數(shù)學(xué)建模方差分析

數(shù)學(xué)建模方差分析第1頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六第七章方差分析一、什么是方差分析？常用語言：檢驗(yàn)一個(gè)或多個(gè)因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響是否顯著。統(tǒng)計(jì)語言：檢驗(yàn)多個(gè)方差相等的正態(tài)總體的均值是否相等。第2頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六二、幾個(gè)術(shù)語1、試驗(yàn)指標(biāo)－－衡量試驗(yàn)結(jié)果的量(定量、定性)（必須是數(shù)量）。2、因素－－影響試驗(yàn)指標(biāo)的條件，(不)可控記作A,B,C……3、水平－－因素所處等級、狀態(tài)，A的r個(gè)水平記作A1,A2,……,Ar

4、單(多)因素試驗(yàn)－－考察一(多)個(gè)因素的試驗(yàn)。第3頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六第一節(jié)單因素方差分析一、基本問題1、基本數(shù)據(jù)：A的r個(gè)水平（試驗(yàn)）A1A2……Ar1x11x21……xr12x12x22……xr2…………………x1t1x2t2……xrtr第4頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2、任務(wù)：檢驗(yàn)因素A對試驗(yàn)結(jié)果影響是否顯著？（A是否是重要因素？）第5頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六二、基本原理1、數(shù)學(xué)模型（數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)）（1）設(shè)且檢驗(yàn)：說明：若要接受，表示r個(gè)水平下的平均數(shù)相同，即A對試驗(yàn)結(jié)果影響不顯著；反之，影響顯著。第6頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六（2）記―稱為的效應(yīng)，則欲檢驗(yàn)：若接受，說明A對試驗(yàn)結(jié)果影響不顯著。第7頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六

2、基本思想（1）、條件誤差：因條件不同引起的誤差；隨機(jī)誤差：相同條件下引起的誤差。（2）、基本思想：a、把條件誤差與試驗(yàn)誤差分開；b、在某種意義下加以比較，若條件誤差明顯大于隨機(jī)誤差，則有理由認(rèn)為A影響顯著。第8頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六3、偏差平方和分解總樣本均值：總樣本容量：各總體的樣本均值：第9頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六總偏差平方和：第10頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六其中表示由A所引起的各組數(shù)據(jù)之間的偏差平方和（反映條件誤差？），稱為組間平方和；表示由隨機(jī)因素引起的各組數(shù)據(jù)內(nèi)部的偏差平方和（反映隨機(jī)誤差？），稱為組內(nèi)平方和。４、構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由柯赫倫分解定理知，在假設(shè)成立的情況下，。其中稱為A的均方，稱為隨機(jī)均方。第11頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六５、具體判斷利用公式（7.1.6）計(jì)算出F的值，記為F值，并根據(jù)F分布計(jì)算出相應(yīng)的顯著性概率若Sig.小于給定的顯著水平，則拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為因素A對試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；否則認(rèn)為無顯著影響。通常當(dāng)時(shí)，稱為有非常顯著影響，記為；當(dāng)時(shí)，稱為有顯著影響，記為。第12頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六三、基本計(jì)算1.建立數(shù)據(jù)文件a、定義試驗(yàn)指標(biāo)變量x和因素變量kind；b、輸入數(shù)據(jù)；c、保存數(shù)據(jù)文件。2．選擇統(tǒng)計(jì)方法按Analyze→Comparemeans→One-WayANOV順序選擇菜單或菜單項(xiàng)。3．結(jié)果說明解釋輸出結(jié)果的統(tǒng)計(jì)意義。第13頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六例7.1.1對六種不同的農(nóng)藥在相同的條件下分別進(jìn)行殺蟲試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果如表7.1.1所示。

農(nóng)藥試驗(yàn)號A1A2A3A4A5A61879056559275285886248997238087958149491問殺蟲率是否因農(nóng)藥的不同而有顯著性的差異（顯著水平）？第14頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六單因素方差分析要注意的兩點(diǎn)：1、模型的條件（1）、服從正態(tài)分布；（2）、r個(gè)總體方差相等？（要求驗(yàn)證）2、多重比較若，則拒絕，意味著上式中至少有一個(gè)不等號，到底哪些不等？（要比較）第15頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六練習(xí)：１、將５種不同品種的種子，分別種在土質(zhì)、氣候條件基本相同的8塊面積相等的小區(qū)域上，得到的收獲量如下表。水平試驗(yàn)號A1A2A3A4A51767662656727867706871365706968724726473716957167716174672836969797837273657687973696984第16頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六現(xiàn)欲檢驗(yàn)種子品種（因素A）對收獲量（試驗(yàn)指標(biāo)）的影響是否顯著。２、四支溫度計(jì)和被用來測定氫化奎寧的熔點(diǎn)，得如下結(jié)果：溫度計(jì)T1T2T3T4觀測值174.0173.0171.5173.5173.0172.0171.0171.0173.5173.0173.0試檢驗(yàn)在測量氫化奎寧熔點(diǎn)時(shí)，這四支溫度計(jì)之間有無顯著性差異。第17頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六第二節(jié)兩因素方差分析一、基本問題

A因素水平r個(gè)：；

B因素水平s個(gè)：。

A、B的每種搭配下進(jìn)行試驗(yàn)t次，得到下表的試驗(yàn)數(shù)據(jù)：第18頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六第19頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六所謂兩因素方差分析就是考察：1、因素A對試驗(yàn)指標(biāo)的影響是否顯著？2、因素B對試驗(yàn)指標(biāo)的影響是否顯著？3、交互作用A×B對試驗(yàn)指標(biāo)的影響是否顯著？注：若要考察A×B、每種搭配下試驗(yàn)次數(shù)。第20頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六什么是交互作用？例子：一種水稻品種種在四塊面積與地力等條件相同的小區(qū)域上，各小區(qū)的施肥情況及產(chǎn)量如下表：區(qū)號一二三四施肥氮肥5斤磷肥5斤氮肥5斤＋磷肥5斤產(chǎn)量(斤)608070110一般地，在兩個(gè)因素的試驗(yàn)中，有時(shí)除了每個(gè)因素獨(dú)立地起作用外，還可以聯(lián)合起來起作用，這種作用，叫做這兩個(gè)因素的交互作用。第21頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六二、基本原理1、模型：來自總體的樣本，記總體平均數(shù)水平下的平均數(shù)水平下的平均數(shù)第22頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六－－水平的效應(yīng)－－水平的效應(yīng)－－的交互效應(yīng)第23頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六則雙因素方差分析模型為：其中，相互獨(dú)立且滿足第24頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六要檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)為：若拒絕，則認(rèn)為因素A的不同水平對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響；若拒絕，則認(rèn)為因素B的不同水平對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響；若拒絕，則認(rèn)為因素A與B不同水平搭配的交互效應(yīng)對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響；若三者均不拒絕，則認(rèn)為因素A與B的不同水平搭配對試驗(yàn)結(jié)果無顯著影響。第25頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2、偏差平方和分解總樣本平均數(shù)：水平下樣本平均數(shù)：水平下樣本平均數(shù)：搭配下樣本平均數(shù)：第26頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六總偏差平方和：第27頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六

其中，是因素A的離差平方和；是因素B的離差平方和；是誤差平方和。是交互作用的離差平方和。上式說明，總離差平方和可以分解成由隨機(jī)因素引起的誤差平方和；由因素A各水平的效應(yīng)引起的離差平方和；由因素B各水平的效應(yīng)引起的離差平方和以及A與B的交互效應(yīng)引起的離差平方和四部分。第28頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六３、構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對檢驗(yàn)：對檢驗(yàn)：對檢驗(yàn)：由柯赫倫分解定理知，在假設(shè)成立的情況下，第29頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六４、具體判斷利用的公式計(jì)算出的具體數(shù)值，記為，并根據(jù)的分布計(jì)算出顯著性概率。若Sig.<給定顯著水平，則認(rèn)為因素A對試驗(yàn)指標(biāo)有顯著性影響；否則無顯著性影響。(2)利用的公式計(jì)算出的具體數(shù)值，記為，并根據(jù)的分布計(jì)算出顯著性概率。第30頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六若Sig.<給定顯著水平，則認(rèn)為因素B對試驗(yàn)指標(biāo)有顯著性影響；否則無顯著性影響。(3)利用的公式計(jì)算出的具體數(shù)值，記為，并根據(jù)的分布計(jì)算出顯著性概率。若Sig.<給定顯著水平，則認(rèn)為交互作用對試驗(yàn)指標(biāo)有顯著性影響；否則無顯著性影響。第31頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六三、基本計(jì)算1.建立數(shù)據(jù)文件a、定義試驗(yàn)指標(biāo)變量x和兩個(gè)因素變量a,b；b、輸入數(shù)據(jù)；c、保存數(shù)據(jù)文件。2．選擇統(tǒng)計(jì)方法按Analyze→GeneralLinearModel→Univariate順序選擇菜單或菜單項(xiàng)。3．結(jié)果說明解釋輸出結(jié)果的統(tǒng)計(jì)意義。第32頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六例7.2.1在某化工廠產(chǎn)品的生產(chǎn)過程中，對三種濃度，四種溫度的每一種搭配重復(fù)試驗(yàn)二次，測得產(chǎn)量如下表7.2.2（單位：千克）。

溫度B濃度AB1B2B3B4A121，2322，2325，2327，25A2

23，2526，2428，2726，24A3

26，2329，2724，2524，23試檢驗(yàn)不同的濃度，不同的溫度以及它們之間的交互作用對產(chǎn)量有無顯著性的差異（顯著水平）？第33頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六練習(xí)：１、設(shè)四名工人分別操作機(jī)床甲、乙、丙各一天，生產(chǎn)同樣產(chǎn)品，其日產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)如下表(單位：件)：

工人機(jī)床張某李某王某趙某甲53475745乙56506352丙45475442問工人的不同和機(jī)床的不同在日產(chǎn)量上有無顯著性差異？（假定四名工人對這三臺(tái)機(jī)床的熟悉情況是一樣的。）第34頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六２、將一塊耕地等分為24個(gè)小區(qū)，今有３個(gè)不同的小麥品種（A1，A2，A3）和２中不同的肥料（B1，B2）。現(xiàn)將各小麥品種與各種肥料進(jìn)行搭配，對每種搭配都在４個(gè)小區(qū)上試驗(yàn)，測得每個(gè)小區(qū)產(chǎn)量（千克）如下：ABA1A2A3B19109812119813141512B291012111213111222162018試分析品種、肥料以及它們的交互作用對產(chǎn)量有無顯著性的影響。第35頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六第三節(jié)多因素方差分析一、多因素試驗(yàn)的設(shè)計(jì)問題1、必要性有r個(gè)因素，每個(gè)因素有s個(gè)水平，所有搭配方式有：次（很大）。要做那么多的試驗(yàn)顯然是不可能的，即使是因素及水平較少，全面試驗(yàn)也不一定是必要的，對試驗(yàn)費(fèi)高或帶有破壞性的試驗(yàn)更是如此。第36頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六２、考慮：能否在所有的搭配的試驗(yàn)中，選出有代表性的部分試驗(yàn)，通過這一部分試驗(yàn)分析所關(guān)心問題（影響是否顯著）。３、解決此問題就涉及到試驗(yàn)設(shè)計(jì)。４、試驗(yàn)設(shè)計(jì)的主要內(nèi)容是討論如何合理地安排試驗(yàn)以及試驗(yàn)后如何對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。５、試驗(yàn)設(shè)計(jì)的種類：正交設(shè)計(jì)、區(qū)組設(shè)計(jì)、回歸設(shè)計(jì)等。第37頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六二、正交設(shè)計(jì)１、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)：用“正交表”來安排試驗(yàn)和分析試驗(yàn)結(jié)果的一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。２、正交表(1)、定義：具有以下兩個(gè)性質(zhì)的表都稱為正交表：a、每一列中不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等。b、任意兩列中，將同一行的兩個(gè)數(shù)字看成有序數(shù)對，每種數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相等。一般記為：，其中L：正交表符號，n：試驗(yàn)次數(shù)，a：因素水平數(shù)，b：正交表的列數(shù)（因素個(gè)數(shù)）。第38頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六例子：試驗(yàn)號列號1234111112122231333421235223162312731328321393321第39頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六特點(diǎn)：a、將正交表中的任意兩行交換或任意兩列交換，它仍然是正交表。b、將某一列中的數(shù)字號碼相互對換，它仍然是正交表。３、正交表的使用步驟：a、找出“合適”的正交表。第40頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六“合適”指：（１）正交表水平數(shù)必須和因素水平表中水平數(shù)一致。（２）正交表列數(shù)不少于因素的個(gè)數(shù)（所考慮的一個(gè)交互作用作為一個(gè)因素）。說明：若要進(jìn)行（方差）分析時(shí)，一般要求正交表列數(shù)必須大于因素的個(gè)數(shù)，以便使正交表留出空列；此空列是（方差）分析中的試驗(yàn)指標(biāo)以及誤差平方和所在列。b、表頭設(shè)計(jì)－－因素放在表的哪一列。（１）若不考慮交互作用，可以任意放。第41頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六（２）若考慮交互作用，先安排有交互作用的主因素的所在列，再由交互作用表決定交互作用所在列沒有交互作用的主因素的安排，以盡量避免主因素與交互作用