2021-2022學(xué)年安徽省六安市第一中學(xué)高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年安徽省六安市第一中學(xué)高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線恒經(jīng)過定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是（）A．6 B．3 C．4 D．7【答案】B【分析】把直線方程整理為關(guān)于的方程，由恒等式知識(shí)求得定點(diǎn)坐標(biāo)，然后由點(diǎn)到直線距離公式求解．【詳解】由直線方程變形為：，由，解得，所以直線恒經(jīng)過定點(diǎn)，故點(diǎn)到直線的距離是，故選：B.2．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，），若，從M中任取一個(gè)元素，其模為1的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】推導(dǎo)出的取值只有四個(gè)數(shù)，，0，1，從而，1，，，，，，中共7個(gè)元素，其中模為1的有3個(gè)元素，由此即可求出從中任取一個(gè)元素，其模為1的概率．【詳解】解：因?yàn)?，所以，?，1，，，0，1，，即的取值只有四個(gè)數(shù)，，0，1，所以，1，，，，，，所以中共7個(gè)元素，其中模為1的有3個(gè)元素，所以從中任取一個(gè)元素，其模為1的概率為．故選：C．3．四棱錐中，底面ABCD是一個(gè)平行四邊形，底面ABCD，，，．則四棱錐的體積為（）A．8 B．48 C．32 D．16【答案】D【分析】由題設(shè)易知、，利用空間向量夾角、模的坐標(biāo)表示求夾角的余弦值、，進(jìn)而求，再由三角形面積公式求，即可求體積.【詳解】由題設(shè)，易知，而，∵，且，若夾角為，則，∴，則，即，又，∴.故選：D4．如圖，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形且，則在下列說法中，錯(cuò)誤的為（）A． B．截面PQMNC． D．異面直線PM與BD所成的角為45°【答案】C【分析】A由題設(shè)易得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可證；B由線面平行的判定可證截面PQMN；C：為特殊位置的點(diǎn)時(shí)成立；D將異面直線平移到截面上即可知夾角大小.【詳解】A：由題設(shè)，易知，又，，即有，正確；B：由，截面PQMN，截面PQMN，則截面PQMN，正確；C：僅當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，故錯(cuò)誤；D：由A知：異面直線PM與BD所成的角為，正確.故選：C5．如圖所示，在中，，點(diǎn)F在線段CD上，設(shè)，，，則的最小值為（）A．8 B． C． D．【答案】A【分析】由，可得，又，所以，由F在線段CD上，利用向量共線定理可得2x+y=1，再利用基本不等式即可求解．【詳解】解：在中，，，，，在線段上，，又，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．的最小值為8．故選：A．6．平面過正方體的頂點(diǎn)A，平面，平面，平面，則m，n所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正方體的性質(zhì)，找到一個(gè)符合題設(shè)的平面即可知m，n所成角的大小，進(jìn)而求其余弦值.【詳解】由題意，若平面為面，則，分別為，如下圖示，∴m，n所成角為，故其余弦值為.故選：C7．的頂點(diǎn)，邊上的中線所在的直線為，的平分線所在直線方程為，求邊所在直線的方程（）A． B．C． D．【答案】B【解析】先由求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，再利用對(duì)稱關(guān)系求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，而在直線上，從而可得直線的方程，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，進(jìn)而可求得直線的方程【詳解】解：由，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以邊所在直線的方程為，即，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查直線方程的求法，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，考查點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題8．已知梯形CEPD如下圖所示，其中，，A為線段PD的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，現(xiàn)沿AB進(jìn)行折疊，使得平面平面ABCD，得到如圖所示的幾何體．已知當(dāng)點(diǎn)F滿足時(shí)，平面平面PCE，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)建以A為原點(diǎn)，射線AB、AD、AP為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，由題設(shè)標(biāo)注相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求面、面的法向量，根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示求參數(shù).【詳解】由題意，可構(gòu)建以A為原點(diǎn)，射線AB、AD、AP為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，∴，則，，若是面一個(gè)法向量，則，可得，若是面一個(gè)法向量，則，可得，∴由面面PCE，有，解得.故選：D9．隨著我國人民生活水平日益提高，餐飲消費(fèi)在國民經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的比重逐步加大.某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了2014年至2020年（1月至11月）我國餐飲業(yè)銷售收入的情況，得到下面的條形圖，則下面說法中不正確的是（）A．2014年至2019年，我國餐飲業(yè)銷售收入逐年增加B．2019年我國餐飲業(yè)銷售收入較2018年的增量超過4000億元，同比增長接近10%C．2020年受新冠肺炎疫情影響，我國餐飲業(yè)銷售收入有所下滑D．近年來，我國餐飲業(yè)銷售收入同比增長率有上升趨勢【答案】D【分析】結(jié)合給出的銷售統(tǒng)計(jì)收入情況，依次分析選項(xiàng)即可得解.【詳解】對(duì)于A，從條形圖可以看出，2014年至2019年，我國餐飲業(yè)銷售收入逐年增加，故A正確；對(duì)于B，2018年和2019年我國餐飲業(yè)銷售收入分別為億元和億元，2019年較2018年多增量為億元，從折線圖可以看出，同比增長接近（實(shí)際增長為），故B正確；對(duì)于C，從條形圖可以看出，2020年我國餐飲業(yè)銷售收入有所下滑，故C正確；對(duì)于D，從折線圖可以看出，我國餐飲業(yè)銷售收入同比增長率并沒有上升趨勢，故D錯(cuò)誤.二、多選題10．下列四個(gè)命題中是假命題的是（）A．若復(fù)數(shù)z滿足，則z是虛數(shù)B．若直線的斜率為，則直線的傾斜角為C．若，，事件A，B相互獨(dú)立和A，B相互互斥不能同時(shí)成立D．若，，，為銳角，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【答案】BD【分析】對(duì)選項(xiàng)A：設(shè)，，由，可得，即可判斷選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B：由直線傾斜角的取值范圍為，即可判斷選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：由互斥事件及相互獨(dú)立事件的概念即可判斷選項(xiàng)C正確；對(duì)選項(xiàng)D：由與夾角為銳角或與共線同向即可判斷選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】解：對(duì)選項(xiàng)A：設(shè)，，因?yàn)?，所以，，即，所以z是虛數(shù)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B：若直線的斜率為，則直線的傾斜角不一定為，因?yàn)橹本€傾斜角的取值范圍為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：若事件A、B互斥，則事件A、B不可能同時(shí)發(fā)生，所以A與B不是相互獨(dú)立事件，故選項(xiàng)C正確；對(duì)選項(xiàng)D：因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)闉殇J角，所以，則，但時(shí)，共線同向，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BD.11．在四面體中，以下說法正確的有（）A．若，則可知B．若Q為△的重心，則C．若四面體各棱長都為2，M，N分別為PA，BC的中點(diǎn)，則D．若，，則【答案】ABD【分析】A：令，利用平面向量基本定理及向量加減、數(shù)乘的幾何意義，求之間含的線性關(guān)系，結(jié)合已知即可求；B：根據(jù)線段的空間位置及空間向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算，求的線性關(guān)系；C：由正四面體性質(zhì)求的長度即可；D：由題設(shè)有，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律及空間向量的加減幾何含義求證結(jié)論.【詳解】A：由，則在線段上，又，若，則，又，故，所以，即，正確；B：若為的中點(diǎn)，，又，而，所以，又，則，整理得，正確；C：由題設(shè)知：，即，且，故，錯(cuò)誤；D：若，，則，又，所以，整理得，故，正確.故選：ABD12．在直三棱柱中，，，分別是的中點(diǎn)，在線段上，則下面說法中正確的有（）A．平面B．若是上的中點(diǎn)，則C．直線與平面所成角的正弦值為D．直線與直線所成角最小時(shí)，線段長為【答案】ACD【分析】由題意寫出空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用與平面法向量的數(shù)量積等于零可判斷A；根據(jù)可判斷B；求出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量數(shù)量積求線面角可判斷C；利用異面直線所成角的空間向量求法可判斷D.【詳解】由題意可得，，，，，，，設(shè)，，，直三棱柱中，，可得為平面的一個(gè)法向量，為平面的一個(gè)法向量，對(duì)于A，，，即，又平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，若是上的中點(diǎn)，則，所以，所以與不垂直，故B不正確；對(duì)于C，由為平面的一個(gè)法向量，，設(shè)直線與平面所成角為，則，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值，即直線與直線所成角最小，此時(shí)，，故D正確.故選：ACD三、填空題13．節(jié)約用水是中華民族的傳統(tǒng)美德，某市政府希望在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超過x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為此希望已經(jīng)學(xué)習(xí)過統(tǒng)計(jì)的小明，來給出建議．為了了解全市居民用水量的分布情況，小明通過隨機(jī)走訪，獲得了100位居民某年的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如下圖所示的頻率分布直方圖．若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x（噸），如果你是小明，你覺得x的估計(jì)值為__________．（精確到小數(shù)點(diǎn)后1位）【答案】2.9【分析】利用頻率分布直方圖的矩形面積之和為1計(jì)算出，然后估計(jì)所在區(qū)間，再計(jì)算區(qū)間的頻率和為0.85時(shí)，求解即可.【詳解】由頻率分布直方圖，可得，解得，前6組的頻率之和為，而前5組的頻率之和為，∴，由，解得．故答案為：2.9.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的相關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.14．已知直線l經(jīng)過兩直線和的交點(diǎn)，且到l的距離與到l的距離之比為，則直線l的方程是______.【答案】或【分析】先聯(lián)立方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再討論直線斜率存在和不存在兩種情況，設(shè)出直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)系，即可求解.【詳解】聯(lián)立方程，解得，即交點(diǎn)為，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為，則到l的距離為1，到l的距離為3，滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線方程為，即，，解得，所求方程是，即，故直線l的方程是或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查直線交點(diǎn)的求法，考查點(diǎn)到直線的距離公式，在用待定系數(shù)法求直線方程時(shí)，需要注意考慮斜率是否存在，屬于基礎(chǔ)題.15．甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，采取五局三勝制（不考慮平局，先贏得三場的人為獲勝者，比賽結(jié)束）.根據(jù)前期的統(tǒng)計(jì)分析，得到甲在和乙的第一場比賽中，取勝的概率為，受心理方面的影響，前一場比賽結(jié)果會(huì)對(duì)甲的下一場比賽產(chǎn)生影響，如果甲在某一場比賽中取勝，則下一場取勝率提高，反之，降低，則甲以取得勝利的概率為______________.【答案】0.174【分析】設(shè)甲在第一、二、三、四局比賽中獲勝分別為事件、、、，則所求概率為：，再根據(jù)概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)甲在第一、二、三、四局比賽中獲勝分別為事件、、、，由題意，甲要以取勝的可能是，，，所以=.故答案為：0.174.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件和互斥事件的概率計(jì)算，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于?？碱}.四、雙空題16．所謂正三棱錐，指的是底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面上的射影為底面三角形中心的三棱錐，在正三棱錐中，是的中點(diǎn)，且，底面邊長，則正三棱錐的外接球的表面積為________；與底面所成角的正弦值為____________.【答案】；【分析】取中點(diǎn)為，連接和，利用線面垂直求出平面，由三棱錐的性質(zhì)可得、、兩兩垂直，由外接球半徑即可求得三棱錐外接球的表面積；再由頂點(diǎn)在底面上的射影為底面三角形中心，找到點(diǎn)在在平面的投影為中點(diǎn)，找出線面角即，求出相應(yīng)線段長，即可求出與底面所成角的正弦值.【詳解】作正三棱柱如圖所示，取中點(diǎn)為，連接和，則，，且，所以平面，又平面，所以，又，且，所以平面，所以由正三棱錐的性質(zhì)，、、兩兩垂直，因?yàn)?，所以，所以正三棱錐的外接球半徑，正三棱錐的外接球表面積；由題，正三棱錐頂點(diǎn)在底面上的射影為底面三角形中心，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以在平面的投影在上，且為中點(diǎn)，連接，則即與底面所成角，因?yàn)椋?，，所?因?yàn)?，，，所以，又，所以，所?即即與底面所成角的正弦值為.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中線面垂直的證明與性質(zhì)、正三棱錐外接球表面積的求法以及線面角的求法，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.五、解答題17．在中，為所在平面內(nèi)的兩點(diǎn)，，．（1）以和作為一組基底表示，并求；（2）為直線上一點(diǎn)，設(shè)，若直線經(jīng)過的垂心，求．【答案】（1）；；（2）．【分析】（1）利用基底法，以和作為一組基底表示即可；（2）因?yàn)橹本€經(jīng)過的垂心，所以，即，分別表示出代入即可．【詳解】（1）由，所以為線段上靠近的三等分點(diǎn)．由，所以為線段的中點(diǎn)，，因?yàn)?，所以；?）為直線上一點(diǎn)，設(shè)，則，所以，，因?yàn)橹本€經(jīng)過的垂心，所以，即，所以，解得，所以，因?yàn)?，所以．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵之處在于第二問中“直線經(jīng)過的垂心”轉(zhuǎn)化為“”，進(jìn)而有“”．18．從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人．(1)求第七組的頻率；(2)估計(jì)該校的800名男生的身高的平均數(shù)和中位數(shù)；(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件，求．【答案】(1)；(2)平均數(shù)為，中位數(shù)為；(3)．【分析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)求第七組的頻率；(2)根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義利用頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù)；(3)確定樣本空間，利用古典概型概率公式求概率.【詳解】解：(1)第六組的頻率為，∴第七組的頻率為．(2)由直方圖得，身高在第一組的頻率為，身高在第二組的頻率為，身高在第三組的頻率為，身高在第四組的頻率為，由于，，設(shè)這所學(xué)校的800名男生的身高中位數(shù)為m，則，由得，所以這所學(xué)校的800名男生的身高的中位數(shù)為174.5cm，平均數(shù)為．(3)第六組的抽取人數(shù)為4，設(shè)所抽取的人為a，b，c，d，第八組的抽取人數(shù)為，設(shè)所抽取的人為A，B，則從中隨機(jī)抽取兩名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15種情況，因事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組，所以事件E包含的基本事件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況．所以．19．已知AB是圓O的直徑，且長為4，C是圓O上異于A，B的一點(diǎn)，點(diǎn)P到A，B，C的距離均為．設(shè)二面角與二面角的大小分別為，．（1）求的值；（2）若，求平面APC與平面PBC所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）連結(jié)PO，OC，有，由圓的性質(zhì)易得，由線面垂直的判定可得平面ABC，再取AC，BC的中點(diǎn)M，N，連接PM，OM，PN，ON，由線面垂直的判定易知面PMO，則，同理得，進(jìn)而根據(jù)各線段的關(guān)系求即可.（2）構(gòu)建以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，過C且垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求面PAC、面PBC的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求二面角余弦值.【詳解】（1）連結(jié)PO，OC．由，O為AB的中點(diǎn)，則．∵C是圓O上異于A，B的一點(diǎn)，AB是圓O的直徑，∴，從而，又，，∴，即，即，，又，∴平面ABC．分別取AC，BC的中點(diǎn)M，N，連接PM，OM，PN，ON，∴在圓O中，而平面ABC得，又，∴面PMO，即．同理可知：．∴．（2）由，即，又，得．在圓O中，，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，過C且垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．∴，，，又平面ABC，即軸，則．∴，，．設(shè)面PAC的法向量為，則，即，不妨取，則，，此時(shí)．設(shè)面PBC的法向量為，則，即，不妨取，則，，此時(shí)．∴．∴平面APC和平面PBC所成銳二面角的余弦值．20．已知直線，，過點(diǎn)的直線分別與直線，交于，其中點(diǎn)在第三象限，點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)；（1）若的面積為，求直線的方程；（2）直線交于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，若直線的斜率均存在，分別設(shè)為，判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，說明理由．【答案】（1）（2）為定值，詳見解析【分析】（1）設(shè)直線方程為，與直線，分別聯(lián)立，可得的縱坐標(biāo)，再由的面積為，解方程可得k，進(jìn)而得到所求直線方程；（2）求得A，B的坐標(biāo)，設(shè)，運(yùn)用三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，求得，，再由兩點(diǎn)的斜率公式，化簡整理，計(jì)算即可得到所求定值．【詳解】解：（1）設(shè)直線方程為，與直線，分別聯(lián)立，可得的縱坐標(biāo)分別為，∵的面積為16，∴即，解得，∴直線l的方程為；（2）由（1）可得，又，設(shè)，由共線，可得，解得，即有，由共線，可得，解得，即有，則，即有為定值．【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查直線交點(diǎn)問題注意聯(lián)立方程，考查三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，以及斜率公式的運(yùn)用，屬于中檔題．21．設(shè)為給定的實(shí)常數(shù)，若函數(shù)在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)為“函數(shù)”．（1）若函數(shù)為“函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)為“函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知()為“函數(shù)”，設(shè).若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，都有成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）1.【分析】（1）由題意可得，根據(jù)解析式即可求解.（2）由題意可得，根據(jù)解析式整理可得，討論或，使方程有根即可求解.（3）根據(jù)函數(shù)，求出，，設(shè)，從而可得，得出，構(gòu)造函數(shù)，使其在區(qū)間上單調(diào)遞增即可.【詳解】解：（1）由為“函數(shù)”，得即，解得，故實(shí)數(shù)的值為；（2）由函數(shù)為“G(1)函數(shù)”可知，存在實(shí)數(shù)，使得，，即；由，得，整理得.①當(dāng)時(shí)，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，由，即，解得且；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）由為“函數(shù)”，得，即，從而，，不妨設(shè)，則由，即，得，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，如圖，可知，故實(shí)數(shù)的最大值為1.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的新定義，解題的關(guān)鍵是理解函數(shù)為“函數(shù)”的定義，對(duì)于（3）將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上單調(diào)遞增，考查了分析能力、轉(zhuǎn)化能力.22．如圖,多面體中,平面,底面是菱形,,四邊形是正方形.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn),使得