任意角的概念與弧度制教案

課

第7章

數(shù)學(xué)

第。。節(jié)任意角的概念

程711

授課時(shí)數(shù)2授課方法講授法

授課時(shí)間授課班級(jí)海乘1601/輪機(jī)1601

知識(shí)目標(biāo)：

⑴了解角的概念推廣的實(shí)際背景意義；

⑵理解任意角、象限角、界限角、終邊相同的角的概念．

教學(xué)目的能力目標(biāo)：

(1）會(huì)判斷角所在的象限；

（2）會(huì)求指定范圍內(nèi)與已知角終邊相同的角；

（3）培養(yǎng)觀察能力和計(jì)算技能．

教學(xué)重點(diǎn)重點(diǎn)：終邊相同角的概念．

和難點(diǎn)難點(diǎn)：終邊相同角的表示和確定．

復(fù)習(xí)提問與

P6練習(xí)2預(yù)習(xí)

作業(yè)布置

教學(xué)思路、方法、手段

（1)以豐富的生活實(shí)例為引例,引入學(xué)習(xí)新概念——角的推廣；

(2）在演示—-觀察-—思維探究活動(dòng)中，使學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解終邊相同的角；

（3）在練習(xí)——討論中深化、鞏固知識(shí)，培養(yǎng)能力；

(4）在反思交流中，總結(jié)知識(shí)，品味學(xué)習(xí)方法．

教學(xué)備品

教學(xué)課件、學(xué)習(xí)演示用具（兩個(gè)硬紙條一個(gè)扣釘）．

【教學(xué)過程】

1

教學(xué)教師學(xué)生教學(xué)時(shí)

過程行為行為意圖間

*揭示課題利用

7.1任意角的概念與弧度制介紹了解實(shí)際

*創(chuàng)設(shè)情景興趣導(dǎo)入問題

問題1引起

質(zhì)疑思考

游樂場(chǎng)的摩天輪，每一個(gè)轎廂掛在一個(gè)旋臂上，小明與小學(xué)生

華兩人同時(shí)登上摩天輪，旋臂轉(zhuǎn)過一圈后，小明下了摩天輪，的好

小華繼續(xù)乘坐一圈．那么,小華走下來時(shí)，旋臂轉(zhuǎn)過的角度是多奇心

提問

少呢？和求

求解

問題2知欲

用活絡(luò)扳手旋松螺母，當(dāng)扳手按逆時(shí)針方向由OA旋轉(zhuǎn)到

OB位置時(shí)，就形成一個(gè)角；在扳手由OA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一生活

周的過程中，就形成了0°到360°之間的角；扳手繼續(xù)旋轉(zhuǎn)下去,討論實(shí)例

就形成大于的角．如果用扳手旋緊螺母，就需將扳手按說明有助

順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，形成與上述方向的角．于學(xué)

交流生理

歸納10

解角

通過上面的三個(gè)實(shí)例,發(fā)現(xiàn)僅用銳角或0°360°范圍的角，

總結(jié)

的推

已經(jīng)不能反映生產(chǎn)、生活中的一些實(shí)際問題，需要對(duì)角的概念理解

廣的

進(jìn)行推廣．

意義

*動(dòng)腦思考探索新知

概念

結(jié)合

一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點(diǎn)O，按逆時(shí)針

說明思考圖形

（或順時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB就形成角．旋轉(zhuǎn)開始

講解

位置的射線OA叫角的始邊，終止位置的射線OB叫做角

角的

的終邊,端點(diǎn)O叫做角的頂點(diǎn)．

圖形

規(guī)定：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角(如圖（1）），

可以

按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角（如圖（2）)．當(dāng)射線仔細(xì)理解

加入

分析

沒有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，也認(rèn)為形成了一個(gè)角，這個(gè)角叫做零角．

學(xué)生

講解

的舉

關(guān)鍵

例

點(diǎn)

2

教學(xué)教師學(xué)生教學(xué)時(shí)

過程行為行為意圖間

引導(dǎo)記憶明確

角的

類型

強(qiáng)調(diào)明確

(1)（2）完成

類型

角的

經(jīng)過這樣的推廣以后,角包含任意大小的正角、負(fù)角和零

推廣

角．

表示象限

引導(dǎo)領(lǐng)會(huì)

除了使用角的頂點(diǎn)與邊的字母表示角，將角記為“∠”

AOB角可

或“∠O"外，本章中經(jīng)常用小寫希臘字母、、、來以引

表示角．

導(dǎo)學(xué)

概念展示觀察生一

數(shù)學(xué)中經(jīng)常在平面直角坐標(biāo)系中研究角．將角的頂點(diǎn)與坐步步

標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊在x軸的正半軸，此時(shí),角的終邊在第幾自然

象限，就把這個(gè)角叫做第幾象限的角（或者說這個(gè)角在第幾象得出

限）．

如圖所示，30°、390°、?330°都是第一象限的角，120°是

第二象限的角，?120°是第三象限的角，?60°、300°都是第四象強(qiáng)調(diào)

限的角．特殊

強(qiáng)調(diào)

情況

理解

30

終邊在坐標(biāo)軸上的角叫做界限角,例如，0°、90°、180°、

270°、360°、?90°、?270°角等都是界限角．

＊運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)反饋

練習(xí)7-1提問思考學(xué)習(xí)

巡視動(dòng)手狀態(tài)

1．在直角坐標(biāo)系中分別作出下列各角,并指出它們是第幾象限

求解鞏固

的角:

指導(dǎo)

3

教學(xué)教師學(xué)生教學(xué)時(shí)

過程行為行為意圖間

⑴60°;⑵?210°；⑶225°；⑷?300°．交流知識(shí)40

＊?jiǎng)邮植僮鲗?shí)驗(yàn)觀察

用圖釘聯(lián)結(jié)兩根硬紙條,將其中一根固定在OA的位置，將演示動(dòng)手

另一根先轉(zhuǎn)動(dòng)到OB的位置，然后再按照順時(shí)針方向或逆時(shí)針操作操作

方向轉(zhuǎn)動(dòng),觀察木條重復(fù)轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)所形成角的特征．由具

*問題引導(dǎo)實(shí)踐探究體的

問題質(zhì)疑思考問題

在直角坐標(biāo)系中作出390°、?330°和30°角，這些角的終邊實(shí)際

有何關(guān)系？提問求解操作

引導(dǎo)

探究

390°=30°+1×360°；?330°=30°+（—1）×360°．學(xué)生

引導(dǎo)領(lǐng)會(huì)

即390°、?330°與30°角之差都是360°角的整數(shù)倍數(shù)，它們一步

是射線繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到30°角的終邊位置后，分別繼續(xù)按逆步的

時(shí)針或順時(shí)針方向再旋轉(zhuǎn)一周所形成的角．體會(huì)

終邊

推廣分析理解

與30°角終邊相同的角還有：相同

750°=30°+2×360°；—690°=30°+（—2)×360°；角的

含義

1110°=30°+3×360°；—1050°=30°+（—3）×360°；

…………講解自然

所有與30°角終邊相同的角的度數(shù)，與30°角的度數(shù)之差都得出

明確

恰好為360°的整數(shù)倍數(shù)．它們（包括30°角)都可以表示為結(jié)論

總結(jié)

30°+k360°(kZ)的形式．因此，與30°角終邊相同的角的

集合為S｛︱30k360,kZ｝．

50

*動(dòng)腦思考探索新知

說明理解強(qiáng)調(diào)

一般地，與角終邊相同的角（包括角在內(nèi)），都可以

概念

表示為k360(kZ)的形式．

的關(guān)

與角終邊相同的角有無限多個(gè)，它們所組成的集合為

強(qiáng)調(diào)記憶

鍵點(diǎn)

S｛︱k360,kZ｝．55

*鞏固知識(shí)典型例題

例1寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把其中在

4

教學(xué)教師學(xué)生教學(xué)時(shí)

過程行為行為意圖間

質(zhì)疑觀察安排

?360°～720°內(nèi)的角寫出來：⑴60°；⑵?114°26′．

與知

分析首先要寫出與已知角終邊相同的角的集合S,然后選取

識(shí)點(diǎn)

k說明思考

整數(shù)的值，使得k360在指定的范圍內(nèi)．對(duì)應(yīng)

解⑴與60°角終邊相同的角的集合是的例

題鞏

｛︱60k360,kZ}．

固新

講解主動(dòng)

當(dāng)k1時(shí)，60(1)360300；當(dāng)k0時(shí)，知

求解

60036060；當(dāng)k1時(shí)，601360420．所以在

?360°～720°之間與60°角終邊相同的角為300、60和420．

說明

⑵與角終邊相同的角的集合是思考

?114°26′計(jì)算

S｛︱11426k360,kZ｝．部分

可以

當(dāng)k0時(shí)，11426036011426；

引領(lǐng)理解教給

學(xué)生

當(dāng)k1時(shí)，11426136024534；

完成

當(dāng)k2時(shí)，11426236060534．

所以在?360°～720°之間與11426角終邊相同的角為

11426、24534和60534．

分析

領(lǐng)會(huì)利用

例2寫出終邊在y軸上的角的集合．

觀察

分析在0°～360°范圍內(nèi),終邊在y軸正半軸上的角為90°，終

圖像

yy總結(jié)求解

邊在軸負(fù)半軸上的角為270°，因此，終邊在軸正半軸、負(fù)加強(qiáng)

半軸上所有的角分別是問題

k360902k18090，的理

解

k360270(2k1)18090，講解理解

其中kZ．⑴式等號(hào)右邊表示180°的偶數(shù)倍再加上90°；（2）

式等號(hào)右邊表示180°的奇數(shù)倍再加上90°，可以將它們合并為

180°的整數(shù)倍再加上90°．強(qiáng)調(diào)

5

教學(xué)教師學(xué)生教學(xué)時(shí)

過程行為行為意圖間

解終邊在y軸上的角的集合是引領(lǐng)明確規(guī)范

寫法

S｛︱n18090,nZ｝．

當(dāng)n取偶數(shù)時(shí)，角的終邊在y軸正半軸上；當(dāng)n取奇數(shù)時(shí)，

角的終邊在y軸負(fù)半軸上．

70

*運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)

教材練習(xí)5。1.2

提問思考及時(shí)

1．在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角,并指出

了解

它們是哪個(gè)象限的角:

巡視動(dòng)手學(xué)生

⑴；⑵；⑶；⑷．

405°165°1563°5421°求解知識(shí)

2．寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把其中在掌握

～范圍內(nèi)的角寫出來：情況

?360°360°

指導(dǎo)交流

⑴45°；⑵?55°；⑶?220°45′；⑷1330°．80

*歸納小結(jié)強(qiáng)化思想培養(yǎng)

本次課學(xué)了哪些內(nèi)容？重點(diǎn)和難點(diǎn)各是什么?引導(dǎo)回憶學(xué)生

總結(jié)

*自我反思目標(biāo)檢測(cè)反思

提問反思

本次課采用了怎樣的學(xué)習(xí)方法？學(xué)習(xí)

交流

你是如何進(jìn)行學(xué)習(xí)的？過程

你的學(xué)習(xí)效果如何?

能力85

＊繼續(xù)探索活動(dòng)探究

（1)讀書部分:教材章節(jié)7。1。1；

（2)書面作業(yè)：;練習(xí)7。1；說明記錄

90

(3)實(shí)踐調(diào)查：生活中角的概念的推廣實(shí)例．

6

課

第7章

數(shù)學(xué)

第節(jié)弧度制

程7.1.2

授課時(shí)數(shù)2授課方法講授法

授課時(shí)間授課班級(jí)海乘1601/輪機(jī)1601

知識(shí)目標(biāo)：

⑴理解弧度制的概念;

⑵理解角度制與弧度制的換算關(guān)系。

教學(xué)目的能力目標(biāo)：

（1）會(huì)進(jìn)行角度制與弧度制的換算;

（2）會(huì)利用計(jì)算器進(jìn)行角度制與弧度制的換算；

（3）培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算技能與計(jì)算工具使用技能．

教學(xué)重點(diǎn)重點(diǎn)：弧度制的概念,弧度與角度的換算．

和難點(diǎn)難點(diǎn):弧度制的概念．

復(fù)習(xí)提問與

P6練習(xí)2預(yù)習(xí)

作業(yè)布置

教學(xué)思路、方法、手段

(1）由問題引入弧度制的概念；

（2）通過觀察——探究，明晰弧度制與角度制的換算關(guān)系;

（3）在練習(xí)——討論中,深化、鞏固知識(shí),培養(yǎng)計(jì)算技能；

(4）在操作——實(shí)踐中,培養(yǎng)計(jì)算工具使用技能；

（5）結(jié)合實(shí)例了解知識(shí)的應(yīng)用．

教學(xué)備品

教學(xué)課件

【教學(xué)過程】

7

教學(xué)教師學(xué)生教學(xué)時(shí)

過程行為行為意圖間

*揭示課題

7。2。。2弧度制介紹了解

＊回顧知識(shí)復(fù)習(xí)導(dǎo)入

利用

問題

質(zhì)疑思考復(fù)習(xí)

角是如何度量的?角的單位是什么?

角度

解決

制為

1

將圓周的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1度角，記作1°．引領(lǐng)明確

360新知

度等于分（），分等于秒（）．識(shí)的

1601°=60′1601′=60″

以度為單位來度量角的單位制叫做角度制．學(xué)習(xí)

擴(kuò)展做好

思考

計(jì)算:23°35′26″+31°40′43″

鋪墊

講解了解

角度制下,計(jì)算兩個(gè)角的加、減運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常會(huì)帶來單位換

說明

算上的麻煩．能否重新設(shè)計(jì)角的單位制，使兩角的加、減運(yùn)算5

像10進(jìn)位制數(shù)的加、減運(yùn)算那樣簡(jiǎn)單呢？

＊?jiǎng)幽X思考探索新知

概念

將等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，記作說明理解

弧度

1弧度或1rad．以弧度為單位來度量角的單位制叫做弧度制．

概念

較為

記憶

抽象

講解

若圓的半徑為r，圓心角∠AOB所對(duì)的圓弧長(zhǎng)為2r，那時(shí)注

舉例

2r

么∠AOB的大小就是弧度2弧度．重分

r

析關(guān)

規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的

鍵點(diǎn)

弧度數(shù)為零．

弧長(zhǎng)

分析

與角

由定義知道，角的弧度數(shù)的絕對(duì)值等于圓弧長(zhǎng)l與半徑

仔細(xì)領(lǐng)會(huì)的對(duì)

l

r的比，即（rad)．分析應(yīng)關(guān)

r

講解系

半徑為r的圓的周長(zhǎng)為2πr，故周角的弧度數(shù)為

關(guān)鍵

8

教學(xué)教師學(xué)生教學(xué)時(shí)

過程行為行為意圖間

2πr點(diǎn)

(rad)2π(rad)．

r

強(qiáng)調(diào)

由此得到兩種單位制之間的換算關(guān)系:換算

360°=2πrad,即180°=πrad．歸納的方

明確

換算公式法引

π

1°=(rad)0.01745rad領(lǐng)學(xué)

180

生加

180

1rad()57.35718．

π強(qiáng)記

說明憶

1．用弧度制表示角的大小時(shí)，在不至于產(chǎn)生誤解的情況

下，通?？梢允÷詥挝弧盎《?或“rad"的書寫．例如，1rad，2rad，強(qiáng)調(diào)簡(jiǎn)單

ππ了解說明

rad，可以分別寫作1，2,．說明

22

對(duì)應(yīng)

2．采用弧度制以后,每一個(gè)角都對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)實(shí)數(shù);反之,關(guān)系

每一個(gè)實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)角．于是,在角的集合與實(shí)數(shù)集之

20

間,建立起了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．

＊鞏固知識(shí)典型例題

例1把下列各角度換算為弧度(精確到0．001):

說明思考利用

⑴15°；⑵8°30′；⑶?100°．

例題

分析角度制換算為弧度制利用公式1°=π．

(rad)0.01745rad

180強(qiáng)化

ππ強(qiáng)調(diào)理解

解⑴15150.262；換算

18012

公式

π17π

⑵8308.58.50.148;

180360方法

講解求解

⑶π5π．

1001001.745

1809

例2把下列各弧度換算為角度（精確到1′):

計(jì)算

3π

⑴；⑵2。1；⑶?3。5．方面

5分析領(lǐng)會(huì)

可由

180

分析弧度制換算角度制利用公式1rad()57.35718．

π學(xué)生

解⑴3π3π180

108；引領(lǐng)計(jì)算自我

55π

主動(dòng)

9

教學(xué)教師學(xué)生教學(xué)時(shí)

過程行為行為意圖間

180378求解完成

⑵2.12.112019;

ππ30

180630

⑶?3.53.520032．

ππ

*運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)

教材練習(xí)5。2.1

及時(shí)

1．把下列各角從角度化為弧度（口答）：

提問思考了解

180°；90°；45°；15°；

學(xué)生

；；；．

60°30°120°270°知識(shí)

2．把下列各角從弧度化為角度（口答)：掌握

πππ情況

π；；；；

248巡視動(dòng)手

2ππππ求解

；;;．

33612

3．把下列各角從角度化為弧度：

糾錯(cuò)

⑴75°；⑵?240°；⑶105°；⑷67°30′．

答疑

4．把下列各角從弧度化為角度：

指導(dǎo)交流

π2π4π

⑴；⑵;⑶；⑷6π．

1553

40

＊自我探索使用工具培養(yǎng)

準(zhǔn)備計(jì)算器．質(zhì)疑小組使用

觀察計(jì)算器上的按鍵并閱讀相關(guān)的使用說明書，小組完成討論計(jì)算

巡視

計(jì)算器弧度與角度轉(zhuǎn)換的方法．探究器能

匯總50

利用計(jì)算器，驗(yàn)證計(jì)算例題1與例題2．力

＊鞏固知識(shí)典型例題

例3某機(jī)械采用帶傳動(dòng)，由發(fā)動(dòng)機(jī)的主動(dòng)軸帶著工作機(jī)的從

安排

動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)．設(shè)主動(dòng)輪A的直徑為100mm,從動(dòng)輪B的直徑為

質(zhì)疑觀察

280mm．問：主動(dòng)輪A旋轉(zhuǎn)360°，從動(dòng)輪B旋轉(zhuǎn)的角是多實(shí)際

少？（精確到1′）問題

使學(xué)

解主動(dòng)輪A旋轉(zhuǎn)360°就是一周，

說明思考

生了

所以,傳動(dòng)帶轉(zhuǎn)過的長(zhǎng)度為π×100=100π（mm）．

解弧

再考慮從動(dòng)輪，傳動(dòng)帶緊貼著從動(dòng)輪B轉(zhuǎn)過100π（mm)

講解主動(dòng)

度制

10

教學(xué)教師學(xué)生教學(xué)時(shí)

過程行為行為意圖間

l求解應(yīng)用

的長(zhǎng)度，那么，應(yīng)用公式，從動(dòng)輪B轉(zhuǎn)過的角就等于

r

1005

12834'．

1407

重點(diǎn)

5說明

答從動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)π,用角度表示約為128°34′．思考分析

7

提問

題目

例4如下圖，求公路彎道部分AB的長(zhǎng)l（精確到0．1m．圖

中各

中長(zhǎng)度單位:m)．

數(shù)據(jù)

引領(lǐng)理解

的處