“冒牌函數”之銳角三角函數 論文

2022022年安徽省中小學教育教學論文評選

2022年安徽省中小學教育教學論文評選“冒牌函數”之銳角三角函數摘要：初中階段利用銳角三角函數解直角三角形，是中考?？疾斓囊活愵}目，難度適中。筆者連續(xù)三年擔任九年級數學老師，發(fā)現這類題目學生失分率很高。筆者參加2021年本縣的中考閱卷，批改的正是第17題利用銳角三角函數的概念等相關知識點，求不規(guī)則圖形面積。通過閱卷發(fā)現了許多問題，本文將通過探討此題，總結如何提高學生解決此類問題的能力。關鍵詞：銳角三角函數、直角三角形、面積一、銳角三角函數的地位人教版九年級下冊第二十八章學習的是銳角三角函數，雖然此章節(jié)學習的也是函數，但是并沒有像學習一次函數、二次函數、反比例函數那樣學習函數定義，研究其圖像性質。所以稱它為“冒牌函數”。初中階段學習銳角三角函數主要介紹了正弦、余弦、正切的定義，主要目的是用來解決直角三角形中邊與角之間的問題。再有就是體現初高中的銜接。到了高中才算真正開始學習三角函數，要研究其圖像性質，考察的側重點就變了。相比高考，中考考察此知識點相關問題難度是非常適中，筆者認為還是挺簡單的，但是在從教過程中發(fā)現學生處理此類題目的正確率比較低，所以筆者很是疑惑，開始研究學生們錯誤的原因何在。二、閱卷分析從2020年到2022年，這連續(xù)三年我都兼任九年級數學老師。2020是我第一次擔任九年級數學老師，自己沒有經驗，壓力比較大，每天做的最多的就是刷題。當自己刷到銳角三角函數題目的時候，我是沒把這類題目放到心上，感覺這就是送分題。學習這一章節(jié)的時候，也沒覺得學生處理不好，直到模擬考試的時候，突然發(fā)現這類題目怎么失分那么高，當時就覺得好好練練，這題的拿滿分。到2021年的時候，我就稍微有一些經驗了。在學習銳角三角函數新課時，我就特別注意這一章的學習和練習。剛好那年我參加了本縣中考閱卷，評閱的正是此類題目。下面分享一下2021年安徽中考數學試卷第17題。學生到工廠勞動實踐，學習制作機械零件.零件的截面如圖陰影部分所示，已知四邊12022022年安徽省中小學教育教學論文評選

2022年安徽省中小學教育教學論文評選形AEFD為矩形，點B，C分別在EF，DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°.AB＝10cm，BC=6cm求零件的截面面積.(參考數據:sin53°≈0.80，cos53°≈0.60).E ABFCD1.考察內容最近幾年考察解直角三角形實際應用，一般最后的問題是讓求線段的長度。今年的問題的方向有所改變，是讓求不規(guī)則圖形的面積。其實這也是平時訓練中常遇到的熟悉問題，尤其在圓中，經常遇到求不規(guī)則圖形的面積。我們解決問題常用的方法就是“割補法”。就是把不規(guī)則的圖形補成規(guī)則的圖形，或者分割成規(guī)則的圖形，或者等積變換，進而解決問題。本題主要考察的內容為三角函數的實際應用，解決問題的過程中可能會運用到勾股定理、三角形相似、三角形面積公式、梯形面積公式等相關知識解決問題。解答時需要熟練各個部分的內容，并將平時所學知識貫穿起來解決問題。通過閱卷發(fā)現學生解決問題的方法還是非常多的。2.典型解法E ABFCD 其實題目原本圖形就已經是個完美的圖形了。因為四邊形AEFD是矩形。所以在求零件的截面面積即是求圖中陰影圖形的面積，以下都簡稱為S陰。（1）方法一：（參考答案）解：由題意知，AD∥EF，故∠ABE=∠BAD=53°，22022022年安徽省中小學教育教學論文評選2022年安徽省中小學教育教學論文評選又∠ABC=90°，所以∠BCF=∠ABE=53°.在Rt?ABE中，AE=AB?sin∠ABE=10?sin53°=8，BE=AB?cos∠ABE=10cos53°=6，在Rt?BCF中，BF=BC?sin∠BCF=6?sin53°=4.8，CF=BC?cos∠BCF=6cos53°=3.6,又EF=BE+BF=6+4.8=10.8,所以四邊形1 1ABCD的面積S=AE×EF－AE×BE－BF×FC2 21 1=8×10.8－×8×6－×4.8×3.62 2=53.76故四邊形ABCD的面積為53.76cm2這種方法相對是比較簡單方法，采用的同學也比較多，但是出錯的也比較多，錯誤點有以下幾點：①像AE,BE,BF,FC等這幾個關鍵的量求錯②代入面積公式時，代入錯誤③計算錯誤，尤其代入之后求最后面積值時求錯了，閱卷老師都覺得十分可惜。在這種方法之下，有部分學生非常的聰明，他看出Rt?ABE∽RtBCF,利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可由 Rt?ABE的面積求出 Rt?BCF的面積，也不失為一種好方法。（2）方法二:E ABFCDH32022022年安徽省中小學教育教學論文評選

2022年安徽省中小學教育教學論文評選解：如圖所示，延長BC，AD相交于點H∵∠ABC=90°，∠BAD=53° AB 10 50∴Rt?ABH中，AH=cos53°=0.6=，340

3，BH=AH?sin∠BAH=50

3?sin53°= 40

又∵BC=6,∴CH=BH-BC=3－6=22

3,又∵∠H=∠H,∠ABH=∠CDH=90°∴Rt?ABH∽RtCDH5022∴Rt?ABH與RtCDH相似比是：AH：CH=:3 3=25：11S?ABH:S?AEB=625:121504 504 1 40∴S陰=625S?ABH=625××10×2 3=1344

25=53.76選擇此方法的一些同學多數是在RtCDH利用三角函數，由CH的長求出CD和DH的長，然后再求出RtCDH的面積。利用S陰S?ABH?S?CDH= ，求出答案。選擇此方法的學生不多，而且的滿分的更少，主要原因是需要的數據很多，而且從數值上看，處理起來并不簡單，導致得不到滿分。上述方法是我在學生的方法上改進了一下，這些數據對學生來說真的很“大”，算起來有困難。（3）方法三E ABRFCD其實是與方法二是一樣的，有些學生就只畫了圖形,說明我們的學生是非常聰明的， 4EA2022022年安徽省中小學教育教學論文評選

2022年安徽省中小學教育教學論文評選能想到方法，但是解決不了問題，我想這每位教師應該深思的問題，怎樣才能激發(fā)學生的潛能，讓他們有思想并且能解決問題。我想應該從他們的自信心培養(yǎng)，相信他們能解決好問題。（4）方法四： 如圖所示，過點B作BR⊥AD交AD于點R。這種分割法有很多學生采用，就是把這個陰影圖形分割成直角三角形ABR和一個直角梯形BCDR。然后把他們各自的面積求出來，相加就能解決問題。所以有些同學就必須求出AE,BE,BF,CF,CD這五個量才能解決問題。也有些同學求出AE,BE,BF,CF四個量，也能解決問題，主要時在求直角梯形面積時采用的不是它的面積公式，而是用了矩形BFDR的面積減去直角三角形BFC的面積，也能解決問題。但這種方法出錯情況也比較多，主要錯誤點：①公式錯誤，求三角形的面積忘了除以2.②計算錯誤

（5）方法五：EPABRFCD如圖，過點B作BR⊥AD交AD于點R，過點C作CP⊥BR交BR于點P。學生52022022年安徽省中小學教育教學論文評選

2022年安徽省中小學教育教學論文評選們把陰影圖形分割成直角三角形ABR和直角三角形BPC和一個矩形PCDR.把他們的面積相加即可求出結果。這個過程也必須求出AE,BE,BF,CF,CD這五個量才能解決問題。這里出錯的主要有：把矩形PCDR當成一個正方形來計算。這算是一個思維定勢的原因吧，看著像是正方形，就當成正方形來計算。（6）方法六：EQAGBFCD如圖，過點C作CQ⊥FD交AB于點Q，過點Q作QG⊥AD于點G.學生們把陰影圖形分割成直角三角形CBQ和直角三角形AQG和一個矩形QCDG.下面看一下解題過程：

解：∵四邊形AEFD為矩形

∴∠D=90°

又∵CQ⊥FD，QG⊥AD，

∴四邊形QCDG是矩形

∴CQ∥AD

∴∠BQC=∠QAG=53°

∵∠ABC=90°，BC=6 BC 6 15∴Rt?QBC中，CQ=sin53=0.8=29

，2BQ=CQ?cos∠CBQ=15

2cos53°=62022022年安徽省中小學教育教學論文評選

2022年安徽省中小學教育教學論文評選9 11∴AQ=AB－BQ=10－=2 2∴在Rt?AQG中，QG=AQ?sin∠QAG=11

2?sin53°=4.4，AG=AQ?cos∠QAG=11

2cos53°=3.3，S陰=S矩形QCDG+S?AQG+S?BQC1 1=CG×CQ＋×CB×BQ＋×QG×AG2 2 15

=2×4.4+1 9 12×6×＋×4.4×3.32 2 =53.76

很少一部分同學選擇這種分割方法，所求線段多，瑣碎計算起來也不是很簡單，所以選擇此方法的同學得滿分的很少。（7）方法七：

E ABFCD如圖連接AC,把陰影部分圖形分成直角三角形ABC和直角三角形ADC。多數同學采用這種方法，但是得滿分得并不多，失分主要原因AD和CD得值求得不對。以上總結分析了七方法，總結為兩種思路，一種是補圖，一種是分割。記得當時考完數學時，我就問學生感覺題目怎么樣，就談到17題，當時就有兩個學生就對我說：“老師，三角函數那道題，我用得有半個小時，太難算了”。等到中考試題下來得時候，我就趕緊做了試題，但當時就感覺第17題很簡單啊。我當時就用的第一種方法，特別驚訝他們怎么就花了半個小時!批改完17題后，我瞬間明白了學生們的苦衷，確實有些方法計算起來特別不好算，需要花一定的時間才能完成。也同時不理解，第一種方法很難想到嗎，干嘛又分割，又補圖的？為什么我們的學生舍近求遠那？我想這應該與學生平72022022年安徽省中小學教育教學論文評選

2022年安徽省中小學教育教學論文評選時思考問題的方式有關，也跟學生們的靈活應變的能力有關。在閱卷的過程中發(fā)現多數同學的解題格式不規(guī)范，字跡潦草，有的時候找半天找不到他的答案寫在哪里了。再有就是老生常談的問題，那就是學生的計算能力了，很多同學過程都寫對了，就最后的結果錯了。三、今后的教學建議1. 在平時的訓練中注意學生的解題規(guī)范性的培養(yǎng)，卷面答題布局合理，書寫整潔干凈。2. 計算能力的培養(yǎng)。很多學生沒有足夠的耐心，但凡遇到步驟稍微復雜，就沒有足夠的耐心去計算，導致一步錯步步錯。3. 培養(yǎng)學生