利用閱讀材料培養(yǎng)學(xué)生探究與發(fā)現(xiàn)能力 論文

利用閱讀材料，培養(yǎng)學(xué)生的探究與發(fā)現(xiàn)能力—————以“方向向量與直線的參數(shù)方程”一課為例摘要數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，開(kāi)展探究、合作交流，通過(guò)不斷發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的一類(lèi)綜合實(shí)踐活動(dòng)，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.本文通過(guò)實(shí)際的教學(xué)案例，充分利用新教材中的“閱讀材料”，以問(wèn)題為導(dǎo)向，鼓勵(lì)學(xué)生探究與發(fā)現(xiàn)，在實(shí)踐中落實(shí)新課程目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).關(guān)鍵詞閱讀材料，探究與發(fā)現(xiàn)，核心素養(yǎng)1引言經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的教學(xué)實(shí)踐，本人深刻地感受到了新教材的“魅力”.它不僅內(nèi)容豐富，而且重視學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和發(fā)掘，尤其是部分章節(jié)后的“閱讀材料”和“探究與發(fā)現(xiàn)”，給師生留下了很大的探究空間.本人覺(jué)得要充分利用這些素材，帶領(lǐng)學(xué)生大膽探究，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，總結(jié)規(guī)律，提升學(xué)科核心素養(yǎng).本人通過(guò)一節(jié)“方向向量與直線的參數(shù)方程”課例和大家一起探討教材中閱讀材料的使用，供同行參考.2教材分析本課例的內(nèi)容選自人教A版《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》2.2直線的方程一節(jié)第68頁(yè)--第69頁(yè)的“探究與發(fā)現(xiàn)”.為了加強(qiáng)知識(shí)的聯(lián)系，特別是為了體現(xiàn)向量的廣泛應(yīng)用性，教材安排了該閱讀材料.直線的參數(shù)方程與直線的方向向量有著密切的聯(lián)系.由于一個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)方向唯一確定一條直線，而向量可以將方向進(jìn)行代數(shù)表示.所有直線可以由一個(gè)定點(diǎn)和這條直線的方向向量唯一確定，這與直線的點(diǎn)斜式方程本質(zhì)上是一致的.在過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式的推導(dǎo)中，以及獲得過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式后，教科書(shū)建立了直線的斜率與其方向向量之間的聯(lián)系.同樣，教科書(shū)根據(jù)向量共線的條件，r建立了直線的方向向量v=(mn)與過(guò)點(diǎn)Po(xo,yo)的直線上任意一點(diǎn)Pxy( )的關(guān)系ìx=xo+tmí?y=yo+tn

，其中實(shí)數(shù)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù)，上述方程稱(chēng)為直線的參數(shù)方程.如果把直線的方向向量看作勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度，那么直線參數(shù)方程的運(yùn)動(dòng)學(xué)意義就非常明顯：(,xy)定量地刻畫(huà)了物體在時(shí)刻時(shí)的位置，tuuuroPP 刻畫(huà)了物體經(jīng)過(guò)時(shí)間t后的位移.這樣我們就建立了普通方程和參數(shù)方程之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)和物理兩個(gè)學(xué)科的相互交流.利用參數(shù)方程可以在解析幾何中更直觀、形象地表示曲線的幾何特征，進(jìn)而研究曲線的幾何性質(zhì).3教學(xué)過(guò)程3.1創(chuàng)設(shè)情境，引出課題師：此前我們學(xué)習(xí)了直線的5種不同形式的方程，下面我們來(lái)繼續(xù)研究直線，請(qǐng)看視頻，觀察視頻中蠟塊的運(yùn)動(dòng)情況，它的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？生：是一條直線師：很好.從物理的角度看，這是一個(gè)點(diǎn)沿著一個(gè)指定方向做直線運(yùn)動(dòng)；從數(shù)學(xué)的角度看，可以抽象成：通過(guò)一個(gè)點(diǎn)oP r

和方向向量就可以確定一條直線.由此我們可以得到怎樣的關(guān)系式呢？如果用坐標(biāo)表示出來(lái)，我們能不能得到直線方程新的形式呢？【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)一個(gè)“看得見(jiàn)，摸得著”的物理中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，將數(shù)學(xué)問(wèn)題“實(shí)物化”，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)聯(lián)想，將其抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，使得課題的引入更自然，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)3.2探究新形式的直線方程思考：已知直線上一點(diǎn)oP r

與方向向量，則直線上任意一點(diǎn)P與roPv之間的關(guān)系完全確定，那么這個(gè)關(guān)系該如何表示？進(jìn)一步設(shè)Po(xo,yo),Pxy(),rv=(mn)，這個(gè)關(guān)系如何用坐標(biāo)表示？（分組合作探究，展示成果）生1：在直線上任取一點(diǎn)P，由uuur roPPv得uuuroPPr=tv，再將這一式子用向量的坐標(biāo)形式展開(kāi)得：方程組ìí?x=xo+tm①y+tn=yo師：很好!這位同學(xué)的思路非常清晰，將推導(dǎo)過(guò)程準(zhǔn)確地展示出來(lái)了.大家接著思考這樣一個(gè)問(wèn)題：通過(guò)剛才的推導(dǎo)過(guò)程我們可以說(shuō)明直線上任意一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，反過(guò)來(lái)，以方程組①的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上嗎？即對(duì)于的每一個(gè)確定的值，通過(guò)方程組①可以得到1tPxy1(1 1)，那么1P點(diǎn)是否在直線上呢？（分組討論，將證明過(guò)程展示出來(lái)）生2：由ìí?x1=xo+tm1Tì

í

?x1-xo=tm1TuuuurPPo 1 r=tv1，即P在直線上1-y1=yo+tn1y1yo=tn1師：很好！結(jié)合以上兩位同學(xué)的探究成果展示，我們就建立了直線和方程組①之間的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即方程組①為直線的方程.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)設(shè)置兩個(gè)思考題，有效的解決了在求曲線方程過(guò)程中“完備性”和“純粹性”的問(wèn)題，建立了直線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；通過(guò)小組討論，交流合作，展示成果，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與探究的積極性，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng)3.3深化含義，加強(qiáng)理解ìx=xo+tm思考：方程組í?y=yo+tn

從結(jié)構(gòu)形式上看，該方程組有怎樣的特點(diǎn)？師：（提示）這里xo,ymno 都是常數(shù)，哪個(gè)是變量？生：為變量師：,xy與之間的關(guān)系是怎樣的？這里的作用是什么？生：xy都是關(guān)于的線性函數(shù)，通過(guò)將xy聯(lián)系起來(lái)師：很好，這里的就是起著“橋梁”、“中介”的作用。我們將稱(chēng)為參數(shù)，所以方程組①稱(chēng)為直線的參數(shù)方程.而這與前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的可化為Ax+By+C=0（AB不同時(shí)為）形式的直線方程（直線的普通方程）有很大的區(qū)別，這樣我們就得到了直線的另外一種形式的方程.

師：下面我們通過(guò)實(shí)例來(lái)熟悉一下這個(gè)方程思考：方程組ì

í

?x=+2t表示一條直線嗎？這條直線有什么特點(diǎn)？經(jīng)過(guò)哪y=+4t個(gè)定點(diǎn)？方向向量是？生：表示一條過(guò)oP(1,3,) r

方向向量v=(2,4)的直線師：同學(xué)們，通過(guò)剛才一系列的“頭腦風(fēng)暴”，大家可以體會(huì)到我們不僅要善于發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，更要在解決問(wèn)題的過(guò)程中再發(fā)現(xiàn)再提出問(wèn)題，這是一個(gè)“螺旋上升”的過(guò)程，只有這樣我們才能夠勇攀科學(xué)的高峰！【設(shè)計(jì)意圖】師生一起完成直線參數(shù)形式方程的推導(dǎo)和證明過(guò)程以后，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了方程組中的變量之間的相互關(guān)系，提升了學(xué)生對(duì)方程本質(zhì)的理解；通過(guò)實(shí)例，加深學(xué)生對(duì)方程組中一些數(shù)值的意義的理解，對(duì)學(xué)生的思考回答過(guò)程給予肯定和積極的評(píng)價(jià)，培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)的情感態(tài)度價(jià)值觀3.4學(xué)以致用例1如圖1所示，在一端封閉、長(zhǎng)約1m的玻璃管內(nèi)注滿清水，水中放一個(gè)紅蠟做的小圓柱體A，將玻璃管的開(kāi)口端用橡膠塞賽緊（圖甲）.把玻璃管倒置（圖乙），蠟塊A沿玻璃管上升.如果在玻璃管旁邊豎立一把刻度尺，可以看到，蠟塊上升的速度大致不變，即蠟塊做勻速直線運(yùn)動(dòng).在蠟塊勻速上升的同時(shí)，將玻璃管緊貼著黑板沿水平方向向右勻速移動(dòng)（圖丙），觀察蠟塊的運(yùn)動(dòng)情況.現(xiàn)在假設(shè)玻璃管足夠高，如圖建立坐標(biāo)系，以1cm為單位1,蠟塊向右速度始終為0.5cm/s.同時(shí)從點(diǎn)oP(2,1)開(kāi)始向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s,并開(kāi)始計(jì)時(shí)，t秒后蠟塊的位置坐標(biāo)為Pxy( )，請(qǐng)問(wèn)蠟塊的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？(圖1）r生：可以看作是質(zhì)點(diǎn)Pxy( )從oP(2,1)出發(fā)，速度v=(0.5,1)的勻速直線運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻時(shí)的位移為

uuuroPP，且運(yùn)動(dòng)軌跡是射線oPM，方程為

ìí x=+0.5 ，t30?y=+t師：在此基礎(chǔ)上，我們可以將其推廣到一般情況，直線的參數(shù)方程ìí?

xy

==

xy

oo

++

tmtn

可以看成質(zhì)點(diǎn)Pxy( )從Po(xo,yo)出發(fā)，速度v r=(mn)的勻速直線uuur ìx=xo+tm運(yùn)動(dòng)t時(shí)刻時(shí)的位移為oPP，且運(yùn)動(dòng)軌跡是射線oPM，即參數(shù)方程í?y=yo+tn定量地刻畫(huà)了質(zhì)點(diǎn)P在t時(shí)刻的位置ìx=xo+tm揭示了：í? y=yo+tn ????pptvo 運(yùn)動(dòng)學(xué)（位移的分解與合成）例2ì x=+13t設(shè)直線的參數(shù)方程為í ，其中t為參數(shù)?y=-+4（1） 判斷點(diǎn)(76，)是否在直線上（2） 請(qǐng)把它化為普通方程生：將(76，)代入發(fā)現(xiàn)方程組無(wú)解，即點(diǎn)不在直線上；消去參數(shù)t就可得到直線的普通方程4x-3y-7=0【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例1解決了本節(jié)課引例中的蠟塊運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，形成前后呼應(yīng)，進(jìn)一步揭示直線參數(shù)方程的物理背景，展示了新教材對(duì)學(xué)生在跨學(xué)科知識(shí)遷移方面的要求；通過(guò)例2讓學(xué)生明確直線參數(shù)方程和直線普通方程是可以互相轉(zhuǎn)化的，它是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的另一種展現(xiàn)形式3.5課堂小結(jié)，作業(yè)布置 師：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)我們可以體會(huì)到方向向量在建立直線參數(shù)的作用，再次說(shuō)明了向量是聯(lián)系幾何與代數(shù)的橋梁.課后思考：設(shè)空間一點(diǎn)Po(xo,yo,zo), r

方向向量vmnl()，你能寫(xiě)出空間中直線的參數(shù)方程嗎？更高維的呢？【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)平面推廣到空間，提出了拓展性研究問(wèn)題，升華了本節(jié)課的內(nèi)容，為學(xué)生探究與發(fā)現(xiàn)的能力培養(yǎng)提供了寬廣的平臺(tái)4教學(xué)反思《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：全面落實(shí)立德樹(shù)人要求，深入挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值，樹(shù)立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識(shí)，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程.本節(jié)課充分關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成，以物理問(wèn)題中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)為載體，創(chuàng)設(shè)了合適的教學(xué)情境，提出了符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)層層設(shè)問(wèn)，推導(dǎo)出直線的參數(shù)方程，加強(qiáng)了知識(shí)之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了向量的工具性以及應(yīng)用的廣泛性.同時(shí)通過(guò)為學(xué)生搭建合作探究、交流學(xué)習(xí)、展示成果的平臺(tái)，讓學(xué)生親身