函數(shù)的平均變化率(上課用)

函數(shù)的平均變化率1“突變”與“漸變”美國康乃大學(xué)曾經(jīng)做過一個(gè)有名的“青蛙試驗(yàn)”90℃的水燙不死青蛙，不到70℃的水反而燙死了青蛙，這是為什么呢？試驗(yàn)人員把一只青蛙投入90℃的熱水盆中，這只青蛙遇到高溫刺激，迅速做出反應(yīng)，“嗖”的一聲蹦出了水盆，結(jié)果安然無恙。試驗(yàn)人員又把該青蛙投入30℃的冷水盆中,然后開始慢慢加熱，當(dāng)水溫還沒有達(dá)到70℃時(shí)，這只青蛙就被燙死了。變化有快有慢之分,有些變化不被人們所察覺,有些變化卻讓人感嘆和驚訝!2

北京市某年3月和4月某天日最高氣溫記載如下表所示：實(shí)例分析1問題1：從3月18日到4月18日和從4月18日到4月20日，

哪一段時(shí)間氣溫變化得更“大”？問題2：從3月18日到4月18日和從4月18日到4月20日，

哪一段時(shí)間氣溫變化得更“快”？問題3：如何量化溫度變化的“快”與“慢”？3193.5o1323433.8t(d)T(oC)A(1,3.5)B(32,19)C(34,33.8)氣溫曲線(3月18日為第一天)實(shí)例分析1溫度隨時(shí)間變化的圖象如圖所示問題4：圖中哪一段曲線更為“陡峭”？4甲和乙兩人做生意，甲用5年時(shí)間掙到10萬元，乙用6個(gè)月時(shí)間掙到2萬元，甲、乙兩人誰的經(jīng)營成果更好？乙的經(jīng)營成果更好！甲和乙兩人做生意，甲掙了10萬元，乙掙了2萬元。你能否判斷甲、乙兩人誰的經(jīng)營成果更好？實(shí)例分析25

如何用數(shù)學(xué)知識(shí)來反映山勢的平緩與陡峭程度？6HABCDEXkXk+1X0X1X2yO例：如圖，是一座山的剖面示意圖:A是登山者的出發(fā)點(diǎn),H是山頂,登山路線用y=f(x)表示；其中自變量x表示登山者的水平位置，函數(shù)值y表示登山者所在高度。想想陡峭程度應(yīng)怎樣表示？登山問題x7HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx1x2y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)選取平直山路AB放大研究

:若自變量的改變量函數(shù)值的改變量直線AB的斜率:8D1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)Oyxx2x3y2y3C(x2,y2)D1(x3,y3)直線AB的斜率:直線CD1的斜率:x9豎直位移與水平位移之比的絕對(duì)值越大，即高度的平均變化量越大，山坡越陡；反之，山坡越平緩。

現(xiàn)在擺在我們面前的問題是：山路是彎曲的，怎樣用數(shù)量刻畫彎曲山路的陡峭程度呢？

一個(gè)很自然的想法是將彎曲的山路分成許多小段，每一小段的山坡可視為平直的?？梢越频乜坍嫛＃ㄅe例：地球表面與平面）(微分思想)

也就是說，“線段”所在直線的斜率的絕對(duì)值越大，山坡越陡。10注意各小段的是不盡相同的。但不管是哪一小段山坡，高度的平均變化都可以用起點(diǎn)、終點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差與橫坐標(biāo)之差的比值來度量。由此我們引出函數(shù)平均變化率的概念。11平均變化率的概念：

一般地，已知函數(shù)y=f(x)，x0，x1是其定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，記△x=x1－x0，△y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0).

則當(dāng)△x≠0時(shí)，商稱作函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均變化率。12觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率幾何意義是什么?OABxyY=f(x)x0x1f(x1)f(x2)x1-x0=△xf(x1)-f(x0)=△y割線AB的斜率2023/4/2113思考：（1）△x、△y的符號(hào)是怎樣的？（2）該兩變量應(yīng)如何對(duì)應(yīng)？理解：2.若函數(shù)f(x)為常函數(shù)時(shí)，△y=0；

3對(duì)應(yīng)性：若14例1．求函數(shù)y=x2在區(qū)間[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均變化率。解：函數(shù)y=x2在區(qū)間[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均變化率為1、當(dāng)取定值,取不同數(shù)值時(shí),

該函數(shù)的平均變化率也不一樣.2、x0取正值，并不斷增大時(shí)，該函數(shù)的平均變化率也不斷地增大，曲線變得越來越陡峭。15思考:一次函數(shù)y=kx+b在區(qū)間[m，n]上的平均變化率有什么特點(diǎn)？求函數(shù)f(x)=2x＋1在區(qū)間[－3，－1]上的平均變化率。變題.求函數(shù)g(x)=－2x在區(qū)間[－3，－1]上的平均變化率。感知.體會(huì)16練習(xí)：求函數(shù)

在到之間的平均變化率17例2．已知函數(shù)f(x)=－x2+x的圖象上的一點(diǎn)A(－1,－2)及臨近一點(diǎn)B(－1+△x,－2+△y),則

．3－△x18例3、某嬰兒從出生到第12個(gè)月的體重變化如圖所示，試分別計(jì)算下列體重的平均變化率（1）從出生到第3個(gè)月T(月)W(kg)639123.56.58.611解.從出生到第3個(gè)月,嬰兒體重的平均變化率為從第6個(gè)月到第12個(gè)月該嬰兒體重的平均變化率為反思:兩個(gè)不同的平均變化率的實(shí)際意義是什么？(2)第6個(gè)月到第12個(gè)月數(shù)學(xué)應(yīng)用19WOt標(biāo)準(zhǔn)A（1,20）B（1,12）C（8,5）問題1：哪個(gè)企業(yè)的治污效果好一些？問題2：在區(qū)間[t0，t1]上，哪一個(gè)企業(yè)的排污平均

變化率大一些？20對(duì)比與發(fā)現(xiàn)曲線越陡峭，平均變化率越大，氣溫升高越快WOt標(biāo)準(zhǔn)甲乙陡峭程度平均變化率的絕對(duì)值（越大）（越?。ㄔ叫。ㄔ酱螅﹖(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210

(以3月18日作為第1天)曲線越陡峭，平均變化率越小，企業(yè)治污效果越好實(shí)際問題21to路程甲乙練習(xí)：（1）甲乙二人跑步路程與時(shí)間的關(guān)系如圖(1)所示，問甲乙二人哪一個(gè)跑得快？(1)(2)（2）甲乙二人百米賽路程與時(shí)間的關(guān)系如圖(2)所示，問快到終點(diǎn)時(shí)甲乙二人誰跑得比較快？tyo甲乙22練習(xí)題1.設(shè)函數(shù)y=f(x)，當(dāng)自變量x由x0改變到x0+△x時(shí)，函數(shù)的改變量為（）

A．f(x0+△x)

B．f(x0)+△x

C．f(x0)·△x

D．f(x0+△x)－f(x0)D2.一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s=1－2t2，則在一段時(shí)間[1，2]內(nèi)的平均速度為（）

A．－4

B．－8

C．－6

D．6C233.將半徑為R的球加熱，若球的半徑增加△R，則球的表面積增加△S等于（）

A．