2021-2022學(xué)年浙江省寧波市鎮(zhèn)海高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)

2021-2022學(xué)年浙江省寧波市鎮(zhèn)海高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合A={1，2，3}，B={2，4，8}，則A∩B=（）A．{4} B．{2} C．{1，2，4} D．{1，2，3，4，8}【答案】B【分析】根據(jù)交集的定義即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)锳={1，2，3}，B={2，4，8}，所有.故選：B.2．已知，則f(3)=（）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義計(jì)算函數(shù)值．【詳解】.故選：B3．設(shè)a=1.50.3，b=log21.5，c=log1.50.9，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．c<b<a B．b<c<a C．a(chǎn)<b<c D．c<a<b【答案】A【分析】由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合中間值0和1比較可得．【詳解】，因此.故選：A.4．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又滿足值域?yàn)镽的是（）A．y=x2B． C．y=tan|x| D．y=|sinx|【答案】C【分析】由函數(shù)的值域首先排除ABD，對(duì)C進(jìn)行檢驗(yàn)可得．【詳解】選項(xiàng)A，B中函數(shù)值不能為負(fù)，值域不能R，故AB錯(cuò)誤，選項(xiàng)D值域?yàn)?，故D也錯(cuò)誤，那么選項(xiàng)C為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，值域是R，因此在定義域內(nèi)函數(shù)值域?yàn)镽，故選：C5．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，則“”是“△ABC是等腰三角形”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】充分性：或，即或，故不一定是等腰三角形，故充分性不成立必要性：當(dāng)是等腰三角形，不妨令：，則，推不出：，故必要性不成立綜上所述：為既不充分也不必要條件，故選：D．6．函數(shù)的大致圖像可以為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】探討函數(shù)的奇偶性可排除兩個(gè)選項(xiàng)，再由時(shí)函數(shù)值的符號(hào)即可判斷作答.【詳解】依題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，，即為奇函?shù)，選項(xiàng)B，D不滿足；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即，恒有，選項(xiàng)A不滿足，C滿足.故選：C7．已知正三棱錐P-ABC，底面邊長(zhǎng)為3，高為1，四邊形EFGH為正三棱錐P-ABC的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形，則四邊形EFGH面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】又正三棱錐的性質(zhì)求得三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)，結(jié)合平行四邊形的面積公式及基本不等式求最值即可得解.【詳解】設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為，則由底面邊長(zhǎng)為3，高為1，由可求得，如圖，設(shè)，則，且，于是，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)故四邊形的面積最大值為，故選：C.8．已知平面向量、、滿足，則與所成夾角的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)與夾角為，與所成夾角為，利用平面向量的數(shù)量積可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范圍，即可得解.【詳解】設(shè)與夾角為，與所成夾角為，，所以，，①，②又，③②與③聯(lián)立可得，④①④聯(lián)立可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，，，則，故與所成夾角的最大值是，故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求平面向量夾角的方法：（1）定義法：利用向量數(shù)量積的定義得，其中兩向量的取值范圍是；（2）坐標(biāo)法：若非零向量、，則.二、多選題9．已知實(shí)數(shù)，，且，則下列不等式不一定成立的（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用不等式的同向可加性可判斷A正確；取特值舉反例可判斷BCD錯(cuò)誤；【詳解】A選項(xiàng)，由不等式同向可加性，可得，故A正確；B選項(xiàng)，，則，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，則，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，則，故D錯(cuò)誤，故選：BCD10．已知函數(shù)的圖象如圖所示，下列選項(xiàng)中正確的是（）A．函數(shù)f(x)的最小正周期為πB．函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸是C．函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)f(x)在[-2π,2π]內(nèi)有12個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)解析式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求解判斷．【詳解】由圖可知，，所以，代入，可得，所以，因此.A選項(xiàng)，周期為，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，令，當(dāng)時(shí)，，故B正確；C選項(xiàng)，求單調(diào)遞增區(qū)間，令，當(dāng)時(shí)，，故C正確：D選項(xiàng)，求零點(diǎn)，令，又因?yàn)槎x在上，所以，解得，有12個(gè)符合條件，故D正確故選：BCD.11．已知函數(shù)的零點(diǎn)，k∈Z，且m，n滿足2022m=2023，2023n=2022，則k的可能值為（）A．－3 B．－2 C．－1 D．0【答案】BC【分析】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定的范圍，得出函數(shù)的單調(diào)性，然后由零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)所在區(qū)間得結(jié)論．【詳解】在R上單調(diào)遞增下面開始賦值：當(dāng)或，滿足題意，故選：BC．12．如圖，PA⊥圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，其中AB=5，PA=4，AC=3，則（）A．圓O所在平面與平面PBC所成角的正弦值為B．直線PB與平面PAC所成角的正弦值為C．四面體P-ABC的外接球的表面積為41πD．四面體P-ABC的內(nèi)切球半徑為【答案】ACD【分析】先根據(jù)題意判斷得到面，再求出各線段的長(zhǎng)度.對(duì)A，根據(jù)圓所在平面與平面所成角的平面角為求解即可；對(duì)B，直線與平面所成角為計(jì)算即可；對(duì)C，根據(jù)外接球的直徑為計(jì)算即可；對(duì)D，利用等體積法計(jì)算即可【詳解】面面，則，，.A選項(xiàng)：圓所在平面與平面所成角的平面角為，因?yàn)?，故A正確B選項(xiàng)：直線與平面所成角為，故B錯(cuò)誤C選項(xiàng)：四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐的外接球的球心在最長(zhǎng)棱的中點(diǎn)，即為的中點(diǎn)，，故C正確D選項(xiàng)：根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換：，即，解得，故選項(xiàng)D正確故選：ACD三、填空題13．計(jì)算：等于___________.【答案】1【分析】由對(duì)數(shù)的定義、對(duì)數(shù)的換底公式計(jì)算．【詳解】.故答案為：1．14．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)等于___________.【答案】【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求得，再利用共軛復(fù)數(shù)及模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】，，由共軛復(fù)數(shù)定義知，，由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)知，故答案為：15．在四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，，BC=5，，則四邊形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為___________.【答案】【分析】利用圓臺(tái)和圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式可求幾何體的表面積.【詳解】將平面圖形補(bǔ)全為如下圖所示的直角梯形，則，，四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體為一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐，如下圖：該幾何體的表面積為，故答案為：.16．已知實(shí)數(shù)，，則的最小值為___________.【答案】【分析】依題意利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，所以?dāng)"取等號(hào)“綜上所述：的最小值為；故答案為：四、解答題17．已知函數(shù)，若的解集為.(1)求，的值；(2)當(dāng)為何值時(shí)，的解集為？【答案】(1)，(2)【分析】（1）依題意與為方程的兩根，利用韋達(dá)定理得到方程組，解得即可；（2）分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，需滿足，即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】(1)解：由題意可知，的解集為，所以與為方程的兩根，，；(2)解：的解集為，①當(dāng)時(shí)，的解集為，，；②當(dāng)時(shí)，，，，綜上所述，的取值范圍為.18．已知.(1)求；(2)若且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)函數(shù)式，然后計(jì)算；（2）由（1）得，然后由正切的二倍角公式計(jì)算．【詳解】(1)，(2)且，19．鎮(zhèn)海為了學(xué)生的身心建康，加強(qiáng)食堂用餐質(zhì)量（簡(jiǎn)稱“美食”）的過程中，后勤部門需了解學(xué)生對(duì)“美食”工作的認(rèn)可程度，若學(xué)生認(rèn)可系數(shù)（認(rèn)可系數(shù)=）不低于0.85，“美食”工作按原方案繼續(xù)實(shí)施，否則需進(jìn)一步整改.為此該部門隨機(jī)調(diào)查了600名學(xué)生，根據(jù)這600名學(xué)生對(duì)“美食”工作認(rèn)可程度給出的評(píng)分，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中x的值和中位數(shù)；(2)為了解部分學(xué)生給“美食”工作評(píng)分較低的原因，該部門從評(píng)分低于80分的學(xué)生中用分層抽樣的方法隨機(jī)選取30人進(jìn)行座談，求應(yīng)選取評(píng)分在[60,70)的學(xué)生人數(shù)；(3)根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，結(jié)合認(rèn)可系數(shù)，判斷“美食”工作是否需要進(jìn)一步整改，并說明理由.【答案】(1)，中位數(shù)為(2)應(yīng)選取評(píng)分在的學(xué)生人數(shù)為10人(3)“美食”工作需要進(jìn)一步整改，理由見解析【分析】（1）由頻率分布直方圖中所有頻率和為1可求得，在頻率分布直方圖中頻率對(duì)應(yīng)的數(shù)為中位數(shù)；（2）由低于80分的學(xué)生中三組學(xué)生的人數(shù)比例進(jìn)行計(jì)算；（3）由頻率分布直方圖求出平均值后比較可得．【詳解】(1)由圖可知：，中位數(shù)：.(2)低于80分的學(xué)生中三組學(xué)生的人數(shù)比例為，則應(yīng)選取評(píng)分在的學(xué)生人數(shù)為：（人）.(3)由圖可知，認(rèn)可程度平均分為：，“美食"工作需要進(jìn)一步整改.20．在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足.(1)求角A的大小；(2)若a=4，求△ABC面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量的數(shù)量積公式和正弦定理以及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)即可得到答案.（2）由為銳角三角形，可得角B的范圍，由正弦定理表示出面積，利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)面積，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得范圍.【詳解】(1)，因?yàn)椋?jiǎn)得，因?yàn)?，所?2)由于為銳角三角形，則由正弦定理，所以因?yàn)椋?，?21．如圖，在六面體中，是等邊三角形，二面角的平面角為30°，.(1)證明：；(2)若點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CE與平面所成角的正切的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即可證得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求得線面，滿足，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的最值即可求解.【詳解】(1)證明：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，且，所以平面，又平面，所?(2)連接，則，由，可得，于是，所以，又，所以平面，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由，可得，平面的法向量為，設(shè)，則，設(shè)與平面所成角為，則，令，則，令，由對(duì)稱軸知，當(dāng)，即時(shí)，，，于是直線與平面所成角的正切的最大值為2.22．已知.(1)若f(x)在[0，2]上單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若f(x)≤|mx－1|對(duì)x∈[0，4m]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若存在實(shí)數(shù)a，b，k滿足f(a)=f(b)=k，且a<m<b.當(dāng)m變化時(shí)，求a+b的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值符號(hào)得分段函數(shù)，作出函數(shù)大致圖象，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論；（2）由時(shí)不等式成立得出，然后作出的圖象，再作出的圖象，利用圖象可得關(guān)于的不等關(guān)系，從而求得范圍；（3）由（1）知需要按和分類討論，作出函數(shù)圖象，得單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得的范圍．【詳解】(1)對(duì)于二次函數(shù)來說單調(diào)遞增，單調(diào)遞減圖1對(duì)于二次函數(shù)來說，單調(diào)遞增故在上單調(diào)，那么只能單調(diào)遞增，如圖1所示：只需滿足分界線即可，故實(shí)數(shù)的取值范圍為(2)若對(duì)恒成立，不妨令令下面討論的零點(diǎn)與的零點(diǎn)的位置關(guān)系故在的較大零點(diǎn)的右側(cè)，如圖2所示