淺談分類(lèi)研究方法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 論文

淺談分類(lèi)研究方法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用姓名周鵬飛

學(xué)段初中

學(xué)科數(shù)學(xué)

日期2022年7月2日目錄摘要：.................................................................................................................................1第一章：前言......................................................................................................................21.什么是分類(lèi)討論思想.................................................................................................22.中學(xué)生為什么要學(xué)習(xí)分類(lèi)討論思想...........................................................................2第二章：滲透分類(lèi)思維,培養(yǎng)分類(lèi)意識(shí).................................................................................3第三章：掌握分析方式,提升邏輯思維的縝密性...................................................................41、 根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進(jìn)行分類(lèi)..................................................................................42、按照數(shù)學(xué)的規(guī)律、性質(zhì)及特殊的規(guī)則加以劃分.......................................................53、根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)..............................................................54、從幾何圖形的點(diǎn)和線(xiàn)出現(xiàn)不同的位置進(jìn)行分類(lèi).......................................................6第四章：引導(dǎo)分類(lèi)討論，提高合理解題的能力...................................................................8結(jié)論........................................................................................................................10參考文獻(xiàn)...........................................................................................................................10淺談分類(lèi)討論方法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用摘要：中學(xué)階段的學(xué)習(xí)是學(xué)生思維習(xí)慣形成的主要組成時(shí)間段,同時(shí)也是小學(xué)到初中思維轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵之一!在初中數(shù)學(xué)課程中,通過(guò)分類(lèi)討論思維便形成了一種很重要的數(shù)學(xué)思維,同時(shí)也是一種非常重要的培養(yǎng)學(xué)生邏輯的思維方法。分類(lèi)研究的思路,貫徹在所有初中數(shù)學(xué)的全部?jī)?nèi)容中,它有著極其重要的地位。在初中的許多課程中都要使用分類(lèi)討論思想,它主要可以概括為:①在求解的問(wèn)題中,很多結(jié)論都會(huì)存在以下幾種情形或各種可能性;②在數(shù)學(xué)概念課程中,是根據(jù)需要而將其分類(lèi)并加以定義而得到的;③在部分的數(shù)學(xué)題目中如果出現(xiàn)了含參的變數(shù),那么根據(jù)不同的變數(shù)取值會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果的;④在使用數(shù)學(xué)公式,定理中的計(jì)算規(guī)律及其性質(zhì)時(shí)是必須經(jīng)過(guò)分類(lèi)來(lái)進(jìn)行的。由于分類(lèi)論證的使用,在許多時(shí)候能夠使得我們將較繁雜的題目簡(jiǎn)單化,因此采用分類(lèi)論證,一方面能夠培養(yǎng)學(xué)生思考的邏輯性,嚴(yán)謹(jǐn)性,嚴(yán)謹(jǐn)性,同時(shí)也能夠鼓勵(lì)他們繼續(xù)探求數(shù)理規(guī)律,從而增強(qiáng)探究問(wèn)題的能力。關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；分類(lèi)討論；思想方法12第一章：前言1.什么是分類(lèi)討論思想人們通常在研討數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),會(huì)產(chǎn)生不同的思維方向,不同的情景與結(jié)果,并把各種情景加以分門(mén)別類(lèi)研究討論的思路,統(tǒng)一成為分類(lèi)研討思路。它實(shí)際上是一個(gè)重要的邏輯劃分思路!同時(shí)也是一種重要額數(shù)學(xué)策略和方法！分類(lèi)的思考方式帶有強(qiáng)烈的綜合性和專(zhuān)業(yè)性特點(diǎn),它的使用能夠幫助他們提高邏輯方式思考的縝密性,嚴(yán)密,邏輯性,科學(xué)化,更主要的是能夠提高他們對(duì)去探究知識(shí)的好奇心。因此，分類(lèi)討論思想在整個(gè)初中數(shù)學(xué)的求解中有著很重要的地位！2.中學(xué)生為什么要學(xué)習(xí)分類(lèi)討論思想人的年齡發(fā)展到了一定程度的時(shí)候,對(duì)邏輯思維的鍛煉也就顯得尤為重要和有著重要的意義,因?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)的所有概念,規(guī)律和公式等都并非憑空而來(lái)的,是在訓(xùn)練初中學(xué)生邏輯思維體系下加以延伸的,所以,針對(duì)這種數(shù)理特征,就確定了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)必須具備較強(qiáng)的邏輯推理,所以要使學(xué)生在初高中都能構(gòu)建起一種完整的數(shù)理邏輯思維系統(tǒng)和適應(yīng)掌握初高中數(shù)理的任務(wù),掌握分類(lèi)思維也就顯得尤為重要!初中教學(xué)中，在解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，由于一些問(wèn)題的結(jié)論不能直接得到以及因?yàn)椴淮_定的因素從而無(wú)法解答。我們可以通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分類(lèi)，細(xì)致的討論來(lái)克服思維的片面性，局限性，從而使較為復(fù)雜的問(wèn)題得到清晰，完整，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕獯穑?第二章：滲透分類(lèi)思維,培養(yǎng)分類(lèi)意識(shí)在生活中人們往往會(huì)出現(xiàn)許許多多的分類(lèi)問(wèn)題:比如在上學(xué)中各科教材以及學(xué)習(xí)用品的劃分,家里的生活用品和垃圾的劃分等等。學(xué)生在這一基本認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上,把日常生活中的分類(lèi)思維轉(zhuǎn)移到數(shù)學(xué)練習(xí)中,以便于進(jìn)一步滲透和鞏固對(duì)數(shù)學(xué)的分類(lèi)思維,達(dá)到對(duì)知識(shí)的鞏固和加強(qiáng)的能力。如滬科版數(shù)學(xué)七上第七章教材中安排的第一章中:有理數(shù)的種類(lèi),以及絕對(duì)值的含義,滬科版數(shù)學(xué)七下教材中安排的第六章實(shí)數(shù)中平方根教學(xué),以及第八章不等式的性質(zhì)教學(xué)等,都是教師們用來(lái)對(duì)學(xué)生進(jìn)一步滲透分類(lèi)觀念的很好機(jī)會(huì)。 1、在掌握了正負(fù)號(hào)、有理數(shù)的定義之后,老師可及時(shí)指導(dǎo)學(xué)生對(duì)有理數(shù)加以劃分,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到對(duì)不同的標(biāo)準(zhǔn),對(duì)于有理數(shù)有不同的劃分方式。如按照有理數(shù)的性質(zhì)可分為：

正有理數(shù)有理數(shù) 負(fù)有理數(shù)零如按照有理數(shù)的構(gòu)成可分為：

整數(shù)

有理數(shù)4分?jǐn)?shù)在滬科版七上數(shù)學(xué)課本對(duì)第一章知識(shí)點(diǎn)的編排教學(xué)中,很直觀的使剛步入初一的學(xué)生體會(huì)到了分類(lèi)討論思維的奇妙魅力,同時(shí)也提高了學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,為后期在新數(shù)學(xué)課程中進(jìn)一步強(qiáng)化對(duì)分類(lèi)討論思維的滲透,打下了基礎(chǔ)。2、在解釋絕對(duì)值的含義時(shí),可以指導(dǎo)學(xué)生作出下列分析:0(a=0)|a| a(a>0) -a(a<0)

3、在學(xué)習(xí)完用字母表示數(shù)之后，老師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)-a進(jìn)行討論，如： 正數(shù)（a>0）-a 0（a=0）負(fù)數(shù)（a<0）通過(guò)分類(lèi)討論可見(jiàn)，當(dāng)字母a不確定的情況下，數(shù)-a不一定就是學(xué)生們常規(guī)思維所理解的負(fù)數(shù)。它有可能是正數(shù)或者是0。 4、在進(jìn)行幾何初步教學(xué)中，學(xué)習(xí)完線(xiàn)段和角平分線(xiàn)后，學(xué)生應(yīng)明白線(xiàn)段的 整數(shù)

雙中點(diǎn)和角的雙角平分線(xiàn)的位置是需要進(jìn)行討論的，這更進(jìn)一步體現(xiàn)了分類(lèi)討論思想在解決數(shù)學(xué)題目時(shí)的重要性!以上在對(duì)七年級(jí)有理數(shù)的教學(xué)內(nèi)容中，讓學(xué)生感受到簡(jiǎn)單的分類(lèi)思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的必要性，同時(shí)也讓學(xué)生了解到對(duì)問(wèn)題的思考不能夠片面，應(yīng)從不同的角度和方向去理解。在對(duì)線(xiàn)段雙中點(diǎn)和角的雙角平分線(xiàn)進(jìn)行分類(lèi)求解過(guò)程5中，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)分類(lèi)討論在實(shí)際應(yīng)用中的不可替代性！也將為后期進(jìn)一步鞏固和強(qiáng)化分類(lèi)討論思想在學(xué)生腦海中的認(rèn)知。第三章：掌握分析方式,提高邏輯思維的縝密性在通過(guò)對(duì)學(xué)生有了簡(jiǎn)單的分類(lèi)思想滲透之后，教師應(yīng)讓學(xué)生掌握系統(tǒng)的分類(lèi)方法，即根據(jù)不同題型所體現(xiàn)的分類(lèi)討論方法加以細(xì)致的講解和鞏固。那么如何不反復(fù)、不遺漏的選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，從母類(lèi)到子類(lèi)，將問(wèn)題討論的徹底，這就成為現(xiàn)在急需要解決的一個(gè)事情。因此，讓學(xué)生掌握科學(xué)，合理的分類(lèi)討論方法，就成為了中學(xué)生遇到需要討論的問(wèn)題時(shí)解決它的關(guān)鍵！在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，常見(jiàn)分類(lèi)討論方法以下幾種：1、根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進(jìn)行分類(lèi)

如在以上提到的有理數(shù)的分類(lèi)，按照不同的思考方向出發(fā)可以看到有理數(shù)可以不同形式分類(lèi)，但是都屬于有理數(shù)。2、按照數(shù)學(xué)的規(guī)律、性質(zhì)及特殊的規(guī)則加以劃分例1、解關(guān)于x的不等式:mx-1>4x+5 分析:通過(guò)移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng),可使不等式變成(m-4)x>6的形式,但此時(shí)由于m-4的正負(fù)性質(zhì)并不明確,所以必須先對(duì)式子m-4進(jìn)行分析討論: 6

①當(dāng)m-4>0時(shí)，解得x> ;

m?4②當(dāng)m-4=0時(shí)，不等式無(wú)解；

6

③當(dāng)m-4<0時(shí)，解得x<

m?4

以上例題就是在不等式性質(zhì)的應(yīng)用時(shí)分類(lèi)討論的一個(gè)典型案例。3、根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)（1）在滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)教材中，系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了三角形的分類(lèi)。如三角形按角分類(lèi)：銳角三角形6三角形直角三角形鈍角三角形如三角形按邊長(zhǎng)關(guān)系分類(lèi)：不等邊三角形三角形等腰三角形（等邊三角形是等腰三角形的特例）（2）在滬科版9年級(jí)數(shù)學(xué)課本中,當(dāng)掌握了直線(xiàn)與圓的關(guān)系后,再進(jìn)行對(duì)直線(xiàn)和圓的交集數(shù)量的探討時(shí),可將其分為：

①當(dāng)直線(xiàn)與圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0時(shí)，直線(xiàn)與圓相離；

②當(dāng)直線(xiàn)與圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1時(shí)，直線(xiàn)與圓切；

③當(dāng)直線(xiàn)與圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2時(shí)，直線(xiàn)與圓相交。7例2、在△ABC中,AB=AC,而DB則是△ABC的中線(xiàn),且BD把△ABC邊長(zhǎng)分成12cm和15cm兩個(gè)部分,所求的三角形為各邊長(zhǎng)。分析:此題是在三角形應(yīng)用中的一道典型例題，在不確定BD將△ABC周長(zhǎng)分成的12cm與15cm具體是指哪兩個(gè)部分時(shí)，此時(shí)需要進(jìn)行細(xì)致討論: 解：如圖，∵DB為△ABC的中線(xiàn)，

∴AD=CD，設(shè)AD=CD=x，則AB=2x，

當(dāng)x+2x=12，解得x=4.BC+x=15，得BC=11.此時(shí)△ABC的三邊長(zhǎng)為AB=AC=8，BC=11；

當(dāng)x+2x=15，BC+x=12，解得x=5，BC=7，

此時(shí)△ABC的三邊長(zhǎng)為AB=AC=10，BC=7．4、從幾何圖形的點(diǎn)和線(xiàn)出現(xiàn)不同的位置進(jìn)行分類(lèi)在滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)課本中,當(dāng)學(xué)生們掌握了一條十分關(guān)鍵的基本定理即圓周角定理之后,我們就知道由于畫(huà)圓的實(shí)際情況不同,所討論的周角也不同:圓可能就在周角的最內(nèi)側(cè),角的外部或者在角的邊上，如下圖：8圓心O在∠BAC圓心O在∠BAC圓心O在∠BAC的一邊上的內(nèi)部的外部下面給出具體的三種情況下圓周角定理的證明：①圓中心O在∠BAC的一邊上（特殊情形）：OA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A+∠C∠BAC=12∠BOC②圓心O在∠BAC的內(nèi)部：AO∠BAD=12∠BODB C∠CAD=12∠COD∠BAC=12∠BOCD ∠BOC=∠BOD+∠COD③圓心O在∠BAC的外部：BOCOBCA∠DAC=12∠DOC∠DAB=12∠DOB∠BAC=12∠D∠BAC=∠DAC-∠DAB9第四章：引導(dǎo)分類(lèi)討論，提高合理解題的能力

在初中數(shù)學(xué)的教材中，你會(huì)發(fā)現(xiàn)有很多的法則和公式，以及定理和習(xí)題等都涉及到分類(lèi)討論，老師在講解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)在新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念下，不斷地滲透學(xué)生養(yǎng)成分類(lèi)討論的思想意識(shí)。要讓學(xué)生清楚的了解和意識(shí)到解決這類(lèi)問(wèn)題是需要通過(guò)分類(lèi)討論，并經(jīng)過(guò)邏輯推理來(lái)才能得到全面的答案！學(xué)生如果對(duì)此類(lèi)問(wèn)題不進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠懻摚瑒t很容易因此失分和出錯(cuò)。通過(guò)老師的不斷滲透，易讓學(xué)生養(yǎng)成遇到問(wèn)題需要總結(jié)和概括的好習(xí)慣，以此來(lái)加強(qiáng)學(xué)生的思維縝密性和條理性以及嚴(yán)謹(jǐn)性。而在初等數(shù)學(xué)的課程中,要運(yùn)用分類(lèi)討論思路和方式來(lái)處理的數(shù)學(xué)問(wèn)題一般可分為二大類(lèi)：一、在處理代數(shù)式、微分方程和函數(shù)等問(wèn)題時(shí),可能會(huì)由于字母的取值不同,得出結(jié)論也有所不同,所以必須加以區(qū)分討論；二、在幾何教學(xué)中，幾何圖形的點(diǎn)，線(xiàn)等基本構(gòu)成元素位置的不同，從而需要分類(lèi)討論才能得到結(jié)果。例3、已知一函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=(a-2)x2+x-1.若該函數(shù)的圖象和x軸上有一交集,則yo x求a的取值. 分析：這里要把對(duì)函數(shù)中的待定字母進(jìn)行分析討論，分a-2=0和a-2≠0兩個(gè)情況下來(lái)研究,并以此方法來(lái)解題。解：①當(dāng)a-2=0，即a=2時(shí)，此參數(shù)是一個(gè)參數(shù)，函數(shù)y=x-1，函數(shù)圖像是一條直線(xiàn)，它與x軸則永遠(yuǎn)只有一個(gè)交點(diǎn)(1，0)。 ②當(dāng)a-2≠0，即a≠2時(shí)，此函數(shù)就是二次函數(shù)y=(a-2)x2+x-1,函數(shù)圖像 7 1

是一條拋物線(xiàn)，則當(dāng)△=1+4(a-2)=0,解得a=.此時(shí)拋物線(xiàn)y=- 4 4x2+x-1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，也是它的頂點(diǎn)(2，0)。10例4、在?ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC的一邊作等邊三角形ACD，連線(xiàn)BD，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出?BCD的面積。（圖①）1 1 1（1）如圖①:S?ABC=AB·AC·sin∠BAC=×4×4×=42 2 21 1S?ACD=AC·AD·sin∠DAC=×4×4× 3/2=4 32 21 1S?ABD=AB·AD=×4×4=82 2S?BCD=S?ABC+S?ACD-S?ABD=4+4 3-8=4 3-4(2)（圖②）如圖②:因?yàn)锳D=AC，AB=AB，∠DAB=∠BAC=3