2021-2022學年湖北省部分名校高二上學期聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

2021-2022學年湖北省部分名校高二上學期聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．直線繞原點順時針旋轉(zhuǎn)后所對應的直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)所給直線的方程求出直線的斜率進而可得傾斜角，再求出旋轉(zhuǎn)后直線的傾斜角，由斜率的定義即可求斜率.【詳解】由直線可得，所以該直線的斜率為，設傾斜角為，則，因為，所以，所以繞原點順時針旋轉(zhuǎn)后所對應的直線的傾斜角為，所以斜率為．故選：C.2．已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用數(shù)列的遞推公式逐項計算可得的值.【詳解】因為，，所以，，，．故選：D.3．拋物線的焦點坐標為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】把題目中拋物線的方程化成標準形式，根據(jù)拋物線的標準方程，即可求解出交點坐標.【詳解】將拋物線的方程化為標準形式，即，故其焦點坐標為．4．在正方體中，F(xiàn)，G分別為的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量加法的運算法則，結(jié)合共線向量的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】．故選：C5．若直線與互相平行，則（

）A．4 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線平行，即可求解.【詳解】因為直線與互相平行，所以，得．當時，兩直線重合，不符合題意；當時，符合題意．故選：B.6．已知橢圓的兩個焦點分別為，P是橢圓上一點，，且C的短半軸長等于焦距，則橢圓C的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為，所以．因為，所以，，故橢圓C的標準方程為．故選：D.7．圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用點關(guān)于直線的對稱點求出圓C關(guān)于直線對稱的圓的圓心，進而求出圓的方程.【詳解】解：圓C的圓心為，設C關(guān)于直線對稱的點為，則，解得故圓C關(guān)于直線對稱的圓的方程為，即．故選：B.8．已知斜率為的直線與雙曲線相交于、兩點，為坐標原點，的中點為，若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用點差法可求得的值，結(jié)合可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】設、、，則，兩式相減得，所以．因為，，所以．因為，，所以，故，故．故選：A.二、多選題9．已知雙曲線的焦距為，實軸長為，則（

）A．C的虛軸長為8B．C的虛軸長為4C．C的漸近線方程為D．C的漸近線方程為【答案】BC【分析】由焦距，實軸長得出的值，再由雙曲線的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因為，所以，所以C的虛軸長為4，故A項錯誤，B項正確．因為，所以雙曲線C的漸近線方程為，故C項正確，D項錯誤．故選：BC10．已知點到直線的距離相等，則實數(shù)m的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)點到直線距離公式進行求解即可.【詳解】因為點到直線的距離相等，所以有，化簡得：，解得，或，故選：AC11．如圖，在四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，平面平面，，，，E是棱上的動點（除端點外），F(xiàn)，M分別為的中點，則（

）A．平面B．直線與所成角的余弦值為C．D．當E是棱的中點時，直線與所成角的余弦值為【答案】AB【分析】取的中點為O，連接，建立空間直角坐標系，利用向量法逐項求解判斷.【詳解】設的中點為O，連接，則兩兩垂直，以所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，．設，則．因為，平面的一個法向量為，所以，所以平面，故A正確；因為，所以，所以不垂直，故C不正確；設直線與所成的角為，因為，所以，故B正確；設直線與所成的角為，當E是棱的中點時，．因為，，所以，即直線與所成角的余弦值為，故D不正確．故選：AB12．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過且斜率為的直線與橢圓交于、兩點，若為鈍角，則的取值可能為（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】設直線方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，由已知條件可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算以及韋達定理、以及、、三點不共線求出的取值范圍，即可得出合適的選項.【詳解】易知點，設直線方程為，設點、，聯(lián)立方程組，得，，則，．因為為鈍角，所以．因為，所以．因為當時，、、三點共線，不符合題意，所以，故選：ABD．三、填空題13．直線被圓截得的弦長為_____________．【答案】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合點到直線距離公式、勾股定理、配方法進行求解即可.【詳解】由，因此圓C的圓心為，半徑為4，所以圓心到直線l的距離，故直線l被圓C截得的弦長為．故答案為：14．如圖，吊車梁的魚腹部分是拋物線的一段，寬，高，根據(jù)圖中的坐標系，可得這條拋物線的準線方程為____________．【答案】【分析】設拋物線的方程為，將B點坐標代入求解.【詳解】設這條拋物線的方程為，由圖可知B點的坐標為，所以，得，故這條拋物線的準線方程為．故答案為：15．如圖，四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形，，且，為的中點，則點到平面的距離為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法解方程組，得到平面的法向量，再結(jié)合空間點到平面距離公式，可算出點到平面的距離．【詳解】因為，，由勾股定理可知，，，所以直線兩兩垂直.以為原點，所在的直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，.設平面的法向量為，則，令，得，所以點到平面的距離.故答案為：.四、雙空題16．傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù).他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類，上圖中第一行的1，3，6，10稱為三角形數(shù)，第二行的1，5，12，22稱為五邊形數(shù)，則三角形數(shù)的第7項為___________，五邊形數(shù)的第8項為___________.【答案】

28

92【分析】根據(jù)圖形尋找前后之間的關(guān)系，從而歸納出規(guī)律，可得三角形數(shù)的第7項為1+2+3+4+5+6+7，五邊形數(shù)的第8項為，即可的解.【詳解】解：三角形數(shù)的第1項為1，第2項為3=1+2，第3項為6=1+2+3，第4項為10=1+2+3+4，…，因此，第7項為1+2+3+4+5+6+7=28.五邊形數(shù)的第1項為，第2項為，第3項為，第4項為，…，因此，第8項為.故答案為：28；92.五、解答題17．在①原點到直線l的距離取得最大值，②直線l在x軸上的截距是在y軸上的截距的4倍這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答．已知直線l過點．(1)當__________時，求直線l的方程；(2)若直線l與圓相切，求直線l的方程．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)答案見解析(2)或【分析】(1)若選擇①，因為原點到直線l的距離取得最大值，所以,從而求出直線方程，若選擇②，若直線l過原點，則其斜率為，亦可求出直線方程.(2)根據(jù)直線與圓相切，即可求解.(1)若選擇①，因為原點到直線l的距離取得最大值，所以．因為直線的斜率為，所以l的斜率，故直線l的方程為，即．若選擇②，直線過原點時，此時直線l的方程為，即．若直線l不過原點設其方程為，由，得，此時直線方程為．故直線l的方程為或．(2)當l的斜率不存在時，直線l的方程為，滿足題意；當l的斜率存在時，設直線l的方程為，則，解得，此時，直線l的方程為．故直線l的方程為或．18．如圖，在三棱錐中，，，，平面平面．(1)若，求；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，建立空間直角坐標系，根據(jù)共線向量的性質(zhì)，結(jié)合空間向量模的坐標表示公式進行求解即可；（2）利用空間向量夾角公式進行求解即可.(1)因為平面平面，，且平面平面，所以平面．分別以的方向為x，y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．因為，所以．因為，且，所以，故；(2)設平面的法向量為，因為，所以令，得．因為，所以，故直線與平面所成角的正弦值為.19．已知拋物線經(jīng)過的三個頂點，且點．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線的傾斜角互補，求直線的斜率．【答案】(1)(2)-1【分析】（1）由已知，將點坐標帶入到拋物線方程即可完成方程的求解；（2）根據(jù)已知條件直線的傾斜角互補，分別設出兩點的坐標，然后寫出，利用，可以得到的坐標關(guān)系，然后再利用點差法即可完成直線的斜率的求解.(1)因為拋物線過點，所以，即拋物線C的方程為．(2)設，則兩式相減得，所以．因為直線的傾斜角互補，則的斜率存在，所以，，即所以，故．所以直線的斜率為-1.20．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，平面和平面都垂直于平面，、分別為、的中點，直線與相交于點．(1)證明：與不垂直．(2)求平面與平面夾角的大小．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）證明出平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，求出點的坐標，計算得出，即可證得結(jié)論成立；（2）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的大小.(1)證明：因為四邊形為正方形，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可證平面，平面，則，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、．設，因為，，因為，所以，得，即點，因為，，所以，故與不垂直．(2)解：設平面的法向量為，因為，，所以，令，得．設平面的法向量為，因為，，所以，令，得．因為，所以平面與平面的夾角為．21．已知橢圓的左頂點為A，上頂點為B，左、右焦點分別為，，為直角三角形，過點的直線l與橢圓交于M，N兩點，當直線l垂直于x軸時，．(1)求橢圓C的標準方程；(2)若的中點的橫坐標為，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)，結(jié)合代入法進行求解即可；（2）設出直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用中點坐標公式、弦長公式進行求解即可.(1)因為為直角三角形，所以，從而．當直線l垂直于x軸時，，所以橢圓經(jīng)過點，所以．所以，故橢圓C的標準方程為；(2)設直線l的方程為，聯(lián)立方程組得，則．因為，所以．因為，所以．【點睛】關(guān)鍵點睛：利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求橢圓弦長是解題的關(guān)鍵.22．已知雙曲線的焦點到其漸近線的距離為，離心率為2，O為坐標原點，雙曲線的左、右焦點分別為．(1)求雙曲線C的標準方程．(2)平面上有一點，證明：的角平分線與雙曲線C相切．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，求得，