高考三角函數(shù)試題評(píng)析及備考建議

2009年高考三角函數(shù)試題評(píng)析及備考建議

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)之一，也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容。2009年高考仍然延續(xù)了往年對(duì)這一部分考查的特點(diǎn)，即以中低檔題考查三角函數(shù)的基本知識(shí)、方法與技能，文理科基本是相同題或姊妹題。但是實(shí)施新課標(biāo)高考的省市試卷也出現(xiàn)了一些新的特點(diǎn)，重視對(duì)應(yīng)用問(wèn)題的考查，重視在三角形中考查三角函數(shù)的知識(shí)。以下我們對(duì)2009年高考三角函數(shù)試題進(jìn)行盤(pán)點(diǎn)、評(píng)析，供復(fù)習(xí)參考。一、2009年高考三角函數(shù)試題盤(pán)點(diǎn)（理科）續(xù)表注：打*的試卷是新課標(biāo)高考試卷。從上表中，我們不難發(fā)現(xiàn)，2009年高考數(shù)學(xué)對(duì)三角函數(shù)部分的考查有以下特點(diǎn)：(1)題型與分值除全國(guó)卷（Ⅱ）、海南（寧夏）卷出了兩道小題和一道大題外，其他各省市試卷都是一道小題和一道大題，分值17分左右，約占整個(gè)卷面分的12%，估計(jì)以后的高考對(duì)三角函數(shù)的考查仍會(huì)保持這一狀況。(2)客觀題特點(diǎn)著重考查基礎(chǔ)知識(shí)，如同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，特別是函數(shù)y=Asin(ωx+ψ)的最大（?。┲?、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性、圖像變換等，此類(lèi)題以前也往往在主觀題中出現(xiàn)，難度中等，從今年大多數(shù)省市看，對(duì)這一塊仍作重點(diǎn)考查，但難度明顯降低，題小但精典，解答方法靈、活、巧。(3)主觀題特點(diǎn)以容易題或中等難度題的形式出現(xiàn)，通過(guò)解三角形，著重考查學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，在三角形中考查學(xué)生對(duì)三角公式的恒等變換、正（余）弦定理的運(yùn)用等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，同時(shí)，對(duì)學(xué)生的化歸能力、運(yùn)算能力、邏輯思維能力都有較高要求。在新課標(biāo)高考試卷中，上述特點(diǎn)尤為突出，這與新課標(biāo)及其考試說(shuō)明的要求也是相一致的。(4)綜合性問(wèn)題繼續(xù)加強(qiáng)與平面向量的綜合考查，借助向量的工具作用，來(lái)建立三角函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而再進(jìn)行三角變換，最終研究三角函數(shù)性質(zhì)，這仍將是以后命制三角函數(shù)題的一個(gè)方向?？傊?，縱觀2009年各省市對(duì)三角函數(shù)的考查，總體難度有所降低，不再過(guò)分地去考查公式變形，降低了對(duì)運(yùn)算復(fù)雜性、技巧性的要求，堅(jiān)持主干知識(shí)重點(diǎn)考，加大了對(duì)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用能力的考查。二、試題選析1.求值題評(píng)祈求三角函數(shù)的值或三角函數(shù)式的值是最基本的題型，這類(lèi)問(wèn)題主要考查同角三角函數(shù)之間的關(guān)系式及兩角和與差的正、余弦等公式的應(yīng)用，同時(shí)也考查學(xué)生的運(yùn)算能力及考慮問(wèn)題的思維嚴(yán)密性。本題也是與向量進(jìn)行綜合，但向量只是“外衣”，解題時(shí)要把向量間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的關(guān)系式，再進(jìn)一步作答，這種綜合或嫁接是簡(jiǎn)單的、機(jī)械的。做求值題時(shí)，要特別注意角的范圍的限制，它決定了所求值的符號(hào)選擇。2.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)評(píng)析高考中，對(duì)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的考查是經(jīng)久不衰的主旋律，是最重要的題型。這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)往往是：給出一個(gè)較為復(fù)雜的三角函數(shù)式，要求利用降次公式、輔助角公式等將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角函數(shù)式y(tǒng)=Asin（ωx+ψ）+k，再進(jìn)一步討論它的值域或最值、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、圖像變換等。解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要熟練應(yīng)用常用的公式，密切聯(lián)系函數(shù)圖像，突出數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用。3.解三角形例3（福建卷，理18）如圖，某市擬在長(zhǎng)為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線(xiàn)段OSM，該曲線(xiàn)段為函數(shù)y=Asinωx(A＞0,ω＞0)，x∈[0,4]的圖像，且圖像的最高點(diǎn)為；賽道的后一部分為折線(xiàn)段MNP，為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定∠MNP=120°。（Ⅰ）求A、ω的值和M、P兩點(diǎn)間的距離；（Ⅱ）應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線(xiàn)段賽道MNP最長(zhǎng)？評(píng)析本題將三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、解三角形等知識(shí)進(jìn)行綜合考查，同時(shí)冠以實(shí)際背景，可以看作實(shí)際應(yīng)用題。第二問(wèn)是一個(gè)方案設(shè)計(jì)型問(wèn)題，是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，也是一個(gè)開(kāi)放題。本題構(gòu)思巧妙，將多種知識(shí)有機(jī)融合于一題，是不可多得的一道好題。該題能夠有效地考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想。評(píng)析本題將平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)（向量共線(xiàn)、垂直的充要條件，向量的模長(zhǎng)公式）與三角函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系進(jìn)行了綜合考查。在三角函數(shù)試題中融入向量，這是近年來(lái)許多省市三角函數(shù)試題的流行做法。在以后的高考復(fù)習(xí)中，也要高度關(guān)注。5.解三角形的實(shí)際應(yīng)用例5（寧夏、海南卷，理17）為了測(cè)量?jī)缮巾擬、N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A、B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A、B、M、N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；②用文字和公式寫(xiě)出計(jì)算M、N間的距離的步驟。評(píng)析本題是一個(gè)典型的測(cè)量型應(yīng)用題，也可以視為一個(gè)探究性開(kāi)放題，符合新課標(biāo)的基本理念。題目沒(méi)有給出一個(gè)量與數(shù)據(jù)，而是要求學(xué)生指出需要測(cè)量的量，并設(shè)計(jì)測(cè)量方案。在以往的高考題或模擬題中，從來(lái)沒(méi)有考查過(guò)此類(lèi)問(wèn)題，試題的難度雖然不大，但是對(duì)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力、動(dòng)手組織能力有較高要求。對(duì)于做慣條件、結(jié)論明確的題目的同學(xué)來(lái)說(shuō)，無(wú)疑也是一個(gè)挑戰(zhàn)。在今年的17份新課標(biāo)試卷中，有多達(dá)6份試卷出現(xiàn)了解三角形的應(yīng)用題，在2010年的高考復(fù)習(xí)中，應(yīng)予充分重視。三、對(duì)2010年高考復(fù)習(xí)的建議(1)重視對(duì)《考試說(shuō)明》的研究從宏觀上準(zhǔn)確掌握《考試說(shuō)明》要求掌握的內(nèi)容，做到復(fù)習(xí)不超綱，至少要對(duì)本省自主命題的高考題認(rèn)真分析，明確考試要求、考試內(nèi)容的知識(shí)要求、能力要求和個(gè)性品德要求。(2)狠抓基礎(chǔ)，構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)以課本為主，重新全面梳理知識(shí)、方法，注意知識(shí)結(jié)構(gòu)的重組與概括，揭示其內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律，第一輪復(fù)習(xí)，從知識(shí)上不放過(guò)任何一個(gè)概念、公式，要做到會(huì)公式的順用、逆用、變用、巧用，深刻理解三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟悉一些基本結(jié)論，不放過(guò)課本上的任何一個(gè)例題、習(xí)題，做到會(huì)對(duì)例子的引申、拓展，實(shí)際上今年寧夏、海南卷的第17題就類(lèi)似必修5第132頁(yè)的例2。(3)突出重點(diǎn)，狠抓落實(shí)，夯實(shí)基礎(chǔ)在全面掌握基礎(chǔ)知識(shí)后，要突出重點(diǎn)，各個(gè)突破，如對(duì)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，要抓住此類(lèi)題的一般規(guī)律：先利用降次公式、誘導(dǎo)公式等，將y=f(x)恒等變形為y=asinx+bcosx，再利用輔助角公式變換到y(tǒng)=Asin（ωx+ψ）的形式，再利用它研究圖像的變換、周期、初相、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、奇偶性等。一般方法及做小題時(shí)的特值法都要要求學(xué)生熟練掌握。又如解三角形時(shí)的邊化角，角化邊及利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行角度的相互代換等思想，使學(xué)生在頭腦中根深蒂固。(4)注重對(duì)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用能力的培養(yǎng)，尤其是利用正余弦定理解決實(shí)際生產(chǎn)、生活中的測(cè)量、航空、航海、氣候等方面的問(wèn)題，這類(lèi)題選題時(shí)，要注意符合學(xué)生認(rèn)知水平，同時(shí)，還要注意三角函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合題訓(xùn)練，比如，三角函數(shù)與向量、不等式、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等綜合，這類(lèi)題難度不宜拔的過(guò)高。在三