大連理工大學(xué)矩陣第二章(矩陣變換和計算)

第二章矩陣變換和計算一、內(nèi)容提要本章以矩陣的各種分解變換為主要內(nèi)容，介紹數(shù)值線性代數(shù)中的兩個基本問題：線性.要求掌握列主元）消去法、矩陣的（帶列主元的LU分解、平方根法、追趕法、條件數(shù)與誤差分析、QRShur分解、Jordan分解和奇異值分解.(一)矩陣的三角分解及其應(yīng)用1．矩陣的三角分解及其應(yīng)用nAxbDL和上三角矩陣U，這時方程的求解將會變得簡單.d l 1 11 d l l

u

u u 21 n1u u D 2

, L21 22

,U 22

n2. ld ld nn1n

l l n2 nn

unn對于Dxb，可得解為x b/d,i1,2, ,n.i i i對于Lxb，可得解為x b/l ,x (b i1l x )/l ,i2,3, ,n.1 1 11 i i ik k iik1對于Uxb，可得解為x b /l ,x (b n n nn i i

l x )/l ,inn2, .ik k iiki1較為普適的方法是對矩陣進(jìn)行三角分解.．Gauss消去法只通過一系列的初等行變換將增廣矩陣A|b)化成上三角矩陣(U|c)，然后通過回代AxbUxc的解．其中第kk1的矩陣A(k1)的主對角元素a(k1)稱為主元.從A(k1)的第j行減去第k行的倍數(shù)lkk （kjn）稱為行乘數(shù)（子）.

a(k1) jk a(k1)kk．矩陣A的LU分解nAn階單位下三角矩陣Ln階上三角矩陣UALU,則ALUDoolittle分解消去法對應(yīng)的矩陣形式即為LU分解,其中L為所有行乘子組成的單位下三角矩陣,U為Gauss消去法結(jié)束后得到的上三角矩Lyb陣.原方程組Axb分解為兩個三角形方程組 .Uxy．矩陣LU分解的的存在和唯一性nADk12,,n)均不為零,則必有單位下三角矩kL和上三角矩陣UALU,而且L和U是唯一存在的．．Gauss列主元消去法矩陣每一列主對角元以下（含主對角元）的元素中,絕對值最大的數(shù)稱為列主元.0作分母，在消元過程中，每一步都按列選主元的Guass消去法稱為Gauss1了出現(xiàn)大的行乘子而引起的有效數(shù)字的損失.．帶列主元的LU分解Gauss列主元消去法對應(yīng)的矩陣形式即為帶列主元的LU分解,選主元的過程即為矩陣的行置換.,對任意nAPL和上三角矩陣UPALU,P也是不唯一的.原方程組LyPbAxb兩邊同時乘以矩陣P得到PAx Pb,再分解為兩個三角形方程組 .Uxy．平方根法(對稱矩陣的Cholesky分解)nALALLT，稱其為對稱正定矩陣A的Cholesky分解.進(jìn)一步地,如果規(guī)定L的對角元為正數(shù)，則L是唯一確定的．原方程Lyb組Axb分解為兩個三角形方程組 .LTxy利用矩陣乘法規(guī)則和L的下三角結(jié)構(gòu)可得l ajj

1j1 2 l2 jkk1

l aij

j1k

l lik

/l

,i=j+1,j+2,…,n,j=1,2,…,n.ajj 計算次序為l ,l , ,l ,l ,l , ,l , ,l ．由于ajj 11 21 n1 22 32 n2 nn jk

，k=1,2,…,j．因此在分解過程中L的元素的數(shù)量級不會增長，故平方根法通常是數(shù)值穩(wěn)定的，不必選主元．．求解三對角矩陣的追趕法b c 1 1 a b c 2 2 2 A

an1

bn1

,它的LU分解可以得到兩個只有兩條對n1a bn n角元素非零的三角形矩陣12l 12

u d 1 1 u d L l 3 1

, U

2 2 un1

.n1l 1 un nd c i

,i1,2,,n1其中 li

b1 1a /i

i

,i2,3,,nui

b li

ci

,i2,3,,n計算次序是u l u l u l u .原方程組Axb分解為兩個三1 2 2 3 3 n nLyb角形方程組Ux

.計算公式為y b 1 1

y b ly ,i2,3, ,n,i i i i1x y /un n

,x (y cx )/u,in1,n2, .i i i i1 i該計算公式稱為求解三對角形方程組的追趕法．當(dāng)AAxb追趕法求解,解存在唯一且數(shù)值穩(wěn)定．．矩陣的條件數(shù)A

為矩陣的算子范數(shù)，稱cond(A)A A1 為矩陣A的條件數(shù)Axb,A或b的元素發(fā)生微小變化，引起方程組解的變化的定量描述,因此是刻畫矩陣和方程組性態(tài)的量.,矩陣和方程組越為病態(tài)反之越小為良態(tài).常用的矩陣條件數(shù)為條件數(shù): cond (A)A

A1，條件數(shù):

(A)A1

A1，1條件數(shù):

(A)A2

A12

． (AHA)max (AHA)矩陣的條件數(shù)具有如下的性質(zhì)：cond(A)1;cond(A)cond(A1);(3) condA)cond(A)，0，R;如果U為正交矩陣，則

(U)1，2

(UA)2

(AU)cond2

(A).2一般情況下，系數(shù)矩陣和右端項的擾動對解的影響為δAAδbb定理2.5設(shè)Axb，A為非奇異矩陣，b為非零向量且A和b均有擾動．若A的擾動δA非常小,使得A1 1，則δAAδbbδxxA1cond(δxxA1cond(A)A

( ).關(guān)于近似解的余量與它的相對誤差間的關(guān)系有定理2.6設(shè)Axb，A為非奇異矩陣，b為非零向量，則方程組近似解x的事后估計式為1cond(A)bA~xb~1cond(A)bA~xb~xxxbA~xbAx其中稱bAx

~

x的余量，簡稱余量。x．矩陣的QR分解利用正交變換保條件數(shù)的性質(zhì),將滿秩矩陣化為主對角元都大于零的上三角矩陣,保持矩陣條件數(shù)不變.An,則存在正交陣Q和對角元都大于零的上三角陣R，使得AQR,A的QR分解,并且

(A)2

(R).22為實現(xiàn)矩陣一般的QR分解，我們引入HouseholderH(ω)IωRnω0.該矩陣具有如下性質(zhì)：

ωω其中ωω2 2（1）特征值為：(H())1 (T) 即 T1,1；T

T

n1個H(ωH(ω,H陣為對稱陣；H(ω)H(ωI H陣為正交陣；n如果H(ω)xy，則yx2 2

(不變長度，鏡面反射)；（5）設(shè)x(x,x, ,x)1 2 n

Rn且x0，取ωxxe，則21（6）H(ω)xH(xx2

e)x1

x 2 0 0 0

xe.21提示：Householder變換并不是直接變換n階矩陣A,而是通過重復(fù)變換矩陣的下三角部分的列向量得到上三角矩陣, 因此, 每次變換的Householder 矩H(ω),H(ω ),H(ω )在逐漸降階,然后將它們分別嵌入”n階單位矩陣得到相應(yīng)的1 2 n-1 n階正交陣Q ,Q , ,Q ,最后得到正交陣QQ ,Q , ,Q .具體變換過程見例 1 2 n-1 1 2 n-1(二)特殊矩陣的特征系統(tǒng)特征系統(tǒng)即為矩陣的特征值和特征向量,Schur分解.陣變換的思想主要為兩點(diǎn):一是三角矩陣的主對角元素即為其所有特征值,多項式和特征值在相似變換下是不變的.因此,理論上獲得矩陣特征值的方法就是通過相似變換將其變?yōu)橐粋€三角矩陣.Schur

定理: 設(shè) ACnn ，則存在酉陣UCnn 使得AURUHRCnn為上三角矩陣．由于實矩陣的特征值可能是復(fù)數(shù),因此通常在復(fù)數(shù)域中考慮Schur分解.復(fù)數(shù)域中相應(yīng)的矩陣名稱及記號為:U的共軛轉(zhuǎn)置:UHUT,它在實數(shù)域即為轉(zhuǎn)置矩陣.U為酉陣:若UHUUUHI,它在實數(shù)域即為正交陣.A為正規(guī)矩陣:若AHAAAH.常見的Hermite陣（AHA、實對稱矩陣（ATAHermite （AA、實反對稱矩陣（ATA（AHAAAHI）和正交矩陣（ATAAATI）等均為正規(guī)矩陣．Schur分解的一些特殊情況如下:RR為對角矩陣.n階方陣A為正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)存在酉陣U使得AUDU H,D為n階對角陣.nAHermiteUA

HDn階實.n階方陣A為酉陣當(dāng)且僅當(dāng)存在酉陣U使得AUDU

,D為n階對角陣,且對角元的模均為1.(三)矩陣的Jordan分解介紹矩陣的每一個特征值有兩個重要的指標(biāo):代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù).一個特征值作為矩陣多項式的根個重數(shù)稱為代數(shù)重數(shù);它對應(yīng)的特征子空間的維數(shù)稱為幾何重數(shù).它們分別刻畫了特征值在矩陣特征系統(tǒng)中的代數(shù)和幾何的性質(zhì).一般有,代數(shù)重數(shù)幾何重數(shù).當(dāng)一個特征值的代數(shù)重數(shù)幾何重數(shù),稱它為半單的;而當(dāng)代數(shù)重數(shù)幾何重數(shù)時稱它為虧損的.nA可對角化當(dāng)且僅當(dāng)它的所有特征值都是半單的,A為單純矩陣;則,A不可對角化當(dāng)且僅當(dāng)它有虧損的特征值,A為虧損矩陣.對于虧損矩陣,,即為其Jordan標(biāo)準(zhǔn)型.Jordan,的JordanT化為與之相似的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型J,使得ATJT1.關(guān)于Jordan標(biāo)準(zhǔn)型Ji

,它的代數(shù)重復(fù)度就是Jordan標(biāo)準(zhǔn)型中以為i特征值的Jordan塊階數(shù)的和，而其幾何重復(fù)度（即與i

相對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)）恰為以i

JordanJ中以i

為特征值、階數(shù)為lJordan塊的個

l1

rl1

2rl

,rl

rank(i

IA)l, r0

rank(i

IA)0

rank(I)n．關(guān)于變換矩陣T可以通過Jordan鏈得到．將TJJordan塊相應(yīng)地分塊為T

,,

,其中T

型矩陣．記T

i,ti,,t

,則1 2 k i

i 1 2 ni Atiti Atti

1tiji 2 i2 1ji

tiCn, i1,2,,k, j1,2,,nAti ti ti n in n1i i i我們稱向量ti,ti,,ti為關(guān)于特征值的長度為n

的Jordan鏈．顯然該Jordan鏈的第1 2 n i iiA的關(guān)于特征值i由等價的方程

的特征向量，稱其為鏈?zhǔn)祝溨械牡趈個向量則可求出．但是應(yīng)當(dāng)注意:

AIi n

ij

ti ,j1

j2,3, ,ni

（2-45）Jordan鏈的鏈?zhǔn)譼i不僅要求是一個特征向量，而且還要求利用（2-45）可以求出1Jordan鏈中的其它向量ti,,ti

(即不是任何一個特征向量都可作為Jordan鏈的鏈?zhǔn)?.2對應(yīng)于某個特征值i

ni的Jordan鏈雖然一定存在，但當(dāng)與i

相對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)大于或等于2時，關(guān)于特征值i

的特征向量中的任何一個有可能都不能作為鏈?zhǔn)?因此我們必須從i

的特征子空間中選取適當(dāng)?shù)南蛄孔鳛镴ordan鏈的鏈?zhǔn)祝?四)矩陣的奇異值分解對于方陣,利用其特征值和特征向量可以刻畫矩陣的結(jié)構(gòu).對非方陣情形,這些方法已經(jīng)不適用.而推廣的特征值--矩陣的奇異值分解理論能改善這種情況.利用奇異值和奇異向量不僅可以刻畫矩陣的本身結(jié)構(gòu),而且還可以進(jìn)一步刻畫線代數(shù)方程組的解的結(jié)構(gòu),是構(gòu)造性的研究線代數(shù)問題的有利的工具.ACmn,HermiteAHA的特征值為0,稱非負(fù)實i1 2 i數(shù)Ai

i1,2n)A的奇異值．:設(shè)ACmn,且其秩rank(A)=r,則存在m階、n階酉陣U、V使得Σ 0AU H,其中Σdiag(,

,, )，

(i1,2r)A的非零奇異0 0

1 2 r i 值．U與V的列向量u,u, ,u 和v,v, ,v 分別稱為矩陣A的與奇異值 1 2 m 1 2 n i異向量和右奇異向量．利用矩陣的奇異值討論矩陣的性質(zhì):AA的秩． R(A)span{uu, ,u}, NA) span{v v , ,v}，其中ARmn 1 2 r r1 r2 nRA)yRm|Axy,xRnAA的值域或像空間即R(A)span{a,a, ,a}N(A){xR1 2 n核，即N(A){xAx0}。

|Ax0}A的零空間或設(shè)1

2

0，則A , A= ．2222AHermiteAA的特征值的絕對值．如果A為n階方陣，則det(A)

．nini1秩為r 的

m×n

矩陣A 可以表示為

r 個秩為1 的矩陣的和A

uv111

uv2 22

uvH.r r r ACnn為正規(guī)陣, 是A的特征值, x是相應(yīng)于的特征向量,則是AH的特值,相應(yīng)于的特征向量仍為x.ACnn為正規(guī)陣, ,是A的特征值, x,y是相應(yīng)的特征向量,如果,則xy正交.典型例題分析例1A(

i,j

)n

進(jìn)行Gauss消去法的過程中,主元a(k1)k,k

(k1,2,,n)均不為零的充要條件是A的各階順序主子式D (k1,2, ,n)均不為零.k證明利用歸納法,當(dāng)k1時, D1

a1,1

a0,結(jié)論顯然成立.k1成立,1,1則Gauss消去法可以進(jìn)行到k1步,即存在k1個Gauss變換L, ,L ,使得1 k1A(k1) A(k1)A(k1)L

LA

1,2 ,k1 1 0

A(k1) 2,2 Ak1)ai1)i1,2k1)的上三角陣,Ak1)的k階順序主子陣為1,1A(k1)

i,i* A(k1) 1,1

.另一方面,A(L

L1Ak1)kk列k 0

a(k1)

k1 1處分塊有

k,k

kk

L*

*0A(k1) **A(L

L)1A(k1)

k ,*k1 1*

L* * 2L*k階單位下三角陣.A的k階順序主子式1D det(L*)det(A(k1))det(A(k1))a(0)a(k1),k 1

k

k,k由歸納假設(shè)知,主元ak1)0Dk,k

0,即結(jié)論對k成立.故由歸納法,ak1)0k,k(k1,2,,n)當(dāng)且僅當(dāng)D 0(k1,2,,n).kk例2證明:若A(a ) 為可逆矩陣,則A可進(jìn)行LU分解的充要條件是A的各階順序i,j nn主子式D (k1,2, ,n)均不為零.k證明充分性.由例1結(jié)論知如果Dk

(k1,2, n)均不為零,則主元ak1)0,于是可k,kAGauss消去法,ALU分解.必要性.L和上三角陣UALU,則det(A)det(L)det(U)det(U)a(0)a(n1),1,1 n,n由A可逆知主元a(k1)0(k1,2, ,n), 再由例1 可得A的各階順序主子式k,kD 0(k1,2, ,n).k3,ALU分解,則分解必唯一.證明如果A存在兩個LU分解,ALU1 1

LU2

,其中L,L1 2

皆為單位下三角陣,U,U1

皆為上三角陣.AU2 1

也可逆,L1L2 2

U2

1.不難驗證,單1位下三角陣的逆矩陣為單位下三角陣,而上三角陣的逆也為上三角陣.進(jìn)一步,陣的乘積仍是單位下三角陣,而上三角陣的乘積也為上三角陣.三角陣,而右端為一個上三角陣.顯然,等式成立當(dāng)且僅當(dāng)兩端皆為單位矩陣L1L2

U2

1I,故可得L1

L,U2

U ,即分解唯一.21 1 1 1 例4 n階Hilbert矩陣為Hn

12

n 1 1 3 n1,計算

的條件數(shù).3 1 1 1

1 1n n1 n

1 2n1 2 3

36

30 解H 13 2

1 1,3 4

H13

36

192

180.1 3

1 5

180 11H3

的條件數(shù), 容易得到H H31 3

, H16 3

H13

408 ,H 1.4083232

, H13

372.115

, 于是co )31

co )3

7 4 cond(H ) 524.057.同樣可計算cond(H ) 2.9107,cond(H ) 9.85108.3 2 6 7 當(dāng)n越大,

矩陣病態(tài)越嚴(yán)重.n11 13 47

x( , , )3 6 12 60

b設(shè)

和b有微小誤差（取3位有效數(shù)字）有31.000.500

0.5000.333

0.333x 0.250x

x1x

1.83 1.08，0.333

0.250

0.200

2xxx3

2 3 0.7833簡 記 為 (H3

H

)(xx)bb ， 其 解 為3(xx).089512538 ,0.487967062 .491002798 )

.而方程組H

xb的精確解為HH3x(1,1,1)T

. 于是x(0.0890.5120.491)T ,

0.181030.02% ,3bbb

512%.這就是說xx

和b的相對誤差不超過0.3%,而引起解3的相對誤差超過50%.例5 n階復(fù)Householder矩陣定義為H(ω)I2Hermite矩陣,也是酉矩陣,并求它的特征值.

H,其中ω2

1.證明H(ω)為證明H(ω)H(I2ωωH)HI2ωωHH(ω),H(ω)

H(ω)H(ω)H(ω)(I2ωωH)2

I4ωωH

4(ωωH)2

I , 即H(ω)為Hermite矩陣,也是酉矩陣.由矩陣特

征值的性質(zhì)知, (H(ω))12(ωωH) , 而(ωω

H)(ωHω),0,,01,0,,0,因此H(ω)的特征值為1,1,,1.n1個 n1個 n1個例6已知x(3,0,4)T,求Householder矩陣H,使得Ηxxe.2 13 5 2 解由x 5,取ωx x e 000,則2 2

4 0 4

553 0 4 551 02

0 2

0 8 H(ω)I ωωH0 1

0 0

0 00 1 0 ,5ωHω 5

20

4 30使得Ηxxe (5,0,0)T.2 1

0 1 8 0

16

0 557An階正規(guī)矩陣,Ak0,A0.證明根據(jù)Shur定,正規(guī)矩陣A存在分解AUDU H,其中U為n階酉陣, D為n階對 1角矩陣D

2k

, in

C,i1,2,,n.于是由A

UD

kU

1U

k 2 kn

H0, 當(dāng)且僅當(dāng)i

0, i1,2,n, 即A0.2 0 0例8求矩陣A1 2 10 0 200 0 0

01的Jordan.222解det(IA)(24,A的特征值為2,4,故以2為特征Jordan4.而2的幾何重數(shù)為4rank(IA)2,故以2為Jordan2.注意到r rank(IA)rank(2IA)2,1r rank(IA)2

rank(2IA)2

1,故以21Jordanr2

r 2r0

14221.因此2AJordan標(biāo)準(zhǔn)型為J0000

0 0 02 1 0.0 2 1220 0 AJordan標(biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣T.首先求出2所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為x1

(1,0,1,0)T

, x (0,1,0,0)2

. 其次確定長度為3 的Jordan 鏈的鏈?zhǔn)? 令t k

k

, 由AI|

0 0 0 01 0 1 1)

k 1 k 2 , 為使AI)y

有解,1 1 1 2 2

1 0 0 0

2 k 1100000 00000 只需取k0即可. 再取k2,t(0,2,0,0)T為鏈?zhǔn)? 解得y (0,1,2,0)T,1211y (1,0,1,0)

.令

cy

c

,由(AI|t

0 0 0 01 0 1 1)

c 2 1c 為使12 2 1 1 2 2

2 0 0

2 2c c1 200000 00000 (AI)zt2

有解, 只需取c2

0即可. 再取c1

1, t2

(0,1,2,0)T

,解得鏈尾t z3

(1,0

或者t z3

(0,1,2

.于是可得1

0 1 01000211000211 0 20000 2T1

1 0或者T2 1

1,2 01100 01100 AJordanA

1.例9證明若n階方陣A的奇異值滿足 0,則A可逆,而且A1 2 n

,2 1A12

1.n證明 由奇異值的定義,

det(A)2

det(AH

A)21

2 20 , 知2 ndet(A) 0,則A可逆,且A1 2 n 2

.((AHA)max于是, AHA也可逆, 且(AHA)1的特征值為n

1n1

1

, (A1)HA1(AAH)1 的特征值與(AHA)1 的特征值相同, 因此A12

m a x

1.((AHA1)例10 設(shè)A,BRmn, 如果存在m 階和n階的正交矩陣U 和V , 使得BUAUA1,AB正交相抵.證明正交相抵的矩陣有相同的奇異值.證明由BUAV

TUAV

1,BTB(UAV

T)TUAV

TVAT(U

TU)AVT

V(AT

A

TV(AT

A

1, 知BTB與ATA相似,,AB有相同的奇異值.注:不難驗證,正交相抵具有自反性、對稱性和傳遞性.因此正交相抵是等價關(guān)系.它所形成的等價類稱為正交相抵等價類.此例說明,正交相抵等價類中的矩陣都有相同的奇異值,所A,A奇異值組成.即D是該矩陣類中的標(biāo)準(zhǔn)型矩陣.

TD相同,并由它們的習(xí)題填空題1a 2(1)A 2

,當(dāng)a滿足條時，A可作LU 分解.11(2)A

22

2aa

滿足條時

可作LLT分解，其中L是對角元素 為正的下三角陣，則L . 2(3)A1

1 02 1，則

(A).20 1 2(4)ACnnSchurAURUHUCnn為酉矩陣，RCnn為上三角矩陣特別地當(dāng)A為正規(guī)矩陣時矩陣，A的特征值，A的特征向量為 當(dāng)A為Hermite矩陣時為 矩陣當(dāng)A為斜Hermite陣時，R陣.利用①Gauss消去法，②Gauss列主元法解方程組1 2

1 2x 23 2x 2

47 2 2 1 3

5x3 33 44

1 0GaussAdet（A）的值．12x

3x2

3x3

1518x

3x x2

15x x1 21 2 12 5 3

3x 6322設(shè)A2 2 31 3 2

,1題消元過程求出LU矩陣，并驗證A=LU53Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一？1 1, 1,2 54 6 7331 61546

2 34

1B

1 11

1C

2 615Doolittle分解法，Cholesky法和三對角追趕法三種方法求解線性方程組：4 1

x 132x23

58 8 24 1 1

8x

10設(shè)A證明

330

3 2A的QR分解.4 3cond(A)1；cond(kA)cond(A)（k為非零常數(shù)．ABn階非奇異方陣，試證cond(AB)cond(A)cond(B)RR為對角矩陣．證明Schur不等式：

2n ni

a 2，其中ij

為Aij

n

的特征值，并證明i1 i1j1Schur不等式等號成立的充分必要條件是A為正規(guī)矩陣．4A4000

1 10 20 20 6

00的Jordan分解．01113．證明定理2.15.證明正規(guī)矩陣的奇異值是其特征值的模，Hermite半正定矩陣的奇異值為其特征值．設(shè)MC4424,已知r1

2，r2

0 rran(M2I)l，求M的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型.lA的奇異值分解為0 605 0 60

08 0 045 5 0A45 3

05 45 0

0 10

2

0 1求A，cond (A)，A ．2 2 F2 4設(shè)A4

,求A的奇異值分解,并據(jù)此計算A

，

(A).2習(xí)題解答(1)當(dāng)a1時, A可作LU分解.注:矩陣A的各階順序主子式均不為零只是A可作LU分解的一個充分條件.當(dāng)a3時, A

4 2,A的行列式(2階順序主子式)為21 21 40零,但經(jīng)第一步消元可得0

2,這已是一個上三角矩陣,ALU分解.002T 0 22a2(2)當(dāng)a2時, A正定,可作LL 分解, L 2a22(3) cond2(A)32 .2(4)ACnnSchurAURUH，其中UCnnRCnn為上三A為正規(guī)矩陣時，R為對角AR的對角元素A的特征向量為UAHermiteRA為斜HermiteR對角元素為純虛數(shù)或零的對角陣.解(1)Gauss消元法:1 2

1 2

4 1

2 1 2

4 1 4212112121120330032 5

3 2 7

0 1 1 2

1 0

12

2 3 5

L11 0 2 5 1

L2 7 0 91 3 2 3 0

0 1 1 5 4 0

3 110001100010001000100x 1x其中L 1 2

0 1

, L 2 0

2 1

,所求解為0

2 .x 2 31

0 0 1

0

0 1

x 1 4(2)帶列主元的Gauss消元法:1 2 1 2 4 2 5 3 2 7 2 5 3 2 7 2 5

3 2 7

1 2

1 2 4

0 1 1 1 1 1 P1

L1 2 2 2 2 2 3 5 1 2

2 3 5

1 0 3 6 3 61323013230132300 1122

4 722

3

7 2 5

2 7 2 5 3 2 7 0 3

3 6

0 3

3 6

0 3 6 3 62P2

L2

L3 0 1 1 132 213

2 0

1 2

0 02

1 1 32 2 22 20 1 1 42 20 1 1 0

7 00

0 121 1

7 20 00 0

9 0 0 21 02P0 0P

30 01 0

3其中 P1

0 0 1 0 ,

L 21 1

0 1 0

, 0 122

0 0 , 0 0

0 1

1 0 2

11x 21x x

0

0 110001000100001000100

, L

,所求解為 2 .2 0

1 1 0 3 0 0 1 06

x 2301 1 1 0 01 1 6

x 14解12 3 3

15 18

3 1

15 18

3 1

1518

3 1

15

1P121

3 3

15

L1 0

1 7 5

3 1 1 3

6 1

1 3 6 0

7 53 316 18 6

3

15

3

152P 02

7 536 18

31 6

L2 0

7 536 18

31 6

,其中0 1 3

5

0 102 6621 70 1 0

0 0 1 0 0

0 0 x 11

1 17P1 0 0,L 2

1 0,P 0 0 1,L 0 1

0,解為x 8. 1 1

2

2

2 1770 7

1 118

0 1

0

0

6 1

x 333 17由L

18LPAU 0

3 167 53, det(A)det(U)/det(6

PLP)102.2 2 11

18001020021

2 2 11解:2Gauss消元過程可知1 2

2 1212 2 11212 2 1110LLA0 1 1

2U,

L(LL)1

,ALU.2 1 0 0

3

2 1 01003 01003 11231232410054

6 7

0 2

不能繼續(xù)消元,因此不能進(jìn)行LU分解.5 1

1 1

1 1 1 1B2

2 1L1U

0 0

1L2U

0 0

1

, 其 中3

1 0

2 0 0 011110010010, 01013 0 1

2

.經(jīng)過第一次消元得到一個上三角矩陣U1 1

LB,010220,L2把最后一行消去,也得到一個上三2角矩陣U2

LL2

B.因此得到了矩陣BLUBL1 1

(L2

L)1

.這說2明在某些情況下,即使矩陣的各階順序主子式不為0,也能進(jìn)行LU分解,但分解不唯一.1 0對于矩陣C,其各階順序主子式為1,1,1.可得唯一的LU分解C2 16 36

01 20 111

63.11(1)Doolittle分解4 1 0

1 0 01010

1 0 0 4 1 0 1 1 0

0 1 0 4

0 8 1A1

5 2

010 19 4

2

0 19 4

2,則A的Doolittle分0

8

2 8 0

136194

100410解為ALU11001924

. 按LUx b

Lyb , 由Uxy0 8 1 0 19

136191 0

0y

5

5 4 1

0x

x 1

1

1

1 11 1

0y

8解得

27

,再由0 19

2x

27

解得x

1.

2

2 4

4 233

4 20 8 119

y 10 y 1363 3 19

0 0

13619

x

13619

x 13Cholesky分解l 0

0l l

l 4 1 0

2 0 0 11

11

31 由LLT

l l 00 21 22

l 1 5 2 解得L1 19 0 . 按 22 32 2 2 l l l 31 32 33

0 l 33

2 8 0 419

136192 0

0

5

y 52Lyb 1 1 22LLTxb 得

, 由1 19

0

8 解得y 27

, 再由xy 2 2

2

2190 4

136

y

10

y

1362 1

0 x

19 19 35 x 1

3 19 20 19

4

1 2

解得x

1.2 2 19 219 220 0

136x

x 1追趕法

19 3

19 3利用三對角矩陣的LU分解公式可得與Doolittle分解一致的結(jié)果.4

1 4

4 5 1 7. 解: A3 3 2 , 記a 3 , a 5 ,

303 , 1

1 0 4 3 0

0 0 0Q H

2)I 2

453

3 05 4 0 ,

H(

5)A0

1 23 1 . 記101431 1 T 1 1 5 5 101431 1 0 0 3A

1,

~3

, ~ 5

,

3 5

8, a a

1 4 3

1 4 1

2

0 4H(

)I 2

3 4 5 5 ,

H()A

5 3 ,2 T 2 2 21

4 3 2 5 50 0 5 1 2

0 11 0

Q 0

()

0 3

4,則有Q QA0 5

3R,AQR,22 2

04054 95 25

53512 25

2 1 01 0 01其中QQT

QT3 12

16.1 2 5 25 250 4 35 5證明: (1) 根據(jù)矩陣范數(shù)的相容性和單位矩陣的算子范數(shù)為1 的性質(zhì)有cond(A)AA1AA1I1.(2) 當(dāng)k0 , 根據(jù)矩陣范數(shù)的齊次性和逆矩陣的性質(zhì)有cond(kA)kA (kA)1 kAk1A1 A A1 cond(A).證 明 :

由 矩 陣

范 數(shù) 的 相 容 性cond(AB)AB(AB)1

ABA1

B1 c

)cn

B). n dr r r 1,10證明: 由定義, 上三角陣R

1,2r2,2

1,n r n1,n00r 00r n,nr 0

0r r

r r r

r r

0 01,1

1,1 1,2

1,n 1,1 1,2

1,n 1,1 r r

0 r

0 r

r r

1,2

2,2

0

2,2 r

2,2 r

1,2

2,2 0

n1,n

n1,n r r r 0 0

r 0 0

r r r r 1,n

n1,n

n,n

n,n

n,

1,n

n1,n

n,n分別比較等式兩端乘積矩陣的主對角元素即可得知ri,j

0, i1,2,,n1; ji,R為對角矩陣.

r r

r