橢圓中焦點三角形的性質(zhì)(含答案)

1、焦點三角形習題性質(zhì)一：過橢圓焦點的所有弦中通徑(垂直于焦點的弦)最短，通徑為性質(zhì)二：已知橢圓方程為兩焦點分別為設焦點三角形中則.證明：記，由橢圓的第一定義得在中，由余弦定理得：配方得：即由任意三角形的面積公式得：.同理可證，在橢圓（0）中，公式仍然成立. 性質(zhì)三：已知橢圓方程為兩焦點分別為設焦點三角形中則性質(zhì)三證明：設則在中，由余弦定理得： 命題得證。例1. 若P是橢圓上的一點，、是其焦點，且，求的面積.例1解法一：在橢圓中，而記點P在橢圓上，由橢圓的第一定義得：在中，由余弦定理得：配方，得：從而解法二：在橢圓中，而例2.已知P是橢圓上的點，、分別是橢圓的左、右焦點，若，則的面積為（ ）A.

2、B. C. D. 解：設，則，故選答案A.例3.已知橢圓的左、右焦點分別是、，點P在橢圓上. 若P、是一個直角三角形的三個頂點，則點P到軸的距離為（ ）A. B. C. D. 或解：若或是直角頂點，則點P到軸的距離為半通徑的長；若P是直角頂點，設點P到軸的距離為h，則，又，故選D.1. 橢圓上一點P與橢圓兩個焦點、的連線互相垂直，則的面積為（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 24 解：，.故選D.2. 橢圓的左右焦點為、， P是橢圓上一點，當?shù)拿娣e為1時，的值為（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 6 解：設，.故選A.3. 橢圓的左右焦點為、， P是橢圓上一點，當?shù)拿娣e最

3、大時，的值為（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 解：，設， ，當?shù)拿娣e最大時，為最大，這時點P為橢圓短軸的端點，.故答案選D.4已知橢圓（1）的兩個焦點為、，P為橢圓上一點，且，則的值為（ ）A1 B C D 解：，又，從而.故答案選C.5. 已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，、為焦點，點P在橢圓上，直線與傾斜角的差為，的面積是20，且c/a=5/3，求橢圓的標準方程.解：設，則. ，又，即.解得：.所求橢圓的標準方程為或.專題2：離心率求法：1若橢圓的兩個焦點與它的短軸的兩個端點是一個正方形的四個頂點，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.1.解析：選A.如圖所示，四邊形B1

4、F2B2F1為正方形，則B2OF2為等腰直角三角形，.2若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是()A. B. C. D.2.解析：選B.由題意知2bac，又b2a2c2，4(a2c2)a2c22ac.3a22ac5c20.5c22ac3a20.5e22e30.e或e1(舍去)3若橢圓的短軸長為6，焦點到長軸的一個端點的最近距離是1，則橢圓的離心率為_3.解析：依題意，得b3，ac1.又a2b2c2，解得a5，c4，橢圓的離心率為e. 答案：4.已知A為橢圓1(a>b>0)上的一個動點，直線AB、AC分別過焦點F1、 F2，且與橢圓交于B、C兩點，若當A

5、C垂直于x軸時，恰好有|AF1|AF2|31，求該橢圓的離心率4.解：設|AF2|m，則|AF1|3m，2a|AF1|AF2|4m.又在RtAF1F2中，|F1F2|2m.e.5如圖所示，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上點M的橫坐標等于右焦點的橫坐標，其縱坐標等于短半軸長的，求橢圓的離心率 5. 解：法一：設橢圓的長半軸、短半軸、半焦距長分別為a、b、c.則焦點為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，M點的坐標為(c，b)，則MF1F2為直角三角形在RtMF1F2中，|F1F2|2|MF2|2|MF1|2，即4c2b2|MF1|2.而|MF1|MF2|b2a，整理得3c23a22ab.又c2a2b2，所以3b2a.所以.e21， e.法二：設橢圓方程為1