二面角的求法 論文

二面角的求法摘要：高中階段有關二面角求法題型有兩種：有棱二面角、無棱二面角，求解二面角一般有兩種思路：通過定位出二面角平面角來求解二面角，不須定位平面角利用二面角的等價性質來求解.本文依據(jù)這兩種解題思路根據(jù)不同的解題類型總結出了求解二面角的13種方法.關鍵詞：二面角；平面角；棱；定位；方法

1.引言

二面角及其平面角的概念是立體幾何最重要的概念之一，在歷年高考中幾乎都要涉及.尤其是在數(shù)學新課改的大環(huán)境下，要求對二面角求法的掌握變得更加靈活.二面角的概念發(fā)展、完善了空間角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了兩相交平面的相對位置，同時它也是空間中線線、線面、面面位置關系的一個匯集點.研究二面角的求法，可以進一步培養(yǎng)學生的空間想象能力和邏輯思維能力，為培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力提供了一個良好的契機.在求解二面角的問題中，通常首先要定位出二面角的平面角，而這也是學生在解題中感到最為陌生和棘手的問題.特別是若二面角的楞隱而不露其解題的難度又會增大.本文從二面角的概念定義入手，通過分類求解二面角的題型類別，探尋二面角的解題思路，并對二面角求解方法加以總結歸類.1.1二面角的相關概念新教材[1]在二面角中給出的定義如下：ABlB從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.定義只給出二面角的定性描述，關于二面角的定量刻畫還必須放到二面角的平面角中去研究.教材如下給出了二面角圖1O

O的平面角的概念：A二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內作射線AO,BOl，則AOB為二面角l的平面角. 2.二面角的求解方法

對二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，從而將三維空間中的求角問題轉化為二維空間并可以通過三角形的邊角問題加以解決.定位出二面角為解題的關鍵環(huán)節(jié)，下面就二面角求解的步驟做初步介紹：

一、“找”：找出圖形中二面角，若不能直接找到可以通過作輔助線補全圖形定位二面角的平面角

二、“證”：證明所找出的二面角就是該二面角的平面角

三、“算”：計算出該平面角

由于定位二面角的難度較大，對于求解二面角還有一種思路就是繞開定位二面角這一環(huán)節(jié)，通過一些等價的結論或公式或用空間向量等方法來直接求出二面角的大小.本文將根據(jù)這兩種解題思路對二面角的解題方法做一一介紹. 2.1定位二面角的平面角，求解二面角

二面角常見題型中根據(jù)所求兩面是否有公共棱可分為兩類：有棱二面角、無棱二面角.對于前者的二面角的定位通常采用找點、連線或平移等手段來定位出二面角的平面角；而對于無棱二面角我們還必須通過構造圖形如延展平面或找公垂面等方法使其有“無棱”而“現(xiàn)1棱”再進一步定位二面角的平面角.

2.1.1直接法對于圖形中已有二面角的平面角，只要加以證明PE認定，然后可直接計算求解.例1[2]如圖2，已知PA面ABC，ABBC,PC的垂直平分線DE交AC于D，交PC于E.PA=AB=1,PB=BC求二面角E-BD-C的大小.解：由PE=EC,PB=BC知PCBE,且PCDE,可ADC知PC面BDE.因BD?面BDE可得BDPC.由PA面ABC,BD面ABC知BDPA，且BDPC知BD面PAC.又因DE,DC?面PAC,故知BDDE,BDDC.于是可知∠CDE是二面角E-BD-C圖2B的平面角.由PA=AB=1得PB=BC= 2.因PA面ABC,BCAB,有BCPB,可得PC=2.在RT?PAC中，∠ACP=30,可得在RT?CDE中，∠CDE=60.所以二面角E-BD-C的大小為60 2.1.2定義法

根據(jù)二面角平面角的定義，其解題步驟一般既是：定棱，找點，連線，解答。即：在二面角棱上選擇恰當?shù)狞c，過此點作出二面角的平面角，如抓住共底的等腰三角形的性質選擇公共棱的中點連接得到二面角；在兩個平面為共底且對應全等的三角形，可以選擇公共垂足連線得到二面角的平面角等。例2在如圖3所示的三棱錐P-ABC中，AB=AC=PB=PC=2,BC=22,PA=2.求二面P角P-BC-A的大小. 解：作BC中點D，連接PD,AD.因

PB=PC=AB=AC，知PDBC,ADBC,又有面PBC與面ABC共棱可得∠PDA為二面角.ACP-BC-A的平面角.而AB=2,BC=22,易知DAD=PD=2,在RT?PAD中，PA21圖3BcosPDAPD2AD22PDAD.2所以二面角P-BC-A的大小為6022.1.3三垂線（逆）定理法根據(jù)三垂線定理及其逆定理，如圖4所圖4P示在半平面內找一點P，作PO面于O,并從垂足O作棱的垂線OA交棱于A點，l 連接PA,則∠PAO就是二面角l的平面角.AOl例3在正方體ABCDA1B1C1D1中，O1為面A1B1C1D1中心，求二面角O1AC1D1的大小.解：在正方體ABCDA1B1C1D1中B1D1A1C1,且A1C1B1D1,B1D1C1面A1B1C1D1,故B1D1AC1，B1D1A1C1A1D1O1又A1C1,AC1面AC1A1,可知B1B1D1AC1A1ADMC過D1作D1MAC1于M，連接O1M則由三垂線（逆）定理可知D1MO1為二面角BO1AC1D1的平面角.不妨令AA12，于是，有圖52,O1M6，D1M26,OO133可得cosDMO1O1M1所以二面角O1AC1D11D1M2的大小為60 3.1.4垂面法

如果空間中有與二面角的棱垂直的平面，則該平面與兩個半平面的交線所成的角即為二面角的平面角. 上述結論可進一步引申：

推論1：空間中存在分別與二面角的兩個半平面垂直的平面，則該平面與兩個半平面的交線所成的角即為二面角的平面角.3例4如圖6，二面角l內一點P到兩個半平面、的距離分別為、12.到棱的距離為l10,求二面角l的大小.B解：作PA于A,PB于B,由PA、PPB確定的平面交于C點,記llC.C由PA,PB而l，易知l圖6APAlPBl且PA,PB可得l.則ACB是二面角l的平面角.又PA,1PB2,PC10利用和角的余弦公式可求得cosACBcos(ACPPCB)22從而，知二面角l的大小為45.評注：以上四種方法是求解二面角的常用方法，也是在解決有棱二面角的通用方法.對于方法4，下再給出解決無棱二面角的一個例子.例5如圖7,在正三棱柱ABCA1B1C1中,截面A1EC側面AC1,若AA1A1B1,A求平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角（銳角）的大小.C解:設A1CAC1G.因為面A1C1G與面BGAC1重合,由題意面A1C1G面A1EC，而1A為面A1EC與面A1B1C1相交于棱上一點且A1面A1C1G，所以面A1C1G為所求二面角的一垂圖7EC1面，GA1C1為所求二面角的平面角.在正三棱柱ABCA1B1C1中,AA1A1B1,可知1AB1GA1C145故所求二面角的大小為45.2.2.1法向量法4若二面角l兩個半平面,的法向量分別為 n1,n2且知道二面角l為銳角（鈍角），則cos

n1

n2(cos

n1

n2),其中為二面角l的平面角.

n1

n2

n1

n2例6如圖15,在矩形ABCD外存在一點P，使PA面ABCD，PA=PB=1,BC=2.求二面角B-PC-D的大小.解:由題意建立如圖空間直角坐標系,則A(0,0,0)P(0,0,1)B(1,0,0)C(1,2,0)D(0,2,0)，設面PAC的法向量為

n1(x1,y1,z1),arccoszCDy面PCD的法向量

n2(x2,y2,z2)P則有由

n1PBn1PC0

n1)1,0,1(0A及n2PDn2PC0n2(2,1,0)B0得x圖15cos

n1

n2105105.

n1

n2注意到B-PC-D為鈍角，故B-PC-D的大小為3.2.1向量法

在中結論1可以進一步引用向量的方法解決定理1設二面角l為，l于E，BFl于F，則，有BLA,Al,B,Bl;AEz EAFBcos

EA

FBA5A圖19MylxFEB圖18文[5]給出另一結論： 定理2如圖19，空間任一條直線L,A,B是直線L上的兩個點，M是空間任一點,MNL于N,則

NM

AM

AM

AB

AB2

AB 利用上述兩結論我們可以利用空間坐標向量計算二面角，避免產(chǎn)生二面角的平面角與其法向量夾角的誤判，同時又避免了對垂足M,N坐標的判斷.例6[5]如圖20,已知正方形ABCD和矩形EzNACEF坐在平面相垂直，AB2,AF1,M是線段EF中點，求二面角A-DF-B的大小.解:如圖建立空間直角坐標系MFBCxyz，則A(2,20,),B(,020,),DxCAyD(20,0,),F(2,2)1,.圖20作AMDF于M,BNDF的延長線于N,則

MA與

NB所成的角的大小與二面角A-DF-B的大小相等.,23)2)

MA

DA

DM

DA DADF

DF2

DF(,023

NB

MADB

DN

DB DBDF

DF2

DF(2,2,33cos

MA

NB1

MA

NB2故二面角A-DF-B的大小為60.6 小結

評注：本文給出了二面角的相關求法以及一些例題，對于二面角的解題策略按照求作二面角的平面角和無需定位二面角的平面角兩種思路來分別加以介紹.本文試圖按照這兩種思路分二面角的兩種題型加以說明概括. 這13種方法動用了數(shù)學上的集中解題思想：轉化思想、類比思想、建構圖像思想、將維思想等，下對以上這些方法和思想進一步加以歸類，以便于后來者研究和總結.參考文獻:

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