數(shù)值分析第五(清華大學(xué)出社)第二重積分的計(jì)算

一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分且在D上連續(xù)時(shí),由曲頂柱體體積的計(jì)算可知,若D為X–型區(qū)域則若D為Y–型區(qū)域則現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六當(dāng)被積函數(shù)均非負(fù)在D上變號(hào)時(shí),因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于現(xiàn)在是2頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六說(shuō)明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計(jì)算方便,可選擇積分序,必要時(shí)還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則現(xiàn)在是3頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六例1.

計(jì)算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.將D看作X–型區(qū)域,則解法2.將D看作Y–型區(qū)域,

則現(xiàn)在是4頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六例2.計(jì)算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計(jì)算簡(jiǎn)便,先對(duì)x后對(duì)y積分,及直線則現(xiàn)在是5頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六例3.計(jì)算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對(duì)x積分不行,說(shuō)明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.現(xiàn)在是6頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六例4.交換下列積分順序解:積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則現(xiàn)在是7頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六例5.計(jì)算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,現(xiàn)在是8頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六對(duì)應(yīng)有二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點(diǎn)及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為現(xiàn)在是9頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六即現(xiàn)在是10頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六設(shè)則特別,對(duì)現(xiàn)在是11頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六若f≡1則可求得D的面積思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點(diǎn),試答:問(wèn)的變化范圍是什么?(1)(2)現(xiàn)在是12頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六例6.計(jì)算其中解:在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無(wú)法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算.現(xiàn)在是13頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六注:利用例6可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式事實(shí)上,當(dāng)D為R2時(shí),利用例6的結(jié)果,得①故①式成立.現(xiàn)在是14頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六例7.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:設(shè)由對(duì)稱(chēng)性可知現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六定積分換元法*三、二重積分換元法

滿(mǎn)足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對(duì)應(yīng)的,現(xiàn)在是16頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六證:根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換T可逆.

用平行于坐標(biāo)軸的直線分割區(qū)域任取其中一個(gè)小矩形,其頂點(diǎn)為通過(guò)變換T,在xoy面上得到一個(gè)四邊形,其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為則現(xiàn)在是17頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六同理得當(dāng)h,k充分小時(shí),曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為現(xiàn)在是18頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式:例如,直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí),現(xiàn)在是19頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六例8.

計(jì)算其中D是x軸y軸和直線所圍成的閉域.解:令則現(xiàn)在是20頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六例9.計(jì)算由所圍成的閉區(qū)域D的面積S.解:令則現(xiàn)在是21頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六例10.

試計(jì)算橢球體解:由對(duì)稱(chēng)性令則D的原象為的體積V.現(xiàn)在是22頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域?yàn)閯t

若積分區(qū)域?yàn)閯t現(xiàn)在是23頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六則(2)一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)樵谧儞Q下現(xiàn)在是24頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六(3)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)?畫(huà)出積分域?選擇坐標(biāo)系?確定積分序?寫(xiě)出積分限?計(jì)算要簡(jiǎn)便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對(duì)稱(chēng)性應(yīng)用換元公式現(xiàn)在是25頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六思考與練習(xí)1.設(shè)且求提示:交換積分順序后,x,y互換現(xiàn)在是26頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六2.交換積分順序提示:積分域如圖現(xiàn)在是27頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期六作業(yè)P951(2),(4);2(3),(4);5;6(2),(4);

11(2),(4);13(3),(4);14(2),(3);

15(1),(4);

*19(1);

*20(2)