概率統(tǒng)計習題-3.4

1.擲一枚均勻的骰子２次，其最小點數(shù)記為Ｘ，求Ｅ（Ｘ）．解：因為Ｘ１２３４５６Ｐ11/369/367/365/363/361/36所以Ｅ（Ｘ）=91/36.２.求擲n顆骰子出現(xiàn)點數(shù)之和的數(shù)學期望與方差.解：記為第ｉ顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，ｉ=1,2,······，n.則獨立同分布，其共同的分布列為１２３４５６1/61/61/61/61/61/6習題3.41所以由此得3.從數(shù)字0,1,2,……,n中任取兩個不同的數(shù)字,求這兩個數(shù)字之差的絕對值的數(shù)學期望.解:記X與Y分別是第一次和第二次取出的數(shù)字,則2所以4.設在區(qū)間(0,1)上隨機地取n個點,求相距最遠的兩點間的數(shù)學期望.解解法一:分別記次n個點為 則 相互獨立,且都服從區(qū)間(0,1).我們的目的是求3而 和的密度函數(shù)分別為又因為所以解法二：n個點把區(qū)間（0,1）分成n+10段,它們的長度依次記為因為此n個點是隨機取的,所以具有相同的分布,從而有相同的4試求Z=sin[π/2（X+Y）]的數(shù)學期望。解E(X)=0.1sin0+0.15sinπ/2+0.25sinπ/2+0.2sinπ+0.15sinπ+0.15sin3/2π=0.257隨機變量（X，Y）服從以點（0，1），（1，0），（1，1）為頂點的三角形區(qū)域上的均勻分布，試求E(X+Y)和Var(X+Y)。解記此三角形區(qū)域為D（如圖3.15陰影部分）。因為D的面積為1/2，所以(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為11X+y=1（1，1）0時，有這是貝塔分布Be(2,1)當0〈y〈1時，有這是貝塔分布Be(2,1)即X與Y同分布，因此有貝塔分布期望，方差公式可知E(X)=E(Y)=2/3;Var(X)=Var(Y)=1/18由于X與Y不獨立，所以先計算求X和Y各自的邊際密度函數(shù)。當5數(shù)學期望。而因此而相距最遠的兩點間的距離為因此所求的期望是5盒中有n個不同的球，其上分別寫有數(shù)字1.2.……，n。每次隨機抽取一個，，記下其號碼，放回去再抽，直到抽到有兩個不同的數(shù)字為止。求平均抽球次數(shù)。解記x為抽球次數(shù)，則x的可能取值是2，3，……。且有又記p=（n-1）/n，則Y=X-1服從參數(shù)為p的幾何分布，因此E=(Y)=1/p=n/（n-1），由此得6設隨機變量（X,Y）的聯(lián)合分布列為YX0100.10.1510.250.220.150.156由此得Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=(負相關(guān))最后得E(X+Y)=Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)=8.設隨機變量（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為實求E(Y/X).9.設 是獨立同分布的隨機變量,其共同的密度函數(shù)為試求 的密度函數(shù)、數(shù)學期望和方差.7所以當 時，Y的密度函數(shù)是這是貝塔分布Be(10,1),由此得10．系統(tǒng)有n個部件組成，記為第i個部件能持續(xù)工作的時間，如果獨立同分布，且 ，試在以下情況下求系統(tǒng)持續(xù)工作的平均時間：（1）如果有一個部件在工作，系統(tǒng)就不工作了；（2）如果至少有一個部件在工作，系統(tǒng)就工作。解因為，所以的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

(1)根據(jù)題意，系統(tǒng)持續(xù)工作的時間為 所以當時，T的密度函數(shù) 而當t>0時8這是參數(shù)為的指數(shù)分布,所以(2)根據(jù)題意,系統(tǒng)持續(xù)工作的時間為,所以,當t>0時,所以系統(tǒng)持續(xù)工作的平均時間為

911.郵局里有A、B、C三個顧客,假定郵局對每個顧客的服務時間服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,對A和B立即開始服務,在對A或B結(jié)束服務后開始對C服務,對A、B兩人服務所需的時間是獨立的,求C在郵局中(1)等待時間的數(shù)學期望;(2)逗留時間的數(shù)學期望.解記 分別為郵局對A、B、C三個顧客的服務時間.(1)因為C在郵局中的等待時間為 ,所以由上題知,.(2)因為C在郵局的逗留時間為 ,所以有12.設X,Y獨立同分布,都服從標準正態(tài)分布N(0,1),求E[max(X,Y)].解因為X,Y獨立,都服從N(0,1),所以 ,又因為由于 ,所以1013.設隨機變量相互獨立,切都服從(0,θ)上的均勻分布,記試求E(Y)和E(Z)解記的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為則當0<t<θ時,Y與Z的密度函數(shù)分別為所以14.設隨機變量U服從(-2,2)上的均勻分布,定義X和Y如下:

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解先求X+Y的分布列.因為X+Y的可能取值是-2,0,2.所以綜上可得X+Y的分布列X+Y-202P1/41/21/4次分布對稱,所以E(X+Y)=0,從而得Var(X+Y)=15.一商店經(jīng)銷某種商品,每周進貨量X與顧客對該商品的需求量Y是相互獨立的隨機變量,且都服從區(qū)間(10,20)上的均勻分布.商店每售出一單位商品可得利潤1000元;若需求量超過了進貨量,則可從其他商店調(diào)劑供應,這時每商品利潤為500元.試求此商店經(jīng)銷該種商品每周的平均利潤.12解記Z為此商店經(jīng)銷該種商品每周所得的利潤,由題設知Z=g(X,Y),其中

由題設條件知(X,Y)的聯(lián)合概率密度為于是

16.設隨機變量X與Y獨立，都服從正態(tài)分布，試證證記則與獨立，都服從N(0,1)分布，所以由前面的第12題知，又因為由此得13.17.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布列為X Y-10100.070.180.1510.080.320.20試求01P0.40.601P0.50.5的協(xié)方差0.280.72P10所以得由此得18.把一顆骰子獨立地擲n次,求1點出現(xiàn)的次數(shù)與6點出現(xiàn)次數(shù)的協(xié)