高等代數(shù)第六章自測(cè)題

第六章線性空間自測(cè)題一、選擇題1．設(shè)M是R上全體n階矩陣的集合，定義(A)=|A|,A∈M，則是M到R的一個(gè)（）.A．單射B．滿射C．雙射D．既非單射也非滿射2．把復(fù)數(shù)域C看成R上的線性空間，這個(gè)空間的維數(shù)是（）.A．一維B．二維C．三維D．無限維3．R是復(fù)數(shù)域，P是任一數(shù)域，則集合R∩P對(duì)于通常的數(shù)的加法與乘法是（）.A．C上的線性空間B．R上的線性空間C．Q上的線性空間D．不構(gòu)成線性空間4．已知P2的兩組基：與，則由基、、的過渡矩陣為（）.A．B．C．D．5．全體正實(shí)數(shù)集集合R+中，加法與數(shù)乘定義為：a⊕b=ab,k。a=ak，其中a、b∈R+，k∈R，則R+構(gòu)成R上的線性空間，它的維數(shù)與基為（）.A．維數(shù)=0，沒有基B．維數(shù)=1，1是基C．維數(shù)=1，2是基D．維數(shù)=2，3、5是基6.按通常矩陣的加法與數(shù)乘運(yùn)算，下列集合不構(gòu)成P上線性空間的是（）.A．B．C．D．7.數(shù)域P上線性空間的維數(shù)為，且中任意向量可由線性表出，則下列結(jié)論成立的是（）.A．B．C．D．8.設(shè)，則（）.A．2B．3C．49.已知在R上構(gòu)成線性空間，則的基為（）.A．B．C．D．10.若均為線性空間的子空間，則下列等式成立的是（）.A．B．C．D．11．已知，下列集合中是的子空間的為（）.A．B．C．D．12．下列集合有（）個(gè)是的子空間.；；；；A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)13.設(shè)都是三維向量空間的基，且，則矩陣是由基到（）的過渡矩陣.A．B．C．D．二、判斷題1．設(shè)V是n維線性空間，，且V中的每一個(gè)向量均可由它們線性表示，則.（√）2．（1，1，1），=（1，-1，1），=（-1，1，1）是三維空間R3的一組基.（√）3．若V1,V2為有限維線性空間V的子空間，則V1V2也是V的子空間.（×）4．設(shè)是線性空間V的一組線性無關(guān)向量，則L（）=L（，）⊕L（，）.（√）5．設(shè)V1、V2、V3是線性空間V的三個(gè)子空間，且V1∩V2=，V2∩V3=，V1∩V3=，則和V1+V2+V3是直和.（×）6.中的子集為子空間.（√）7.中的子集為子空間.（×）13.令是數(shù)域上一切滿足條件的階矩陣所成的線性空間，則=.14.令是數(shù)域上一切階上三角形矩陣所成的線性空間，則=.四、簡(jiǎn)答題1．證明：x2+x，x2-x，x+1是線性空間R[x]3的一組基，并求2x2+7x+3在這組基下的坐標(biāo).2.證明：是的一個(gè)基，并求多項(xiàng)式與在該基下的坐標(biāo).3.已知,，求在基下的坐標(biāo).4.已知是線性空間的一組基，求向量在基下的坐標(biāo).5．設(shè)有P4的兩個(gè)子空間，，，求的基與維數(shù).6．設(shè)，，求及.7．設(shè)(1)證明：中與可以交換的矩陣集合W是的子空間；(2)求W的基和維數(shù)；(3)寫出W中矩陣的一般形式.8．設(shè)(1)證明：全體與A可交換的矩陣組成的一子空間，記作;(2)當(dāng)A=E時(shí)，求;(3)當(dāng)時(shí)，求的維數(shù)與一組基.9．設(shè)U與W分別n階對(duì)稱集合與n階反對(duì)稱集合構(gòu)成的的子空間，證明：=U⊕W.10．已知的兩個(gè)子空間，，證明：．11．在線性空間中，求由線性方程組：所確定的的子空間的一組基和維數(shù).12.求齊次線性方程組解空間的一組基與維數(shù).13.求齊次線性方程組解空間的一組基與維數(shù).14.求齊次線性方程組解空間的一組基與維數(shù).15．設(shè)在線性空間中，有向量組，，,，求的一組基與維數(shù).16.已知向量組=(1,1,0,-1),=(1,2,3,4)，=(1,2,1,1)，=(2,4,2,2)，試求它們的生成子空間(,,,)的維數(shù)和一組基.17.考慮中以下兩組向量；，（1）證明和都是的基；（2）并求出由基到的過渡矩陣.18.已知中的兩向量組，（1）證明它