高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)x，y滿足約束條件，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)，z=ax+y取得最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣1，1） B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最值，判斷a的范圍即可．【解答】解：x，y滿足約束條件的可行域如圖：當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)，z=ax+y取得最大值，即z=ax+y經(jīng)過（1，1）時(shí)，z取得最大值，直線化為y=﹣ax+z，z是幾何意義是直線在y軸上的截距，如圖，直線的斜率滿足：（kAB，kAO）a∈（﹣1，1）．故選：A．2.已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A．3

B．2

C．1

D．0參考答案：B3.已知函數(shù)，.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若，，求。參考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)，且，所以，略4.在等差數(shù)列{an}中，a9=a12+6,則數(shù)列{an}的前11項(xiàng)和S11=（

）A．24

B．48

C．66

D．132參考答案：D5.若一個(gè)幾何體的主視圖和左視圖是邊長為2的等邊三角形，俯視圖是一個(gè)圓，則這個(gè)幾何體的體積是A. B. C. D.不能確定參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案解析】B

由三視圖知，幾何體是一個(gè)圓錐，圓錐的底面是一個(gè)直徑為2的圓，

圓錐的母線長是2，根據(jù)勾股定理可以得到圓錐的高是=∴圓錐的體積是×π×12×=故選B．【思路點(diǎn)撥】幾何體是一個(gè)圓錐，圓錐的底面是一個(gè)直徑為2的圓，圓錐的母線長是2，根據(jù)勾股定理可以得到圓錐的高，利用圓錐的體積公式做出結(jié)果．6.已知函數(shù)，則下列不等式中正確的是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略7.如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若||=a，||=b，則=（）A．a(chǎn)2﹣b2B．b2﹣a2C．a(chǎn)2+b2D．a(chǎn)b參考答案：B考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用．專題：計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用．分析：利用向量的線性運(yùn)算及向量的數(shù)量積公式，即可得到結(jié)論．解答：解：∵AD⊥DC，∴=0，∴==﹣=﹣∵AB⊥BC，∴=0，∴﹣=﹣∵||=a，||=b，∴﹣=b2﹣a2∴=b2﹣a2，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，考查向量的線性運(yùn)算及向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．8.若,則方程有實(shí)根的概率為：A．

B．

C．

D．參考答案：C9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出k的值為6，則判斷框內(nèi)可填入的條件是（）A.

B.

C.

D.參考答案：C10.已知集合,，則A∩B=（

）A.(2,+∞)

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.計(jì)算：（log52016）0﹣（2）+lg+|lg3﹣1|=

．參考答案：【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】化0指數(shù)冪為1，化帶分?jǐn)?shù)為假分?jǐn)?shù)，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，然后結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值．【解答】解：：（log52016）0﹣（2）+lg+|lg3﹣1|=1﹣+lg3﹣1+1﹣lg3=1﹣．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理指數(shù)冪的化簡與求值，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．12.若變量滿足，則的最大值為

▲

，=

▲

.參考答案：8，13.若實(shí)數(shù)滿足：表示的區(qū)域的面積為

的取值范圍是

參考答案：

,14.已知拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為

。參考答案：15.（5分）（2015?澄海區(qū)校級(jí)二模）已知數(shù)列{an}，an=2n，則++…+=．參考答案：1﹣【考點(diǎn)】：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】：計(jì)算題．【分析】：由數(shù)列的通項(xiàng)公式an=2n，得到數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，列舉出所示式子的各項(xiàng)，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡，即可得到結(jié)果．解：由題意得：數(shù)列{an}為首項(xiàng)是2，公比為2的等比數(shù)列，由an=2n，得到數(shù)列{an}各項(xiàng)為：2，22，…，2n，∴++…+=++…+，∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則++…+=++…+==1﹣．故答案為：1﹣【點(diǎn)評(píng)】：此題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，其中確定出數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列是解本題的關(guān)鍵．16.拋物線上的點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線距離為，到直線的距離為，則的最小值是________參考答案：答案：

17.函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為_____參考答案：(1,2)【分析】設(shè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)為，利用對(duì)任意均成立可求出，.【詳解】由題意設(shè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)為，則有對(duì)任意均成立，代入函數(shù)解析式得，整理得到：，整理得到對(duì)任意均成立，所以，所以，.，即對(duì)稱中心．故答案為：．【點(diǎn)睛】若，則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；若，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖：在△ABC中，D為AB邊上一點(diǎn)，DA=DC，已知∠B=，BC=3（1）若△BCD為銳角三角形，DC=，求角A的大??；（2）若△BCD的面積為，求邊AB的長．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理可求，結(jié)合△BCD為銳角三角形，可求∠CDB，進(jìn)而可求∠ADC的值，又DA=DC，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得解∠A的值．（2）利用三角形面積公式可求BD的值，利用余弦定理可求得CD的值，進(jìn)而可求AB=CD+BD的值．【解答】（本題滿分為12分）解：（1）因?yàn)椋涸凇鰾CD中，由正弦定理得，所以：，又因?yàn)椋骸鰾CD為銳角三角形，所以：∠CDB=60°，所以：∠ADC=120°，DA=DC，所以：∠A=∠ACD=30°，∠A=30°．…（2）因?yàn)椋?，所以：，所以：，在△BCD中由余弦定理得：CD2=BD2+BC2﹣2BD×BCcos∠B=2+9﹣6=5，所以：，所以：．…19.（本題滿分13分）如圖，是以為直徑的半圓上異于、的點(diǎn)，矩形所在的平面垂直于半圓所在的平面，且.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若異面直線和所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.參考答案：（Ⅰ）∵平面垂直于圓所在的平面，兩平面的交線為，平面，，∴垂直于圓所在的平面.又在圓所在的平面內(nèi)，∴.∵是直角，∴，∴平面,∴.…………6分

(Ⅱ)如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，過點(diǎn)與平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由異面直線和所成的角為，知，∴，∴，由題設(shè)可知，，∴，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，，取，得.∴.又平面的一個(gè)法向量為，∴.平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

…………13分（其他解法可參考給分）20.如圖所示，四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE為等邊三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，AB=2CD=2BC=2，P為CE中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AB⊥DE；（Ⅱ）求平面ADE與平面BCE所成的銳二面角的余弦值；（Ⅲ）在△ABE內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，使PQ⊥平面CDE，如果存在，求PQ的長；如果不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）取AB中點(diǎn)O，連結(jié)OD，OE，由已知條件推導(dǎo)出AB⊥OE，四邊形OBCD是平行四邊形，OD∥BC，AB⊥OD．由此證明AB⊥平面ODE，從而得到AB⊥DE．（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面ADE與平面BCE所成的銳二面角的余弦值．（Ⅲ）設(shè)Q（x2，y2，0），利用向量法能求出存在點(diǎn)，使PQ⊥平面CDE，此時(shí)．【解答】（Ⅰ）證明：取AB中點(diǎn)O，連結(jié)OD，OE，…因?yàn)椤鰽BE是正三角形，所以AB⊥OE．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是直角梯形，，AB∥CD，所以四邊形OBCD是平行四邊形，OD∥BC，又AB⊥BC，所以AB⊥OD．所以AB⊥平面ODE，…所以AB⊥DE．…（Ⅱ）解：因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABE，AB⊥OE，所以O(shè)E⊥平面ABCD，所以O(shè)E⊥OD．…如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．則A（1，0，0），B（﹣1，0，0），D（0，0，1），C（﹣1，0，1），．所以，，…設(shè)平面ADE的法向量為n1=（x1，y1，z1），則，…令z1=1，則x1=1，．所以n1=．…同理求得平面BCE的法向量為n2=，…設(shè)平面ADE與平面BCE所成的銳二面角為θ，則cosθ==．所以平面ADE與平面BCE所成的銳二面角的余弦值為．…（Ⅲ）解：設(shè)Q（x2，y2，0），因?yàn)?，所以，，．依題意，即…解得，．…符合點(diǎn)Q在三角形ABE內(nèi)的條件．…所以，存在點(diǎn)，使PQ⊥平面CDE，此時(shí)．…21.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圓直徑為1，求a2+b2的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【專題】解三角形．【分析】（1）在△ABC中，由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角和差的正弦公式化簡可得sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．故有C﹣A=B﹣C，或者C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立，舍去），即2C=A+B，由此求得C的值．（2）由于C=，設(shè)A=+α，B=﹣α，﹣＜α＜，由正弦定理可得a2+b2=sin2A+sin2B=1+cos2α．由﹣＜2α＜，根據(jù)余弦函數(shù)的定義域和值域求得a2+b2的取值范圍．【解答】解：（1）在△ABC中，∵，∴=，化簡可得sinCcosA﹣cosCsinA=sinBcosC﹣cosBsinC，即sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．∴C﹣A=B﹣C，或者C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立，舍去），即2C=A+B，∴C=．（2）由于C=，設(shè)A=+α，B=﹣α，﹣＜α＜，由正弦定理可得a=2rsinA=sinA，b=2rsinB=sinB，∴a2+b2=sin2A+sin2B=+=1﹣[co