淺談分類討論在數(shù)學教學中的應用 論文

淺談分類討論在數(shù)學教學中的應用摘要：在日常生活或是自然科學中，我們總會或多或少的遇到需要從多個方面考慮的問題。不同的前提條件對應著不同的解決方法，而每一種方法的最終目的都是相同的。倘若考慮不周或是有遺漏，那么最后的選擇也必定會有差錯。所以掌握好分類討論的思想，無論是在數(shù)學教學還是日常生活中都是非常有必要的。本文即是對分類討論思想的探究，并且著重探討分類討論在數(shù)學教學中的應用。關鍵詞：解題策略，思維，滲透引言：分類討論思想在數(shù)學教學中有廣泛應用，不論是簡單的計算還是復雜的推理都少不了將情況逐一分析比較的過程，采用分類討論的方法，可以有效的防止誤差，并且還可以將復雜的問題分解成若干個較為簡單的問題去解決，真正的做到化繁為簡。一、預備知識：1.本節(jié)中我們首先來了解一下分類討論思想的相關概念、使用原則及步驟。 （1）分類討論的概念：

分類討論即是將對象分門別類之后分別進行研究，它既是一種解題策略又是一種重要的數(shù)學思想。當我們所研究的問題比較復雜，不能僅用一種方法或者一種情況概而論之時，根據(jù)所研究的數(shù)學對象的根本屬性和具體內容，再按照一定的原則和方法，在相互對照的基礎上，將研究對象逐一分解，分成若干個既相互有聯(lián)系又有區(qū)別的部分,最后，再將各個部分得出的最終結果放在一起觀察比較，總結出最后的結果，即為問題的答案。我們把這種先將問題分類別，分情況然后再逐一討論的方法稱作分類討論。（2）分類討論的使用原則：

A.在每一次的分類過程中，必須按照統(tǒng)一的標準去劃分。 此條原則是為了保證分類時有一個共同的前提，以免因標準的不同而導致思路混亂，分類出差錯。B.將問題分類之后所得到的各個部分，它們之間應該是相互獨立的。第1頁(共8頁)此條原則是為了保證分類討論得出的各個部分之間既不重復也不遺漏。C.分類討論應該逐級有順序的依次進行。D.問題可以根據(jù)定理、公式、性質等的使用條件去分類討論。E.盡量少的分類，努力使問題的解答過程簡潔。 （3）分類討論的步驟：

分類討論經(jīng)常與開放性的探究問題綜合起來考察，無論是分類討論還是探究問題，都需要扎實的基本功和嚴謹?shù)臄?shù)學思維。由于問題的解決方法也不止一種，所以更需要具有靈活的思維方式，找尋最簡單快捷的解題途徑。要用發(fā)展的眼光看待問題，不能以偏概全，全面透徹的觀察問題，對于需要分類討論的問題更要仔細閱讀題干內容，看清限制條件，按照步驟一步步的探究，擺脫想當然的錯誤思想。 A.確定所需要分類的對象

B.遵循統(tǒng)一的標準，把問題中的一些條件作出不重復不遺漏的分類

C.逐類進行討論（遇到更加復雜的問題，還需要進行二次甚至多次分類，同樣需要逐級進行討論）

D.對各級各類的討論結果進行總結歸納，合并后得出問題的最終答案。二、數(shù)學教學中分類討論思想的滲透：在數(shù)學的教學過程中，一直都存在用發(fā)展的眼光去看待數(shù)學的思想方法，不僅僅要求掌握問題的解決方法和其中蘊含的數(shù)學思想，還需要在后續(xù)的學習和解決問題時通過應用更加深刻的體會它的作用。它也是數(shù)學知識的概括與升華，要經(jīng)過教師在教學中長期的，有意識的，有目的的滲透，講解，并能使學生在后續(xù)的學習中繼續(xù)實踐，逐漸形成學生自己的知識。很顯然，由于數(shù)學思想方法的滲透性與實踐性，導致數(shù)學教學中并不能直接的向學生指出或者展示，只能通過教師在課前精心的設計相關教學內容，選取合適的教學方法，或者采取合作探究的模式，讓學生在一種相對自然的環(huán)境里學習，探究。三、分類討論在數(shù)學教學中的應用：1.在平時的數(shù)學教學過程中，分類討論需在必要時刻滲透其中，因為需要真 第2頁(共8頁)正掌握分類討論的精髓，不是短時間內就可以達到的。教師在教學時，應該將分類討論的思想漸漸地融入進去，使學生可以慢慢的接受并內化，直至可以完全沒有障礙的熟練地運用分類討論的思想方法。實質上，任何情況下的分類討論標準并不是單一存在的，所以接下來雖然我是從概念，圖形等方面分別介紹分類討論在數(shù)學教學中的應用，但是其中肯定會有穿插重疊的部分，需要清楚分類討論對于各類數(shù)學應用的本質。同樣，也是從這些方面，需要教師引導學生，幫助學生增強分類討論的意識，盡可能的克服分類討論中學生常犯的盲目性和主觀性等錯誤。（1）概念、運算性質數(shù)學的學習最重要的即是對數(shù)學相關概念的掌握和有關運算性質的理解，其中還包括數(shù)學中常見到的命題、定理等。有些概念或者性質，人們在一開始定義時就已經(jīng)采用了分類討論。例如絕對值、函數(shù)的單調性、不等式兩邊同時乘一個正數(shù)或者負數(shù)、三角函數(shù)的定義域等概念,在不同的條件下對應著不同的結論。這就需要學生要非常熟練地掌握這些概念及性質，借助于概念的分類標準對問題進行分析，在平時的運算過程中也要時刻提醒自己需要著重注意的情況，以避免考慮不周，得出錯誤的答案。例3.1.1：設一個圓錐曲線T,它的兩個焦點分別是1F、F2，如果曲線T上存在點P滿足PF1:F1F2:PF2=5：4：3，則該曲線的離心率是多少？解析：根據(jù)題干信息，可將PF1、F1情況如下：F2、PF2分別設為5t、4t、3t，分類討論①若該圓錐曲線為橢圓：則2aPF1PF2=8ta=4t,2c=4t,c=2t,所以得出該曲線的離心率為e=0.5②若該圓錐曲線為雙曲線：則2aPF1PF2=2ta=t,2c=4t,c=2t,所以得出該曲線的離心率為e=2綜上所述，該曲線的離心率為0.5或者2.小結：本題沒有給出具體的圓錐曲線方程，所以存在兩種情況需要討論：橢圓或雙曲線，由于拋物線不存在離心率這一概念，所以我們只考慮兩種情況。很多時候，學生會想當然的將圓錐曲線按照一種情況計算，忽略另外一種。這是由于對圓錐曲線的概念掌握不牢固導致的，橢圓和雙曲線同屬于圓錐曲線，這需要教師在日常的數(shù)學教學中加以強調，防止學生犯類似錯誤。第3頁(共8頁)若例3.1.2：設集合Axx24x0，Bxx22(a)1xa21,0aR，AB=B,求a的值。解析：由題意可知，A中的元素為0，-4，因為AB=B，所以BA,分類討論情況如下：①B屬于空集，即B中無元素，則4(a)124(a2)10，解得a<-1。②B不屬于空集，當B中只包含一個元素，則，a=-1，B中的元素為0，在集合A中，符合題意。當B中包含兩個元素，則4(a)124(a2)10，且B中的兩個元素為0，-4，解得a=1，符合題意。綜上所述，a的值為a=1或a=-1或a<-1.小結：本題主要考察對集合的概念及集合的交并運算。首先根據(jù)集合A與集合B的關系，找到所有集合B中應當存在的元素的可能性，這也要求學生要非常熟悉集合的運算法則。此外，本題還考察了二次函數(shù)含參問題，也需要學生在分類討論的基礎上擁有較強的運算功底。 （2）圖形

在解決有關圖形的問題時，包括立體圖形，經(jīng)常需要將數(shù)形結合、遷移轉化等思想與分類討論結合在一起使用，有時也會受到圖形本身性質和條件的約束，考慮時需要更加的全面。同時，對于動態(tài)圖形在某一時刻，某一情境下的形態(tài)，還需要學生具有一定的空間想象能力和良好的作圖功底，這些對于日后碰到需要分類討論的圖形問題，才能夠迅速準確的找到分類的標準，從而大大提高了學生的解題效率。例3.2.1:已知一個三角形ABC,它的三邊長分別為4、4、6，在三角形所在的平面內畫一條直線，恰好將三角形ABC分成了兩個三角形，若要使得其中的一個三角形是等腰三角形，那么這樣的直線最多可以畫多少條？ 解析：由于該直線將三角形劃分成了兩個三角形，所以該直線必經(jīng)過三角形ABC的一個頂點。但如果經(jīng)過的是B或C的話，則不能使得到的兩個三角形中存在一個等腰三角形，所以該直線必經(jīng)過A點。接下來需要使得到的三角形ABD或者三角形ACD為等腰三角形，分類討論情況如下：

第4頁(共8頁)①以BD或CD為斜邊，即使得AB=AD或者AC=AD，各可以得到一條線段②以AB或AC為斜邊，即使得AD=BD或者AD=CD，各可以得到一條線段所以綜上所述，這樣的直線最多可畫4條。小結：本題中運用了兩次分類討論，第一次根據(jù)原三角形ABC的特點得出直線必經(jīng)過A點，第二次根據(jù)對形成三角形的斜邊的討論，得出最終結果。在分類過程中，要盡量避免少分類，對分類結果檢查清楚，要非常全面的考慮所有可能的情況，關于圖形的分類更要謹慎周密。 （3）參數(shù)

在高中數(shù)學中經(jīng)常會遇到函數(shù)或者是不等式含參的問題，函數(shù)包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、分段函數(shù)或三角函數(shù)等。所給函數(shù)表達式中會出現(xiàn)用字母表示的常數(shù)，我們將其稱之為參數(shù)。一般的函數(shù)問題，都需要我們把問題當中出現(xiàn)的參數(shù)求出來，然而根據(jù)題干要求，參數(shù)的求值問題有時也需要利用分類討論的方法。并且，當題目中的參數(shù)有幾何與意義時，還需要適當?shù)牟捎脭?shù)形結合思想，全面透徹的分析由于參數(shù)的變化而引起的其他變化情況。例3.3.1：已知不等式ax2x30的解集為[-3,1],求a的值。解析：根據(jù)a的正負及為0情況作以下分類：

①當a=0時，

不等式為2x-3>0，解得x>3/2.與題意不符，舍去。②當a>0時，對應的二次函數(shù)yax22x3開口向上，所以該不等式的解集應該在兩根之外，與題意不符，舍去。

③當a<0時，對應的二次函數(shù)yax22x3開口向下，所以該不等式的解集應該在兩根之間，符合題意，即該二次函數(shù)的兩根根分別為-3和1，求得最后的結果a=1. 綜上所述，a的值應為1. 小結：此題作為高中數(shù)學不等式常見題型，分析對應函數(shù)的開口方向，并將分類討論思想與數(shù)形結合思想相結合，需要學生熟練掌握。在最開始接觸這類題型時，應該按照步驟一步一步慢慢來，將情況劃分清楚，并講解清楚劃分的標準， 第5頁(共8頁)由淺入深，克服學生怕麻煩的思想。這樣，對于之后遇到的簡單題的迭加問題，也能夠思路清晰準確的找到突破口。例3.3.2：存在函數(shù)yx22x3，x[a3,]，求函數(shù)的最小值。 解析：題干中的二次函數(shù)的對稱軸為x=1，根據(jù)對稱軸與給定區(qū)間的相對位置關系，可以做以下分類：

①對稱軸在所給區(qū)間的左側，即a>1,此時該函數(shù)的最小值就在x=a處取得，最小值為a2a3②對稱軸在所給區(qū)間中間，即a<1，

此時該函數(shù)的最小值就在對稱軸x=1處取，最小值為-4綜上所述，當a>1時，函數(shù)的最小值為a2a3；當a<1時，函數(shù)的最小值為-4.小結：此題是用來考察對二次函數(shù)的圖像把握問題，通過對最小值在端點處或在對稱軸處取得的分類討論，比較各自的結果，找到正確的答案。對于這種在區(qū)間上求解最值的問題，在高中數(shù)學教學中也非常常見，要求學生在分類討論時，做到全面而又有層次，將參數(shù)的取值情況進行精確的分類，任何一步出現(xiàn)的差錯都有可能導致最后的結果千差萬別。只要做到了有條理，清楚地分類，那么距離正確的結果也就不遠了。 （4）數(shù)列

由于數(shù)列這一部分在數(shù)學的教學過程中占有比較重要的比重，雖然解決數(shù)列問題是有跡可循的，但還是容易忽略掉一些比較特殊的情況。比如在等比數(shù)列求和時，學生很容易忽略當q=1時的情況。諸如此類的情況還有很多，需要學生在熟練掌握數(shù)列相關概念和性質的同時，對某些容易忽視的情況也要進行相應的討論。nP例3.4.1：已知數(shù)列的前n項和為Sn16nn2，求數(shù)列的前n項和。解析：數(shù)列為單調遞減的等差數(shù)列，na=-2n+17.所以做以下分類：第6頁(共8頁)①當na>0時，n816nn2n8).nP=a1a2na=Sn②當na<0時，n>8na)nP=a1a2na=(a1a2a8)(a9=8S-(Sn8S)nn2(n8)=28S-Sn=n216n128綜上所述，nP16n216n128(小結：這種類型的題目除了考察數(shù)列方面的有關知識外，還添加了絕對值數(shù)列這一類，增加了問題的難度。因此在求解數(shù)列的前n項和時，需使用分類討論的方法，找出na剛好為0或者介于正負的項數(shù)的臨界值。在數(shù)學教學的過程中，要努力克服學生看到這類題目的畏難情緒，找清楚問題解決的關鍵，確定分類討論的標準，按照步驟將數(shù)列與絕對值數(shù)列的關系找到，從而推導出絕對值數(shù)列的前n項和。四、結束語分類討論在數(shù)學教學中有十分重要和廣泛的應用，同時，分類討論作為一種數(shù)學思想，與數(shù)形結合、函數(shù)方程等思想結合，也會給解題帶來極大的便利。本文所介紹的是在數(shù)學教學中比較常見的幾類應用，我們可以針對常見題型熟悉分類討論的操作，將分類討論思想應用到日常教學中去。參考文獻： [1]康曉林：分類討論思想在高中數(shù)學教學中的應用方法分析[J].考試周刊,2017（103）：78-78

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