利用閱讀材料培養(yǎng)學(xué)生探究與發(fā)現(xiàn)能力 論文

利用閱讀材料，培養(yǎng)學(xué)生的探究與發(fā)現(xiàn)能力—————以“方向向量與直線的參數(shù)方程”一課為例摘要數(shù)學(xué)探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學(xué)問題，開展探究、合作交流，通過不斷發(fā)現(xiàn)和提出問題，運用數(shù)學(xué)知識解決問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.本文通過實際的教學(xué)案例，充分利用新教材中的“閱讀材料”，以問題為導(dǎo)向，鼓勵學(xué)生探究與發(fā)現(xiàn)，在實踐中落實新課程目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).關(guān)鍵詞閱讀材料，探究與發(fā)現(xiàn)，核心素養(yǎng)1引言經(jīng)過一段時間的教學(xué)實踐，本人深刻地感受到了新教材的“魅力”.它不僅內(nèi)容豐富，而且重視學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和發(fā)掘，尤其是部分章節(jié)后的“閱讀材料”和“探究與發(fā)現(xiàn)”，給師生留下了很大的探究空間.本人覺得要充分利用這些素材，帶領(lǐng)學(xué)生大膽探究，發(fā)現(xiàn)問題，總結(jié)規(guī)律，提升學(xué)科核心素養(yǎng).本人通過一節(jié)“方向向量與直線的參數(shù)方程”課例和大家一起探討教材中閱讀材料的使用，供同行參考.2教材分析本課例的內(nèi)容選自人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》2.2直線的方程一節(jié)第68頁--第69頁的“探究與發(fā)現(xiàn)”.為了加強知識的聯(lián)系，特別是為了體現(xiàn)向量的廣泛應(yīng)用性，教材安排了該閱讀材料.直線的參數(shù)方程與直線的方向向量有著密切的聯(lián)系.由于一個定點、一個方向唯一確定一條直線，而向量可以將方向進行代數(shù)表示.所有直線可以由一個定點和這條直線的方向向量唯一確定，這與直線的點斜式方程本質(zhì)上是一致的.在過兩點的直線斜率公式的推導(dǎo)中，以及獲得過兩點的直線斜率公式后，教科書建立了直線的斜率與其方向向量之間的聯(lián)系.同樣，教科書根據(jù)向量共線的條件，r建立了直線的方向向量v=(mn)與過點Po(xo,yo)的直線上任意一點Pxy( )的關(guān)系ìx=xo+tmí?y=yo+tn

，其中實數(shù)是對應(yīng)點P的參變數(shù)，簡稱參數(shù)，上述方程稱為直線的參數(shù)方程.如果把直線的方向向量看作勻速直線運動的速度，那么直線參數(shù)方程的運動學(xué)意義就非常明顯：(,xy)定量地刻畫了物體在時刻時的位置，tuuuroPP 刻畫了物體經(jīng)過時間t后的位移.這樣我們就建立了普通方程和參數(shù)方程之間的聯(lián)系，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)和物理兩個學(xué)科的相互交流.利用參數(shù)方程可以在解析幾何中更直觀、形象地表示曲線的幾何特征，進而研究曲線的幾何性質(zhì).3教學(xué)過程3.1創(chuàng)設(shè)情境，引出課題師：此前我們學(xué)習(xí)了直線的5種不同形式的方程，下面我們來繼續(xù)研究直線，請看視頻，觀察視頻中蠟塊的運動情況，它的運動軌跡是什么？生：是一條直線師：很好.從物理的角度看，這是一個點沿著一個指定方向做直線運動；從數(shù)學(xué)的角度看，可以抽象成：通過一個點oP r

和方向向量就可以確定一條直線.由此我們可以得到怎樣的關(guān)系式呢？如果用坐標(biāo)表示出來，我們能不能得到直線方程新的形式呢？【設(shè)計意圖】通過一個“看得見，摸得著”的物理中的質(zhì)點運動問題，將數(shù)學(xué)問題“實物化”，引導(dǎo)學(xué)生展開聯(lián)想，將其抽象為數(shù)學(xué)問題，使得課題的引入更自然，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)3.2探究新形式的直線方程思考：已知直線上一點oP r

與方向向量，則直線上任意一點P與roPv之間的關(guān)系完全確定，那么這個關(guān)系該如何表示？進一步設(shè)Po(xo,yo),Pxy(),rv=(mn)，這個關(guān)系如何用坐標(biāo)表示？（分組合作探究，展示成果）生1：在直線上任取一點P，由uuur roPPv得uuuroPPr=tv，再將這一式子用向量的坐標(biāo)形式展開得：方程組ìí?x=xo+tm①y+tn=yo師：很好!這位同學(xué)的思路非常清晰，將推導(dǎo)過程準(zhǔn)確地展示出來了.大家接著思考這樣一個問題：通過剛才的推導(dǎo)過程我們可以說明直線上任意一個點的坐標(biāo)都是這個方程的解，反過來，以方程組①的解為坐標(biāo)的點都在直線上嗎？即對于的每一個確定的值，通過方程組①可以得到1tPxy1(1 1)，那么1P點是否在直線上呢？（分組討論，將證明過程展示出來）生2：由ìí?x1=xo+tm1Tì

í

?x1-xo=tm1TuuuurPPo 1 r=tv1，即P在直線上1-y1=yo+tn1y1yo=tn1師：很好！結(jié)合以上兩位同學(xué)的探究成果展示，我們就建立了直線和方程組①之間的一一對應(yīng)的關(guān)系，即方程組①為直線的方程.【設(shè)計意圖】通過設(shè)置兩個思考題，有效的解決了在求曲線方程過程中“完備性”和“純粹性”的問題，建立了直線和方程的對應(yīng)關(guān)系；通過小組討論，交流合作，展示成果，充分調(diào)動學(xué)生參與探究的積極性，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng)3.3深化含義，加強理解ìx=xo+tm思考：方程組í?y=yo+tn

從結(jié)構(gòu)形式上看，該方程組有怎樣的特點？師：（提示）這里xo,ymno 都是常數(shù)，哪個是變量？生：為變量師：,xy與之間的關(guān)系是怎樣的？這里的作用是什么？生：xy都是關(guān)于的線性函數(shù)，通過將xy聯(lián)系起來師：很好，這里的就是起著“橋梁”、“中介”的作用。我們將稱為參數(shù)，所以方程組①稱為直線的參數(shù)方程.而這與前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過的可化為Ax+By+C=0（AB不同時為）形式的直線方程（直線的普通方程）有很大的區(qū)別，這樣我們就得到了直線的另外一種形式的方程.

師：下面我們通過實例來熟悉一下這個方程思考：方程組ì

í

?x=+2t表示一條直線嗎？這條直線有什么特點？經(jīng)過哪y=+4t個定點？方向向量是？生：表示一條過oP(1,3,) r

方向向量v=(2,4)的直線師：同學(xué)們，通過剛才一系列的“頭腦風(fēng)暴”，大家可以體會到我們不僅要善于發(fā)現(xiàn)和提出問題，更要在解決問題的過程中再發(fā)現(xiàn)再提出問題，這是一個“螺旋上升”的過程，只有這樣我們才能夠勇攀科學(xué)的高峰！【設(shè)計意圖】師生一起完成直線參數(shù)形式方程的推導(dǎo)和證明過程以后，進一步認識了方程組中的變量之間的相互關(guān)系，提升了學(xué)生對方程本質(zhì)的理解；通過實例，加深學(xué)生對方程組中一些數(shù)值的意義的理解，對學(xué)生的思考回答過程給予肯定和積極的評價，培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)的情感態(tài)度價值觀3.4學(xué)以致用例1如圖1所示，在一端封閉、長約1m的玻璃管內(nèi)注滿清水，水中放一個紅蠟做的小圓柱體A，將玻璃管的開口端用橡膠塞賽緊（圖甲）.把玻璃管倒置（圖乙），蠟塊A沿玻璃管上升.如果在玻璃管旁邊豎立一把刻度尺，可以看到，蠟塊上升的速度大致不變，即蠟塊做勻速直線運動.在蠟塊勻速上升的同時，將玻璃管緊貼著黑板沿水平方向向右勻速移動（圖丙），觀察蠟塊的運動情況.現(xiàn)在假設(shè)玻璃管足夠高，如圖建立坐標(biāo)系，以1cm為單位1,蠟塊向右速度始終為0.5cm/s.同時從點oP(2,1)開始向上做勻速直線運動，速度為1cm/s,并開始計時，t秒后蠟塊的位置坐標(biāo)為Pxy( )，請問蠟塊的運動軌跡是什么？(圖1）r生：可以看作是質(zhì)點Pxy( )從oP(2,1)出發(fā)，速度v=(0.5,1)的勻速直線運動，t時刻時的位移為

uuuroPP，且運動軌跡是射線oPM，方程為

ìí x=+0.5 ，t30?y=+t師：在此基礎(chǔ)上，我們可以將其推廣到一般情況，直線的參數(shù)方程ìí?

xy

==

xy

oo

++

tmtn

可以看成質(zhì)點Pxy( )從Po(xo,yo)出發(fā)，速度v r=(mn)的勻速直線uuur ìx=xo+tm運動t時刻時的位移為oPP，且運動軌跡是射線oPM，即參數(shù)方程í?y=yo+tn定量地刻畫了質(zhì)點P在t時刻的位置ìx=xo+tm揭示了：í? y=yo+tn ????pptvo 運動學(xué)（位移的分解與合成）例2ì x=+13t設(shè)直線的參數(shù)方程為í ，其中t為參數(shù)?y=-+4（1） 判斷點(76，)是否在直線上（2） 請把它化為普通方程生：將(76，)代入發(fā)現(xiàn)方程組無解，即點不在直線上；消去參數(shù)t就可得到直線的普通方程4x-3y-7=0【設(shè)計意圖】通過例1解決了本節(jié)課引例中的蠟塊運動問題，形成前后呼應(yīng)，進一步揭示直線參數(shù)方程的物理背景，展示了新教材對學(xué)生在跨學(xué)科知識遷移方面的要求；通過例2讓學(xué)生明確直線參數(shù)方程和直線普通方程是可以互相轉(zhuǎn)化的，它是點的運動軌跡的另一種展現(xiàn)形式3.5課堂小結(jié)，作業(yè)布置 師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)我們可以體會到方向向量在建立直線參數(shù)的作用，再次說明了向量是聯(lián)系幾何與代數(shù)的橋梁.課后思考：設(shè)空間一點Po(xo,yo,zo), r

方向向量vmnl()，你能寫出空間中直線的參數(shù)方程嗎？更高維的呢？【設(shè)計意圖】通過平面推廣到空間，提出了拓展性研究問題，升華了本節(jié)課的內(nèi)容，為學(xué)生探究與發(fā)現(xiàn)的能力培養(yǎng)提供了寬廣的平臺4教學(xué)反思《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：全面落實立德樹人要求，深入挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值，樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動的全過程.本節(jié)課充分關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達成，以物理問題中的質(zhì)點運動為載體，創(chuàng)設(shè)了合適的教學(xué)情境，提出了符合學(xué)生認知規(guī)律的數(shù)學(xué)問題，通過層層設(shè)問，推導(dǎo)出直線的參數(shù)方程，加強了知識之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了向量的工具性以及應(yīng)用的廣泛性.同時通過為學(xué)生搭建合作探究、交流學(xué)習(xí)、展示成果的平臺，讓學(xué)生親身