的中點，則，所以，又，解得，,若，則，直線的方程為，由,消去得，所以，所以，，即，所以的面積．若，同理可求得的面積．綜上,的面積為?！军c睛】本題考查了根據(jù)橢圓的定義求橢圓方程，考查了圓的性質(zhì)，考查了兩個垂直向量的坐標(biāo)表示，考查了直線與橢圓的交點，考查了三角形的面積公式，屬于中檔題。20。近年來，國家為了鼓勵高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，出臺了許多優(yōu)惠政策，以創(chuàng)業(yè)帶動就業(yè)．某高校畢業(yè)生小張自主創(chuàng)業(yè)從事蘋果的種植,并開設(shè)網(wǎng)店進行銷售．為了做好蘋果的品控，小張從自己果園的蘋果樹上，隨機摘取150個蘋果測重（單位：克）,其重量分布在區(qū)間內(nèi)，根據(jù)統(tǒng)計的數(shù)據(jù)得到如圖1所示的頻率分布直方圖．（1)以上述樣本數(shù)據(jù)中頻率作為概率，現(xiàn)一顧客從該果園購買了30個蘋果，求這30個蘋果中重量在內(nèi)的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望;（2）小張的網(wǎng)店為了進行蘋果的促銷，推出了“買蘋果，送福袋”的活動，買家在線參加按圖行進贏取福袋的游戲．該游戲的規(guī)則如下：買家點擊拋擲一枚特殊的骰子，每次拋擲的結(jié)果為1或2，且這兩種結(jié)果的概率相同;從出發(fā)格（第0格）開始，每擲一次，按照拋擲的結(jié)果，按如圖2所示的路徑向前行進一次，若擲出1點,即從當(dāng)前位置向前行進一格（從第格到第格，)，若擲出2點,即從當(dāng)前位置向前行進兩格（從第格到第格，)，行進至第3l格（獲得福袋）或第32格（謝謝惠顧)，游戲結(jié)束．設(shè)買家行進至第格的概率為，．（ⅰ)求、，并寫出用、表示的遞推式；(ⅱ）求，并說明該大學(xué)生網(wǎng)店推出的此款游戲活動，是更有利于賣家,還是更有利于買家．【答案】(1）8。4個;（2）(?。?．（ⅱ），更有利于買家．【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可求出蘋果的重量在內(nèi)的頻率，再根據(jù)二項分布的期望公式可得結(jié)果；（2)（ⅰ)由當(dāng)前格在第0格,且第一次拋擲骰子，結(jié)果為1，可求得；由當(dāng)前格在第0格，第一次拋擲骰子，結(jié)果為2，和當(dāng)前格在第1格，第二次拋擲骰子，結(jié)果為1,這兩個互斥事件的和事件的概率公式可求得；分兩種情況可求得:①當(dāng)前格在第格，拋擲一次骰子，結(jié)果為2，②當(dāng)前格在第格，拋擲一次骰子，結(jié)果為1,(ii）根據(jù)（?。┑倪f推關(guān)系可求得,由此可得，根據(jù)可求得,再比較大小可得答案?！驹斀狻浚?)由圖可知，蘋果的重量在內(nèi)的頻率為：．一顧客從該果園購買的30個蘋果中重量在內(nèi)的個數(shù)為，則，所以（個)．（2）（i）買家要行進至第1格的情況只有一種：買家第一次拋擲骰子，結(jié)果為1，行進至第一格,其概率為，則;買家要行進至第2格的情況有以下兩種：①當(dāng)前格在第0格,第一次拋擲骰子，結(jié)果為2,行進至第2格,其概率為；②當(dāng)前格在第1格，第二次拋擲骰子，結(jié)果為1，行進至第2格，其概率為；所以．買家要行進至第格的情況有以下兩種:①當(dāng)前格在第格,拋擲一次骰子,結(jié)果為2，行進至第格，其概率為；②當(dāng)前格在第格，拋擲一次骰子，結(jié)果為1，行進至第格，其概率為；所以．(ii)由（i)得，，即，又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．所以,所以，即．所以買家行進至第31格（獲得福袋）的概率為；又買家行進至第32格（謝謝惠顧)的概率為，由于，所以買家行進至第31格的概率大于行進至第32格的概率,即小張網(wǎng)店推岀的此款游戲活動是更有利于買家．【點睛】本題考查了由頻率分布直方圖求頻率,考查了二項分布的期望公式，考查了由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項，屬于中檔題。21.已知,，．（1）若,證明：;（2）對任意，都有，求整數(shù)的最大值．【答案】（1)見解析（2）2【解析】【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用二次求導(dǎo)可證明結(jié)論成立;(2）利用時，不等式成立以及（1）結(jié)論，可得，從而只需證明在區(qū)間恒成立即可．再根據(jù)（1)的結(jié)論，轉(zhuǎn)化為證明在上恒成立.利用導(dǎo)數(shù)即可證明，由此可得結(jié)果?！驹斀狻浚?）設(shè)，則,因為,且，則在單調(diào)遞減，因為，，所以存在唯一零點，使得，所以時,，時，，則在時單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,又,，所以在上恒成立,所以在上單調(diào)遞增,則，即．所以．（2）因為對任意的,不等式，即恒成立，令，則，由（1)知,所以，由于為滿足的整數(shù)，則，因此．下面證明在區(qū)間恒成立即可．由（1)知,則,故，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以,所以在上恒成立．綜上所述，的最大值為2．【點睛】本題考查了構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立，考查了利用導(dǎo)數(shù)處理不等式恒成立問題，考查了零點存在性定理,多次構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，利用放縮法進行轉(zhuǎn)化是本題的難點,屬于難題.（二）選考題:共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．并用鉛筆在答題卡選考題區(qū)域內(nèi)把所選的題號涂黑．如果多做，則按所