超松弛迭代法

逐超弛代7.3.1SOR迭代公式逐次超松弛(SuccessiveOver迭法，簡稱SOR代法，它是在GS法基礎上為提高收斂速度，采用加權平均而得到的新算法，設解方程(7.1.3)的GS法記為(7.3.1)再由

與

加權平均得這里ω＞0稱為松弛參數，將代入則得(7.3.2)稱為迭代法，[WTBX]0稱為松弛因子，ω=1時(即為GS，將(寫成矩陣形式，則得即于是得迭代的矩陣表示(7.3.3)其中(7.3.4)按(7.1.7)分，有

.例

給定方程組精確解

,用求解，分別取ω=1及ω=125.

解

用

代公式(7.3.2)得取，迭代后分別為若要精確到小數后位，ω=1(即GS法)需迭代34次，而ω=1.25的，只需迭它表明松弛因子ω選擇的好壞，對收斂速度影響很大.7.3.2SOR迭代法收斂性根據迭代法收斂性定理，收斂的充分必要條件為

，收斂的充分條件為，但要計算

比較復雜，通常都不用此結論，而直接根據方程組的系數矩A判迭代收斂性，下面先給出收斂必要條件.定理3.1

設

解方程

的迭法收斂的必要條件是＜ω＜2.證明

由迭代矩陣

的表達式(7.3.4)于是另一方面，設

的特征值為，由特征根性質，有若法收斂，則，由，則得0ω＜證畢.

定理3.2

若

對稱正定且0＜＜2解的迭代法(7.3.3)對

迭代收斂因

證明

設

的特征值為(可能是復數)，對應特征向量x≠0,由7.3.4)得為實對稱矩陣，故,上兩邊與x作內積，得因A正定，故D也正定，記于是由(7.3.5)有

(7.3.5).又，,由內積性質得由于A正定及0＜ω＜2，故于是注：當ω=1時法為，故GS也收斂，此即為定理結論.對于迭代法，松弛因子的選擇對收斂速度影響較大，關于最優(yōu)松弛因子且已有不少理論結果下面只給出一種簡單且便于使用的結論

研究較為復雜，定理3.3

設

為對稱正定的三對角矩陣，

是解方程(7.1.3)的J法迭代矩陣，若，記，則法的最優(yōu)松弛因子(7.3.6)

為且(7.3.7)根據定理，

,如示由(可知，當ω=1，時，收斂速度為

.說明GS比J法快一倍.例

圖7-1對例7.7中的方程組，用SOR迭代法求最優(yōu)松弛因子

，并研究其收斂速度解

由于是對稱正定的三對角矩陣，迭代收斂故，而優(yōu)松弛因子故

.若使誤差，由例7.7中取已近似精度

，取k=12可，故它收斂很快，實際計算時迭代可達到小數后7位

對的迭代次數，故k≈34與實際計算結果相符.講解：

達到與法的同樣精度.代法只是GS法與歸值

的加權平均，計算公式為（），迭代矩陣

為（7.3.4，通常只是對A對稱正定的方程組使用，而松弛因子選擇較困難，一般選擇

對于A為稱正定的三對角陣則最好最有因子迭代矩陣的迭代矩陣譜半徑為

為，其中不要具體求

為J法的不要去計算的特征值。如例所示，求得

，則，從而可以求得SOR迭代的收斂速度

.【本章小】本章主要內容是用迭代法求解線性方程組，重點法和迭代法，首先必須掌握各種迭代法的計算公式和迭代矩陣的表達式以及迭代法收斂的充分必要條件和充分條件，并用這些理論判別方程組Ax=b收斂性，為此（1）對所構造迭代能寫出具體的迭代矩陣B并利用

判別方法收斂性。（2）對不滿足充分件的方程組或A帶參數的方程組判別收斂性通常要求迭代矩陣B的特征值及譜半徑，并由＜1判別迭代法是否收斂。（3）要掌握與迭代相關的向量序列及矩陣序列的收斂性結論。（4）利用迭代矩陣半徑較各種迭代法收斂的快慢。

，計算迭代法漸近收斂速度

,從比2．用法，GS法和SOR法求解方程組Ax=b.（1）對給定方程組出種迭代法的計算公式，并能正確求出方程組的解（較大時可用計算機編程計算）。（2）寫出法法的迭代矩陣并利用代矩陣范數和譜半徑判別其收斂性。

（3這3方法首先要直接從方程的系數矩陣A判定是否嚴格對角占優(yōu)或不可約弱對角占優(yōu)或對稱正