廣義線性濾波模型在非壽險(xiǎn)準(zhǔn)備金評(píng)估中的應(yīng)用

廣義線性濾波模型在非壽險(xiǎn)準(zhǔn)備金評(píng)估中的應(yīng)用

0引言對(duì)于一個(gè)廣義線性模型（GLM），按照貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷的理論，假設(shè)GLM的參數(shù)向量服從某個(gè)形式已知的先驗(yàn)分布，其后驗(yàn)分布就是該參數(shù)向量關(guān)于觀測(cè)數(shù)據(jù)的條件分布，通過(guò)計(jì)算參數(shù)向量的后驗(yàn)分布解決參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。在某些特殊情況如一元離散指數(shù)族下，能夠找到自然共軛的先驗(yàn)分布，因而容易計(jì)算出后驗(yàn)分布的具體形式，此結(jié)論在多元離散指數(shù)族中并不成立。因此在一般情況下，貝葉斯GLM的后驗(yàn)分布形式很難直接計(jì)算，因而產(chǎn)生了很多近似計(jì)算的方法。例如Westetal.在保留自然參數(shù)服從自然共軛先驗(yàn)分布的約束條件下給出了幾種參數(shù)變換的形式。Fahrmeir和Kaufman研究了估計(jì)后驗(yàn)分布的模。近年來(lái)還有不少利用MCMC方法處理貝葉斯GLM問(wèn)題的文獻(xiàn)。在精算領(lǐng)域的應(yīng)用如Scollnik及deAlba等人的研究。MCMC方法便于操作，但得不出后驗(yàn)分布的具體形式。在實(shí)際應(yīng)用中，近似的解析法雖然精度高但計(jì)算過(guò)于復(fù)雜，而隨機(jī)模擬方法雖然便于實(shí)現(xiàn)卻又得不到分布形式。GregTaylor[4]利用泰勒展開(kāi)式，在多元離散指數(shù)族下構(gòu)造出后驗(yàn)分布的二階近似解析表達(dá)式，使其滿足與貝葉斯GLM的先驗(yàn)分布同分布族的性質(zhì)，并能夠進(jìn)一步產(chǎn)生迭代公式，生成一個(gè)與Kalman濾波算法類似的GLM濾波算法，可推廣至動(dòng)態(tài)廣義線性模型（DGLM）的參數(shù)估計(jì)。這種利用二階近似的GLM濾波算法不同于復(fù)雜的傳統(tǒng)解析處理方法，通過(guò)使用典則聯(lián)結(jié)或伴隨典則聯(lián)結(jié)函數(shù)能夠簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。在非壽險(xiǎn)準(zhǔn)備金評(píng)估中，通常使用的確定性模型或隨機(jī)性模型都假設(shè)一個(gè)不隨時(shí)間變化的參數(shù)向量，它們都屬于靜態(tài)模型。當(dāng)保險(xiǎn)公司內(nèi)部或外部環(huán)境隨時(shí)間發(fā)生變化時(shí)，如果考慮模型參數(shù)及參數(shù)結(jié)構(gòu)隨時(shí)間發(fā)生變化，就可以使用動(dòng)態(tài)模型，如精算中常用的Kalman濾波模型，張連增[6]研究了Kalman濾波法在非壽險(xiǎn)未決賠款準(zhǔn)備金評(píng)估中的應(yīng)用。Kalman濾波模型的應(yīng)用局限性在于假設(shè)觀測(cè)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，不能處理其他常用分布（如泊松分布、伽瑪分布等）類型的數(shù)據(jù)。本文將從動(dòng)態(tài)模型的角度出發(fā)，探討非壽險(xiǎn)未決準(zhǔn)備金評(píng)估問(wèn)題：應(yīng)用廣義線性濾波模型，基于離散指數(shù)族分布，建立關(guān)于賠付數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)廣義線性模型；通過(guò)對(duì)流量三角形數(shù)據(jù)逐期（事故年或日歷年）迭代，實(shí)現(xiàn)模型的參數(shù)估計(jì)和準(zhǔn)備金評(píng)估。1廣義線性濾波模型1.1貝葉斯GLM的二階近似法對(duì)于勢(shì)方差函數(shù)，有，不滿足對(duì)任意p∈（-∞，+∞）成立，因而可能使得b（Xβ）在某些值上沒(méi)有定義。考慮到典則聯(lián)結(jié)函數(shù)存在的這種問(wèn)題，Taylor[4]定義伴隨典則聯(lián)結(jié)函數(shù)，并且在伴隨典則聯(lián)結(jié)函數(shù)下得到了與使用典則聯(lián)結(jié)函數(shù)時(shí)一致的似然函數(shù)遞推關(guān)系，僅其中涉及參數(shù)的形式發(fā)生一定的變化。常用的分布及伴隨典則聯(lián)結(jié)函數(shù)有伽瑪分布和對(duì)數(shù)聯(lián)結(jié)函數(shù)等。1.2動(dòng)態(tài)廣義線性模型考慮參數(shù)向量β隨時(shí)間隨機(jī)變化，則GLM模型形式變?yōu)椋?，其中Y（t）是Y在t時(shí)刻的觀測(cè)數(shù)據(jù)向量，設(shè)計(jì)矩陣X（t）、參數(shù)向量β（t）和誤差向量v（t）都表示t時(shí)刻的相應(yīng)狀態(tài)。類似狀態(tài)空間模型的定義，上式為觀測(cè)方程，還需定義參數(shù)演化的狀態(tài)方程：β（t+1）=Φ（t+1）β（t）+r（t+1），其中Φ（t+1）為已知矩陣，r（t+1）是均值為0的隨機(jī)干擾項(xiàng)，且與y（1），…，y（t）及β（0），…，β（t）相互獨(dú)立，記Var[r（t+1）]=R（t+1）。允許參數(shù)向量的維度隨時(shí)間變化。這樣就構(gòu)成了動(dòng)態(tài)廣義線性模型（DGLM）的基本形式。在實(shí)際應(yīng)用中，t可以選為事故發(fā)生年，也可以選為日歷年。利用貝葉斯二階近似法得到的先驗(yàn)似然與后驗(yàn)似然之間的遞推關(guān)系，可以在保留分布形式的同時(shí)通過(guò)不斷變換參數(shù)實(shí)現(xiàn)多次貝葉斯GLM的模型估計(jì)。這就形成了一個(gè)與Kalman濾波類似的貝葉斯GLM序列，可以稱之為貝葉斯GLM濾波或廣義線性濾波，利用這一濾波算法實(shí)現(xiàn)對(duì)DGLM各時(shí)刻的參數(shù)估計(jì)。類似狀態(tài)空間模型的定義，用記號(hào)t|t-j表示在t時(shí)刻利用t-j時(shí)刻之前（包t-j含時(shí)刻）的全部信息所進(jìn)行的估計(jì)。使用典則聯(lián)結(jié)函數(shù)時(shí)，似然函數(shù)的形式轉(zhuǎn)變?yōu)椋篢aylor[4]將Kalman濾波算法從動(dòng)態(tài)一般線性模型推廣到DGLM，保留了模型的線性系統(tǒng)成分。應(yīng)注意的是，當(dāng)使用正態(tài)分布和單位聯(lián)結(jié)函數(shù)時(shí)，廣義線性濾波就等于Kalman濾波，可見(jiàn)Kalman濾波是廣義線性濾波的一種特殊情況。廣義線性濾波模型的一般形式及其實(shí)現(xiàn)過(guò)程仍是比較復(fù)雜的，但對(duì)于幾種特殊分布（如正態(tài)分布、泊松分布、伽瑪分布）以及使用典則聯(lián)結(jié)或伴隨典則聯(lián)結(jié)函數(shù)的情況，濾波迭代公式能夠大為簡(jiǎn)化，因此在解決非壽險(xiǎn)準(zhǔn)備金評(píng)估問(wèn)題時(shí)具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。廣義線性濾波模型對(duì)各期參數(shù)的估計(jì)是基于迭代的過(guò)程，因此各期參數(shù)估計(jì)值比一般GLM的參數(shù)估計(jì)值較平滑。能夠降低經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的異常值對(duì)準(zhǔn)備金估計(jì)結(jié)果的影響。在早期賠付數(shù)據(jù)缺失或觀測(cè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常值的情況下，應(yīng)用廣義線性濾波模型能夠改善未決賠款準(zhǔn)備金的估計(jì)結(jié)果。2伽瑪廣義線性濾波模型伽瑪廣義線性濾波迭代計(jì)算的具體步驟如下：3實(shí)例分析為了更好地驗(yàn)證廣義線性濾波模型的估計(jì)效果，下面引用Taylor和Ashe（1983）[2]的數(shù)據(jù)（表1）對(duì)濾波迭代模型進(jìn)行實(shí)證分析。本例中β（t）t=1，…，10參數(shù)結(jié)構(gòu)未發(fā)生變化，則Φ（t）為單位陣。迭代初始值E[β（0|0]和Var[β（0|0）]選用伽瑪GLM的參數(shù)估計(jì)結(jié)果。參數(shù)向量β的濾波估計(jì)值E[β（t|t）如下頁(yè)表2所示。由下頁(yè)圖2可見(jiàn)由于濾