基于混合分布單因子模型的CDO定價(jià)問題

基于混合分布單因子模型的CDO定價(jià)問題

0引言債務(wù)抵押證券(CDO)，它是以抵押債務(wù)信用為基礎(chǔ)，通過各種資產(chǎn)證券化技術(shù)，對債券、貸款等資產(chǎn)組建資產(chǎn)池，重新分割投資回報(bào)和風(fēng)險(xiǎn)，以滿足不同投資者需要的衍生證券產(chǎn)品。投資者通過承擔(dān)資產(chǎn)池的違約損失，獲取CDO發(fā)起人定期支付的權(quán)利金（即CDO的公允價(jià)格）。在交易過程中，資產(chǎn)池抵押資產(chǎn)組合所發(fā)生的損失首先被股權(quán)級分券層承擔(dān)，然后依次由低級分券層、中級分券層及高級分券層承擔(dān)，分券層級別越高所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)越低（所獲得的權(quán)利金也相應(yīng)降低）。舉例來說，設(shè)分券層為，當(dāng)資產(chǎn)池累積損失比例小于這個(gè)分券層的下界時(shí)，投資者不承擔(dān)任何損失；如果累積損失大于這個(gè)分券層比例的下界但小于上界時(shí)，這個(gè)分券層的投資者需承擔(dān)損失的比例為超過的部分；一旦累積損失比例超過，則這個(gè)分券層的投資者需承擔(dān)的損失比例為，超出部分對該分券層的投資者不產(chǎn)生作用，且每一分券層的下界對應(yīng)于前一分券層的上界。所謂CDO定價(jià)，即給出CDO不同分券層的公允價(jià)格（即權(quán)利金），其定價(jià)核心是資產(chǎn)池抵押資產(chǎn)違約損失聯(lián)合概率分布的計(jì)算，具有代表性的模型是基于半解析方法的常相關(guān)系數(shù)單因子高斯模型[1-3]。但是，在對分券層市場數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)不是常數(shù)，而是不同的取值，存在“相關(guān)系數(shù)偏離”現(xiàn)象[4-5]，主要由高斯模型不能徹底解決厚尾現(xiàn)象及CDO發(fā)行交易過程中單個(gè)資產(chǎn)的分券層級別發(fā)生變化所致。于是，為解決該問題涌現(xiàn)了很多處理方法，主要有兩種途徑：一種是隨機(jī)相關(guān)系數(shù)的引入[6]；另一種方法是引進(jìn)不同的厚尾分布[7]模型，主要有：α穩(wěn)態(tài)分布[8]，雙t分布[2]，正態(tài)逆高斯(NIG)分布[9]。近來，LaurentJ-P和GregoryJ[10]利用高斯混合分布的因子模型對CDO分券層定價(jià)，且發(fā)現(xiàn)基于該混合分布的因子模型比單一分布的因子模型處理數(shù)據(jù)擬合時(shí)效果更好，但是他們沒有考慮隨機(jī)相關(guān)系數(shù)問題?；诖?，結(jié)合正態(tài)逆高斯分布的厚尾特性，本文引入NIG和標(biāo)準(zhǔn)高斯的混合分布，建立了具有隨機(jī)相關(guān)系數(shù)的單因子模型，即單因子Copula混合分布模型。本文首先介紹了CDO的發(fā)展及由高斯分布和正態(tài)逆高斯分布構(gòu)成的混合分布等預(yù)備知識，然后給出了CDO分券層定價(jià)的半解析方法，最后給出了基于隨機(jī)相關(guān)系數(shù)的混合分布單因子模型，進(jìn)一步給出了貝努利相關(guān)和三狀態(tài)相關(guān)兩種隨機(jī)相關(guān)系數(shù)條件下的CDO抵押資產(chǎn)組合累積損失的聯(lián)合概率分布。1預(yù)備知識定義1.1（NIG分布）NIG分布（正態(tài)逆高斯分布—normalinverseGaussiandistribution[9,11]）是正態(tài)分布和逆高斯分布的混合分布。若隨機(jī)變量U服從參數(shù)為α，β，μ和δ的NIG（α，β，μ，δ）分布，則其密度函數(shù)為2GDO定價(jià)的半解析法CDO定價(jià)就是給CDO不同分券層賦以公允價(jià)格。下面從投資者的角度——即從投資者的損失面(DL-DefaultLeg)和收益面(PL-PremiumLeg)進(jìn)行分析，損失面是當(dāng)?shù)盅嘿Y產(chǎn)發(fā)生違約時(shí)投資者投資相應(yīng)分券層所承擔(dān)的損失金額現(xiàn)值，而收益面是投資者投資相應(yīng)分券層所獲得的收益金額現(xiàn)值，在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，損失面的期望值必須等于收益面的期望值，即3模型及其累積損失的聯(lián)合概率分布在考慮由標(biāo)準(zhǔn)高斯分布和NIG分布組成的混合分布的前提下，這一節(jié)主要討論基于該混合分布的單因子Copula模型的CDO資產(chǎn)池的累積違約損失概率分布。首先給出混合分布的單因子模型，定義如下：下一步工作將在隨機(jī)相關(guān)系數(shù)的前提下，基于型分析CDO抵押資產(chǎn)組合的聯(lián)合違約概率分布問題，重點(diǎn)討論兩種隨機(jī)相關(guān)系數(shù)的情形：貝努利相關(guān)系數(shù)和三狀態(tài)相關(guān)系數(shù)，這兩種情形適用于在CDO發(fā)行交易過程中，由于單個(gè)資產(chǎn)的分券層級別可能發(fā)生升級或降級的情況（同一資產(chǎn)的分券層級別在不同時(shí)間段上可能發(fā)生升級、降級、甚至兩者兼有），進(jìn)而引起相關(guān)系數(shù)發(fā)生變化的情況。3.1貝努利相關(guān)系數(shù)Ⅰ）當(dāng)，此狀態(tài)表示該資產(chǎn)價(jià)值僅依賴于自身異質(zhì)因子而與市場共同因子無關(guān)，該資產(chǎn)的違約對資產(chǎn)池中的其他資產(chǎn)沒有影響。2005年福特公司信用價(jià)差升高、信用評級降低，使得資產(chǎn)池中資產(chǎn)組合的異質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)加大，并直接導(dǎo)致股權(quán)分券層風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的提高，便是此狀態(tài)的一個(gè)明顯例證。Ⅱ）當(dāng)，此狀態(tài)表示資產(chǎn)價(jià)值只取決于市場共同因子而與自身異質(zhì)因子無關(guān)，例如當(dāng)宏觀經(jīng)濟(jì)