廣東省肇慶市崗坪鎮(zhèn)東中學2021年高三數(shù)學理期末試題含解析

廣東省肇慶市崗坪鎮(zhèn)東中學2021年高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c，若的面積為S，且等于A.

B.

C.

D.

參考答案：2.若集合，，則A∪B=（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】先化簡集合，再利用并集的定義求解即可.【詳解】集合,,屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，故選D.【點睛】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性.研究兩集合的關(guān)系時，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實質(zhì)求滿足屬于集合或?qū)儆诩系脑氐募?3.已知，函數(shù)的定義域為，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A4.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中提到了一種名為“芻甍”的五面體（如圖）：面ABCD為矩形，棱EF∥AB．若此幾何體中，AB=4，EF=2，△ADE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形，則此幾何體的表面積為（）A．

B． C． D．參考答案：B【考點】LE：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積．【分析】利用勾股定理求出梯形ABFE的高，再計算出各個面的面積即可得出表面積．【解答】解：過F作FO⊥平面ABCD，垂足為O，取BC的中點P，連結(jié)PF，過F作FQ⊥AB，垂足為Q，連結(jié)OQ．∵△ADE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形，∴OP=（AB﹣EF）=1，PF=，OQ=BC=1，∴OF==，F(xiàn)Q==，∴S梯形EFBA=S梯形EFCB==3，又S△BCF=S△ADE==，S矩形ABCD=4×2=8，∴幾何體的表面積S=3++8=8+8．故選：B．5.如圖所示，等邊△ABC的邊長為2，D為AC中點，且△ADE也是等邊三角形，在△ADE以點A為中心向下轉(zhuǎn)動到穩(wěn)定位置的過程中，的取值范圍是（）A．[，] B．[，] C．（，） D．（，）參考答案：A考點：平面向量數(shù)量積的運算．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；平面向量及應用．分析：設(shè)∠BAD=θ，（0≤θ≤），則∠CAE=θ，則=（﹣）?（﹣），將其展開，運用向量的數(shù)量積的定義，再由兩角和差的余弦公式，化簡得到﹣2cosθ，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到范圍．解答：解：設(shè)∠BAD=θ，（0≤θ≤），則∠CAE=θ，則?=（﹣）?（﹣）=?﹣?﹣?+?==1×1×cos﹣1×2×cos（）﹣2×1×cos（）+2×2×cos=﹣2（cosθ+sinθ+cosθ﹣sinθ）=﹣2cosθ，由于0≤θ≤，則≤cosθ≤1，則≤﹣2cosθ≤．故選：A．點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義，考查三角函數(shù)的化簡和求最值，考查運算能力，屬于中檔題6.等差數(shù)列的值為（

）A．20 B．－20 C．10 D．－10參考答案：D解析：7.已知函數(shù)，要使函數(shù)恰有一個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（

）．A. B.C. D.參考答案：B【分析】先利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和極值，畫出函數(shù)的大致圖象，令，由函數(shù)的圖象可知方程，只能有一個正根，且若有負根的話，負根必須小于，分類討論，即可求解．【詳解】由題意，函數(shù)，，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，函數(shù)的大致圖象，如圖所示：函數(shù)恰有一個零點，等價于方程只有一個根，令，由函數(shù)的圖象可知方程，只能有一個正根，且若有負根的話，負根必須小于，①當時，方程為，∴，符合題意，②當時，若，即時，方程為，解得，符合題意，若，即時：設(shè)，（?。┊敃r，二次函數(shù)開口向下，又，要使方程只有一個正根，且負根小于，則，即，可得，（ⅱ）當時，二次函數(shù)開口向上，又因為，則方程有兩個不等的正根，不符合題意，綜上所求，實數(shù)的取值范圍是：或，故選：B．【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，其中解答中把函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為方程的解，構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合根的分布求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運算能力．8.若數(shù)列{an}是正項數(shù)列，且++…+=n2+n，則a1++…+等于（）A．2n2+2n B．n2+2n C．2n2+n D．2（n2+2n）參考答案：A【考點】8H：數(shù)列遞推式．【分析】利用數(shù)列遞推關(guān)系可得an，再利用等差數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：∵++…+=n2+n，∴n=1時，=2，解得a1=4．n≥2時，++…+=（n﹣1）2+n﹣1，相減可得：=2n，∴an=4n2．n=1時也成立．∴=4n．則a1++…+=4（1+2+…+n）=4×=2n2+2n．故選：A．9.四位母親帶領(lǐng)自己的孩子參加電視臺“我愛媽媽”綜藝節(jié)目，其中有一環(huán)節(jié)，先把四位孩子的眼睛蒙上，然后四位母親分開站，而且站著不許動，不許出聲，最后讓蒙上眼睛的小朋友找自己的媽媽，一個母親的身邊只許站一位小朋友，站對一對后亮起兩盞燈，站錯不亮燈，則恰亮兩盞燈的概率是（

）A. B.

C. D.參考答案：B10.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)滿足約束條件，則的最大值為

.參考答案：312.如圖，已知三棱錐A﹣BCD的所有棱長均相等，點E滿足=3，點P在棱AC上運動，設(shè)EP與平面BCD所成角為θ，則sinθ的最大值為．參考答案：【考點】直線與平面所成的角．【分析】設(shè)棱長為4a，PC=x（0＜x≤4a），則PE=．求出P到平面BCD的距離，即可求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)棱長為4a，PC=x（0＜x≤4a），則PE=．設(shè)P到平面BCD的距離為h，則=，∴h=x，∴sinθ==，∴x=2a時，sinθ的最大值為．故答案為．13.（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)。（Ⅰ）設(shè)函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）當時，求函數(shù)的最大值及取得最大值時的x的值。參考答案：（Ⅰ）因為 4分， 6分所以。函數(shù)的最小正周期為。 7分（Ⅱ）因為，所以。所以，當，即時 10分函數(shù)的最大值為1。 12分14.口袋中有個白球，3個紅球，依次從口袋中任取一球，如果取到紅球，那么繼續(xù)取球且取出的紅球不放回；如果取到白球，就停止取球．則取球次數(shù)的數(shù)學期望為

．參考答案：15.已知△ABC的頂點A（﹣3，0）和頂點B（3，0），頂點C在橢圓+=1上，則=

．參考答案：3【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由題意可知：頂點A，B為橢圓的兩個焦點，利用正弦定理及橢圓的定義，求得a和b的關(guān)系，即可求得=3．【解答】解：由橢圓+=1，長軸長2a=10，短軸長2b=8，焦距2c=6，則頂點A，B為橢圓的兩個焦點，三角形ABC中，a=丨BC丨，b=丨AC丨，c=丨AB丨=6，a+b=丨BC丨+丨AC丨=10，由正弦定理可知===2R，則sinA=，sinB=，sinC=，===3，故答案為：3．16.的展開式中各項系數(shù)的和為243，則該展開式中常數(shù)項為▲參考答案：10略17.圓與雙曲線的漸近線相切，則的值是_______.參考答案：雙曲線的漸近線為，不妨取，若直線與圓相切，則有圓心到直線的距離，即，所以。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦距為2．且經(jīng)過點（，）．（I）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若過點D（4，O）的直線l與C交于不同的兩點A，B，且A在DB之間，試求△AOD與△BOD面積之比的取值范圍．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（I）由題意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，聯(lián)立解出即可得出．（II）由題意可設(shè)直線l的方程為：x=my+4，代入橢圓方程可得：（3m2+4）y2+2my+36=0，由△＞0，解得m2＞4．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．令λ===，λ∈（0，1）．把y1=λy2代入根與系數(shù)的關(guān)系，解得：m2=＞4，解出即可得出．【解答】解：（I）∵橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦距為2，且經(jīng)過點（，），∴2c=2，=1，又a2=b2+c2，聯(lián)立解得a=2，c=1，b2=3．∴橢圓C的方程為=1．（II）由題意可設(shè)直線l的方程為：x=my+4，代入橢圓方程可得：（3m2+4）y2+24my+36=0，由△＞0，解得m2＞4．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．∴y1+y2=，y1y2=，（*），令λ===，λ∈（0，1）．把y1=λy2代入（*）可得：=，解得：m2=＞4，則λ≠1，且3λ2﹣10λ+3＜0，解得，∴△AOD與△BOD面積之比的取值范圍是．19.（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求證：當；（Ⅲ）證明；有且僅有一個正實數(shù)對任意正實數(shù)t成立，并求的值。參考答案：略20.在中，學科網(wǎng)內(nèi)角A，B，C的對邊a，b，c，且，已知，，，求：（1）a和c的值；（2）的值.參考答案：21.已知無窮數(shù)列前項和為，且滿足，（是常數(shù)）.(1)若，求數(shù)列的通項公式；(2)若，且，求數(shù)列的前項和；(3)試探究滿足什么條件時，數(shù)列是公比不為-1的等比數(shù)列.參考答案：(1)由，得；當時，，即，所以；(2)由，得，進而，當時，得，因為，所以，進而(3)若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，①當時，由，得恒成立.所以，與數(shù)列是等比數(shù)列矛盾；②當時，，，由恒成立，得對于一切正整數(shù)都成立，所以或或事實