線性方程組和非線性方程組的迭代法

線性方程組和非線性方程組的迭代法第1頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六2定義:是一個向量,是一個實值函數(shù),記為如果這個函數(shù)滿足下列三條:范數(shù)是絕對值概念的一種推廣則稱為的范數(shù),上述三個條件又稱范數(shù)公理.三種常用的向量范數(shù):

第2頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六3定理:定義:A是n階方陣,是A的一個非負實值函數(shù),記為則稱為的范數(shù).三種常用的矩陣范數(shù):

如果滿足下列范數(shù)公理稱列范數(shù)稱行范數(shù)第3頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六4定義:A是n階方陣,x是n維列向量，如果滿足則稱這種矩陣范數(shù)和向量范數(shù)是相容的。這樣的矩陣范數(shù)稱為矩陣的自然范數(shù)。上述三種常用的矩陣范數(shù)都是自然范數(shù)。

定義:A是n階方陣，A的特征值為：稱為A的譜半徑。定理：對任意方陣A必有第4頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六5第二節(jié)迭代法的基本概念和收斂條件

線性方程組的迭代法的基本思想與第二章單個方程的迭代法類似首先將f(x)=Ax–b=0轉化為等價的方程組x=Bx+d，這里B是一個常數(shù)矩陣，稱為迭代矩陣，x是一個常向量。對于給定的初始向量，由迭代格式：定義1(初等變換)就可以構造出一個向量序列使之收斂于方程組的精確解。線性方程組迭代法的收斂定理：定理:對于方程組x=Bx+d,如果則有以下結論:該方程組有唯一解;對于任意給定的初始向量,由上述迭代格式構造的向量序列收斂于方程的精確解;有誤差估計式:第5頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六6注意：這個定理的條件是收斂的充分條件,不是充要條件.

與單個方程的結論類似越小,收斂越快.矩陣的等價定理:由上述迭代格式構造的序列收斂的同理,越小,收斂越快.充要條件第6頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六7第三節(jié)解線性方程組的迭代法取初值:行最簡形,標準形,等價類一Jacobi迭代法先看一個例子:第7頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六8由此可得到Jacobi迭代法:行最簡形,標準形,等價類

Jacobi迭代法的一般形式在實際計算時常常采用其分量形式:第8頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六9二,初等矩陣定義4(初等矩陣)由上述迭代矩陣的結構可以看出,對于Jacobi迭代的收斂問題有比較簡單的判別法:如果方程組的系數(shù)矩陣A是嚴格主對角占優(yōu)的,則Jacobi迭代法對于任意的初始向量都是收斂的.這個條件等價于

第9頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六10取初值:行最簡形,標準形,等價類二Gauss-Seidel迭代法把Jacobi迭代稍做改進得:Gauss-Seidel迭代法是充分利用了有效信息,以改善計算效果Jacobi迭代需要兩套儲存單元,而G-S迭代只需一套儲存單元.第10頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六11行最簡形,標準形,等價類

G-S迭代法的一般形式其分量形式:第11頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六12

對于G-S迭代的收斂問題也有比較簡單的判別法:

如果方程組的系數(shù)矩陣A是嚴格主對角占優(yōu)的,則G-S迭代法對于任意的初始向量都是收斂的.如果方程組的系數(shù)矩陣正定,則G-S迭代法對于任意的初始向量都是收斂的.注意:上述條件都是收斂的充分條件第12頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六13行最簡形,標準形,等價類三松弛迭代法這是在G-S迭代基礎上的一種加速方法,它分為迭代和加速兩個過程迭代:加速:第13頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六14

第四節(jié)解非線性方程組的迭代法一一般迭代法與單個非線性方程迭代法類似,先化為等價的方程組第14頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六15

由此就可以建立一個迭代格式:一般迭代法的收斂條件與單個方程迭代法的收斂條件很類似稱為迭代向量函數(shù)第15頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六16Th1定理

設D是n維空間的一個連通區(qū)域,若迭代向量函數(shù)g(x)滿足:

(1)

(2)g(x)的所有一階偏導數(shù)在D上連續(xù),且一階偏導數(shù)矩陣的范數(shù)小于1,即:則對于任意給定的D中的初始向量,該迭代法都收斂于方程組的精確解.且范數(shù)越小收斂越快.第16頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六17Th5及推論二Seidel迭代法

Seidel迭代法是一般迭代法的一種改進,其迭代格式為:一般地第17頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六18利用初等變換求逆矩陣第五節(jié)矩陣的條件數(shù)和病態(tài)方程組的處理第18頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六19例由此可見方程組的系數(shù)矩陣或常數(shù)向量有很小的誤差時,有可能引起解的很大誤差,因此需要討論它們之間的關系.設理論方程為Ax=b,若A是精確的,b有一個偏差方程成為第19頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六20利用初等變換求A-1B若b是精確的,A有一個偏差方程成為定義:A是n階方陣,正實數(shù)稱為A的條件數(shù),記為cond(A)當條件數(shù)很大時,稱這個方程組病態(tài),否則稱良態(tài).條件數(shù)與范數(shù)有關,但只有量的關系,沒有質的關系.對于病態(tài)方程組的處理:加大字長,減少舍入誤差;改善算法.第20頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六21利用初等變換求CA-1迭代改善算法:設是方程組Ax=b的一個近似解