一類(lèi)分形集的維數(shù)的開(kāi)題報(bào)告

一類(lèi)分形集的維數(shù)的開(kāi)題報(bào)告開(kāi)題報(bào)告：一類(lèi)分形集的維數(shù)引言：在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中，分形是指由無(wú)限個(gè)重復(fù)的形狀組成的幾何圖形。最初，分形的研究主要集中在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)及其應(yīng)用方面，然而，隨著對(duì)其數(shù)學(xué)本質(zhì)的深入理解，分形幾何開(kāi)始被廣泛地應(yīng)用于物理學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等其他領(lǐng)域。分形是一門(mén)集數(shù)學(xué)、物理、計(jì)算機(jī)科學(xué)和自然科學(xué)的交叉學(xué)科。分形的研究成果之一是分形維數(shù)，它是描述分形的基本概念之一。它是用來(lái)表征一個(gè)對(duì)象的粗糙程度的，例如海岸線(xiàn)，起伏的山丘和樹(shù)木等，它們都可以用分形維數(shù)作為他們的形狀的描述。為了理解分形維數(shù)的概念，首先讓我們看一下分?jǐn)?shù)維數(shù)。分?jǐn)?shù)維數(shù)：一個(gè)最簡(jiǎn)單的幾何示例，可以讓我們充分理解分?jǐn)?shù)維度的概念是C龍曲線(xiàn)。C龍曲線(xiàn)的構(gòu)造方式是，在單位正方形的正中央，先畫(huà)一個(gè)長(zhǎng)度為1/2的線(xiàn)段，然后先向右旋轉(zhuǎn)45度，接著沿原方向移動(dòng)半個(gè)單位，再次向右旋轉(zhuǎn)45度，再次沿原方向移動(dòng)半個(gè)單位，以此類(lèi)推。迭代次數(shù)增加，我們得到類(lèi)似下圖所示的變化過(guò)程。如圖所示，我們可以看到C曲線(xiàn)一共使用了$n=10$次迭代，從而得到一條$L=2.8284...$長(zhǎng)度的曲線(xiàn)。我們還可以用類(lèi)似分形維數(shù)，分解分形圖形，使得曲線(xiàn)長(zhǎng)為$L=1$，而同時(shí)分形描繪其空間占用。我們對(duì)C龍曲線(xiàn)進(jìn)行如下處理：對(duì)于C龍曲線(xiàn)，我們可以將其分為$2^n$條長(zhǎng)度為$L_n=\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^n$的線(xiàn)段。因此，我們有以下公式：$$L_n=\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^n$$對(duì)于C龍曲線(xiàn)上用線(xiàn)段連接的$2^n$個(gè)點(diǎn)，我們可以用每個(gè)點(diǎn)周?chē)黾拥目臻g來(lái)衡量其分形維數(shù)。我們發(fā)現(xiàn)，每個(gè)線(xiàn)段周?chē)及鼑艘粋€(gè)大小為$L_n$的正方形。于是，我們可以計(jì)算每個(gè)點(diǎn)周?chē)目臻g增加量為$d_n=2^n\\cdotL_n^2$。因此，我們可以用以下公式表示C曲線(xiàn)的分?jǐn)?shù)維數(shù)：$$D_f=\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{\\log_2(d_n)}{\\log_2(L_n)}=\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{n\\log_2(2)}{n\\log_2(\\frac{\\sqrt{2}}{2})}=\\frac{\\log_2(2)}{\\log_2(\\frac{\\sqrt{2}}{2})}=2$$由于C龍曲線(xiàn)是一條曲線(xiàn)，其分?jǐn)?shù)維數(shù)為2。對(duì)于其他分形，其分?jǐn)?shù)維數(shù)不一定為整數(shù)。分形維數(shù)：分形維數(shù)是分形幾何研究的一個(gè)基本問(wèn)題，用于描述分形對(duì)象比一般的對(duì)象更為復(fù)雜的幾何概念。分形維數(shù)通常比整數(shù)還要特殊，我們常常需要使用non-integraldimension（分?jǐn)?shù)維數(shù)）來(lái)描述分形對(duì)象的特殊性質(zhì)。我們現(xiàn)在給出分形維數(shù)的定義：假設(shè)我們有一個(gè)分形集$S$，并且我們可以用$N(\\epsilon)$個(gè)$\\epsilon$尺度下的形狀來(lái)覆蓋這個(gè)分形，而每個(gè)形狀的尺寸為$\\epsilon^D$，其中$D$是所定義的分形維數(shù)。每個(gè)形狀尺寸的比例在$\\epsilon$縮放下可以保持不變，從而對(duì)于任意尺度$\\epsilon$，使用的形狀數(shù)量為$N(\\epsilon)$，其尺寸為$\\epsilon^D$。因此，我們可以在$\\epsilon$縮放下計(jì)算空間增加量$S(\\epsilon)\\(\\propto\\epsilon^{D_f})$.定義分形維數(shù)為：$$D_f=\\lim_{\\epsilon\\to0}\\frac{\\log(N(\\epsilon))}{\\log(\\frac{1}{\\epsilon})}=-\\frac{\\log(N(\\epsilon))}{\\log(\\epsilon)}$$需要注意的是，對(duì)于不同的分形集合，其分形維數(shù)未必是一個(gè)整數(shù)。開(kāi)題研究：我們現(xiàn)在選擇討論一類(lèi)分形集的分形維數(shù)。廣義維數(shù)（generalizeddimensions）是一類(lèi)衡量分形的特殊物理量，描述了分形對(duì)象通過(guò)某種方式向$D_f$值收斂的方式。廣義維數(shù)可以寫(xiě)成以下公式：$$D_q=\\frac{1}{q-1}\\lim_{\\epsilon\\rightarrow0}\\frac{\\log\\sum_ip_i^q(\\epsilon)}{\\log\\epsilon}$$其中$p_i$是分形集中第$i$個(gè)形狀的空間分布概率函數(shù)。我們接下來(lái)詳細(xì)介紹兩個(gè)常見(jiàn)于具有分支結(jié)構(gòu)的分形的廣義維數(shù)的計(jì)算。1.Bifurcatingfractals一個(gè)典型的bifurcatingfractal是binarytree。對(duì)于此類(lèi)分形集，一個(gè)節(jié)點(diǎn)有$k=2$個(gè)子節(jié)點(diǎn)，迭代深度深入$n$級(jí)，可得到$2^n$張圖像。由此，整個(gè)分形集可以被表示為一個(gè)二進(jìn)制字符串，其長(zhǎng)度為$n$。對(duì)于屬于二進(jìn)制的第$k$位的形狀，其空間分布概率為$p_k(\\epsilon)=\\epsilon^{D}$。對(duì)于一類(lèi)分形，當(dāng)$k$個(gè)子形狀是相互獨(dú)立時(shí)，使用ShannonEntropy處理分形圖形，其廣義分形維度可表述為：$$D_q=\\frac{1}{q-1}\\lim_{\\epsilon\\to0}\\log\\sum_{k=1}^{2^n}p_k(\\epsilon)^q=D_h+\\frac{q}{q-1}D=kD+D_h$$其中$D_h$是Shannonentropy，$k$是分形分支因子。2.Self-similarfractals一個(gè)典型的自相似分形是Cantor集。Cantor集由一段長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段開(kāi)始，然后通過(guò)刪除中間長(zhǎng)度為$\\frac{1}{3}$的區(qū)域重復(fù)構(gòu)造得到。我們假設(shè)$N(\\epsilon)$表示包含Cantor集內(nèi)所有長(zhǎng)度均不超過(guò)$\\epsilon$的線(xiàn)段所需的線(xiàn)段數(shù)量，其尺寸為$\\epsilon^{D_f}$。對(duì)于Cantor集，其廣義維數(shù)由以下公式求出：$$D_q=\\frac{1}{q-1}\\lim_{\\epsilon\\rightarrow0}\\log(\\sum_i\\mu_i^q)/\\log(\\epsilon)$$其中$\\mu_i$表示每個(gè)區(qū)間$i$的空間填充率。顯然，在Cantor集中，$N(\\epsilon)$和$\\epsilon^{-D_f}$成比例，因此其分形維數(shù)可以寫(xiě)成以下形式：$$D_q=D_f+\\frac{q}{q-1}\\log_32$$結(jié)論：分形維數(shù)是分形幾何中的一個(gè)基本概念，用于描述分形對(duì)象的粗糙度。對(duì)于特定的分形，我們