2023年高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識點(diǎn)大全

一、函數(shù)與極限1、集合的概念一般地我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡稱集）。集合具有擬定性（給定集合的元素必須是擬定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，由于它的元素不是擬定的。我們通常用大字拉丁字母A、B、C、……表達(dá)集合，用小寫拉丁字母a、b、c……表達(dá)集合中的元素。假如a是集合A中的元素，就說a屬于A，記作：a∈A，否則就說a不屬于A，記作：aA。⑴、全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作N⑵、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作N+或N+。⑶、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作Z。⑷、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作Q。⑸、全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集。記作R。集合的表達(dá)方法⑴、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“｛｝”括起來表達(dá)集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特性來表達(dá)集合。集合間的基本關(guān)系⑴、子集：一般地，對于兩個集合A、B，假如集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，我們就說A、B有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作AB（或BA）。。⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時集合A中的元素與集合B中的元素完全同樣，因此集合A與集合B相等，記作A＝B。⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一個元素屬于B但不屬于A，我們稱集合A是集合B的真子集。⑷、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。⑸、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：①、任何一個集合是它自身的子集。即AA②、對于集合A、B、C，假如A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。③、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集涉及“真子集”和“等集”。集合的基本運(yùn)算⑴、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A與B的并集。記作A∪B。（在求并集時，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。⑵、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集。記作A∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。⑶、補(bǔ)集：①全集：一般地，假如一個集合具有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集。通常記作U。②補(bǔ)集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集。簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作CUA。即CUA＝｛x|x∈U，且xA｝。集合中元素的個數(shù)⑴、有限集：我們把具有有限個元素的集合叫做有限集，具有無限個元素的集合叫做無限集。⑵、用card來表達(dá)有限集中元素的個數(shù)。例如A＝｛a,b,c｝，則card(A)=3。⑶、一般地，對任意兩個集合A、B，有card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)我的問題：1、學(xué)校里開運(yùn)動會，設(shè)A＝｛x|x是參與一百米跑的同學(xué)｝，B＝｛x|x是參與二百米跑的同學(xué)｝，C＝｛x|x是參與四百米跑的同學(xué)｝。學(xué)校規(guī)定，每個參與上述比賽的同學(xué)最多只能參與兩項(xiàng)，請你用集合的運(yùn)算說明這項(xiàng)規(guī)定，并解釋以下集合運(yùn)算的含義。⑴、A∪B；⑵、A∩B。2、在平面直角坐標(biāo)系中，集合C＝{(x,y)|y=x}表達(dá)直線y＝x，從這個角度看，集合D={(x,y)|方程組：2x-y=1,x+4y=5}表達(dá)什么？集合C、D之間有什么關(guān)系？請分別用集合語言和幾何語言說明這種關(guān)系。3、已知集合A={x|1≤x≤3}，B＝{x|(x-1)(x-a)=0}。試判斷B是不是A的子集？是否存在實(shí)數(shù)a使A＝B成立？4、對于有限集合A、B、C，能不能找出這三個集合中元素個數(shù)與交集、并集元素個數(shù)之間的關(guān)系呢？5、無限集合A＝｛1，2，3，4，…，n，…｝，B＝｛2，4，6，8，…，2n，…｝，你能設(shè)計一種比較這兩個集合中元素個數(shù)多少的方法嗎？2、常量與變量⑴、變量的定義：我們在觀測某一現(xiàn)象的過程時，經(jīng)常會碰到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量。注：在過程中尚有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對于所研究的對象是極其微小的，我們則把它看作常量。⑵、變量的表達(dá)：假如變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表達(dá)其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間是指介于某兩點(diǎn)之間的線段上點(diǎn)的全體。區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號區(qū)間在數(shù)軸上的表達(dá)閉區(qū)間a≤x≤b[a，b]開區(qū)間a＜x＜b（a，b）半開區(qū)間a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b）

以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，尚有無限區(qū)間：[a，+∞)：表達(dá)不小于a的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：a≤x＜+∞；(-∞，b)：表達(dá)小于b的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：-∞＜x＜b；(-∞，+∞)：表達(dá)全體實(shí)數(shù)，也可記為：-∞＜x＜+∞注：其中-∞和+∞，分別讀作"負(fù)無窮大"和"正無窮大",它們不是數(shù),僅僅是記號。⑶、鄰域：設(shè)α與δ是兩個實(shí)數(shù)，且δ＞0.滿足不等式│x-α│＜δ的實(shí)數(shù)x的全體稱為點(diǎn)α的δ鄰域，點(diǎn)α稱為此鄰域的中心，δ稱為此鄰域的半徑。2、函數(shù)⑴、函數(shù)的定義：假如當(dāng)變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)值時，量y按照一定的法則f總有擬定的數(shù)值與它相應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量，y叫做函數(shù)值（或因變量），變量y的變化范圍叫做這個函數(shù)的值域。注：為了表白y是x的函數(shù)，我們用記號y=f(x)、y=F(x)等等來表達(dá)。這里的字母"f"、"F"表達(dá)y與x之間的相應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系,它們是可以任意采用不同的字母來表達(dá)的。假如自變量在定義域內(nèi)任取一個擬定的值時，函數(shù)只有一個擬定的值和它相應(yīng)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。⑵、函數(shù)相等由函數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、相應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域和相應(yīng)關(guān)系決定的，所以，假如兩個函數(shù)的定義域和相應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱兩個函數(shù)相等。⑶、域函數(shù)的表達(dá)方法a)：解析法：用數(shù)學(xué)式子表達(dá)自變量和因變量之間的相應(yīng)關(guān)系的方法即是解析法。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：將一系列的自變量值與相應(yīng)的函數(shù)值列成表來表達(dá)函數(shù)關(guān)系的方法即是表格法。例：在實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表達(dá)的函數(shù)。c)：圖示法：用坐標(biāo)平面上曲線來表達(dá)函數(shù)的方法即是圖示法。一般用橫坐標(biāo)表達(dá)自變量，縱坐標(biāo)表達(dá)因變量。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓用圖示法表達(dá)為：3、函數(shù)的簡樸性態(tài)⑴、函數(shù)的有界性：假如對屬于某一區(qū)間I的所有x值總有│f(x)│≤M成立，其中M是一個與x無關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無界。注：一個函數(shù)，假如在其整個定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)例題：函數(shù)cosx在(-∞,+∞)內(nèi)是有界的.⑵、函數(shù)的單調(diào)性：假如函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而增大，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1＜x2時，有，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增長的。假如函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而減小，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1＜x2時，有，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)減小的。例題：函數(shù)=x2在區(qū)間(-∞,0)上是單調(diào)減小的，在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)增長的。⑶、函數(shù)的奇偶性假如函數(shù)對于定義域內(nèi)的任意x都滿足=，則叫做偶函數(shù)；假如函數(shù)對于定義域內(nèi)的任意x都滿足=-，則叫做奇函數(shù)。注：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。⑷、函數(shù)的周期性對于函數(shù)，若存在一個不為零的數(shù)l，使得關(guān)系式對于定義域內(nèi)任何x值都成立，則叫做周期函數(shù)，l是的周期。注：我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。例題：函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù)；函數(shù)tgx是以π為周期的周期函數(shù)。4、反函數(shù)⑴、反函數(shù)的定義：設(shè)有函數(shù)，若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y0時，變量x在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值x0與之相應(yīng)，即，那末變量x是變量y的函數(shù).這個函數(shù)用來表達(dá)，稱為函數(shù)的反函數(shù).注：由此定義可知，函數(shù)也是函數(shù)的反函數(shù)。⑵、反函數(shù)的存在定理：若在(a，b)上嚴(yán)格增(減)，其值域?yàn)镽，則它的反函數(shù)必然在R上擬定，且嚴(yán)格增(減).注：嚴(yán)格增(減)即是單調(diào)增(減)例題：y=x2，其定義域?yàn)?-∞,+∞)，值域?yàn)閇0,+∞).對于y取定的非負(fù)值,可求得x=±.若我們不加條件，由y的值就不能唯一擬定x的值，也就是在區(qū)間(-∞,+∞)上，函數(shù)不是嚴(yán)格增(減)，故其沒有反函數(shù)。假如我們加上條件，規(guī)定x≥0，則對y≥0、x=就是y=x2在規(guī)定x≥0時的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此規(guī)定下嚴(yán)格增(減).⑶、反函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，與的圖形是關(guān)于直線y=x對稱的。例題：函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線y=x對稱的。如右圖所示：5、復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)的定義：若y是u的函數(shù)：，而u又是x的函數(shù)：，且的函數(shù)值的所有或部分在的定義域內(nèi)，那末，y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個函數(shù)是由函數(shù)及復(fù)合而成的函數(shù)，簡稱復(fù)合函數(shù)，記作，其中u叫做中間變量。注：并不是任意兩個函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。例題：函數(shù)與函數(shù)是不能復(fù)合成一個函數(shù)的。由于對于的定義域(-∞,+∞)中的任何x值所相應(yīng)的u值（都大于或等于2），使都沒有定義。6、初等函數(shù)⑴、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下：函數(shù)名稱函數(shù)的記號函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù)

a):不管x為什么值,y總為正數(shù);

b):當(dāng)x=0時,y=1.對數(shù)函數(shù)

a):其圖形總位于y軸右側(cè),并過(1,0)點(diǎn)

b):當(dāng)a＞1時,在區(qū)間(0,1)的值為負(fù)；在區(qū)間(-,+∞)的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.冪函數(shù)a為任意實(shí)數(shù)

這里只畫出部分函數(shù)圖形的一部分。

令a=m/n

a):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時,y是偶函數(shù);

b):當(dāng)m,n都是奇數(shù)時,y是奇函數(shù);

c):當(dāng)m奇n偶時,y在(-∞,0)無意義.三角函數(shù)(正弦函數(shù))

這里只寫出了正弦函數(shù)

a):正弦函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù)

b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且反三角函數(shù)(反正弦函數(shù))

這里只寫出了反正弦函數(shù)

a):由于此函數(shù)為多值函數(shù),因此我們此函數(shù)值限制在[-π/2,π/2]上,并稱其為反正弦函數(shù)的主值.⑵、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)通過有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).例題：是初等函數(shù)。7、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)⑴、雙曲函數(shù)：在應(yīng)用中我們經(jīng)常碰到的雙曲函數(shù)是：(用表格來描述)函數(shù)的名稱函數(shù)的表達(dá)式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)雙曲正弦a)：其定義域?yàn)?(-∞,+∞)；

b)：是奇函數(shù)；

c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增雙曲余弦a)：其定義域?yàn)?(-∞,+∞)；

b)：是偶函數(shù)；

c)：其圖像過點(diǎn)(0,1)；雙曲正切a)：其定義域?yàn)?(-∞,+∞)；

b)：是奇函數(shù)；

c)：其圖形夾在水平直線y=1及y=-1之間；在定域內(nèi)單調(diào)增；我們再來看一下雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別：雙曲函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)shx與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù)sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù)它們都不是周期函數(shù)都是周期函數(shù)雙曲函數(shù)也有和差公式：⑵、反雙曲函數(shù)：雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù).a)：反雙曲正弦函數(shù)

其定義域?yàn)椋?-∞,+∞)；b)：反雙曲余弦函數(shù)

其定義域?yàn)椋篬1,+∞)；c)：反雙曲正切函數(shù)

其定義域?yàn)椋?-1,+1)；8、數(shù)列的極限我們先來回憶一下初等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的數(shù)列的概念。⑴、數(shù)列：若按照一定的法則，有第一個數(shù)a1，第二個數(shù)a2，…，依次排列下去，使得任何一個正整數(shù)n相應(yīng)著一個擬定的數(shù)an，那末，我們稱這列有順序的數(shù)a1，a2，…，an，…為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)。第n項(xiàng)an叫做數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng).注：我們也可以把數(shù)列an看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即：an=，它的定義域是全體正整數(shù)⑵、極限：極限的概念是求實(shí)際問題的精確解答而產(chǎn)生的。例：我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。設(shè)有一圓，一方面作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A1；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2；再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A3；依次循下去(一般把內(nèi)接正6×2n-1邊形的面積記為An)可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積：A1，A2，A3，…，An，…，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增長時，An也無限接近某一擬定的數(shù)值(圓的面積)，這個擬定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)列A1，A2，A3，…，An，…當(dāng)n→∞(讀作n趨近于無窮大)的極限。注：上面這個例子就是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽(公元三世紀(jì))的割圓術(shù)。⑶、數(shù)列的極限：一般地，對于數(shù)列來說，若存在任意給定的正數(shù)ε(不管其多么小)，總存在正整數(shù)N，使得對于n＞N時的一切不等式都成立，那末就稱常數(shù)a是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于a.記作：或注：此定義中的正數(shù)ε只有任意給定，不等式才干表達(dá)出與a無限接近的意思。且定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)ε是有關(guān)的，它是隨著ε的給定而選定的。⑷、數(shù)列的極限的幾何解釋：在此我們也許不易理解這個概念，下面我們再給出它的一個幾何解釋，以使我們能理解它。數(shù)列極限為a的一個幾何解釋：將常數(shù)a及數(shù)列在數(shù)軸上用它們的相應(yīng)點(diǎn)表達(dá)出來，再在數(shù)軸上作點(diǎn)a的ε鄰域即開區(qū)間(a-ε，a+ε)，如下圖所示：

因不等式與不等式等價，故當(dāng)n＞N時，所有的點(diǎn)都落在開區(qū)間(a-ε，a+ε)內(nèi)，而只有有限個(至多只有N個)在此區(qū)間以外。注：至于如何求數(shù)列的極限，我們在以后會學(xué)習(xí)到，這里我們不作討論。⑸、數(shù)列的有界性：對于數(shù)列，若存在著正數(shù)M，使得一切都滿足不等式││≤M，則稱數(shù)列是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說數(shù)列是無界的。定理：若數(shù)列收斂，那末數(shù)列一定有界。注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充足條件。例：數(shù)列

1，-1，1，-1，…，(-1)n+1，…

是有界的，但它是發(fā)散的。9、函數(shù)的極限前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取1→∞內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限.函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無限增大；b)：自變量無限接近某一定點(diǎn)x0，假如在這時，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A，就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢?下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念!⑴、函數(shù)的極限(分兩種情況)a):自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)，若對于任意給定的正數(shù)ε(不管其多么小)，總存在著正數(shù)X，使得對于適合不等式的一切x，所相應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式

那末常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)x→∞時的極限，記作：下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對比一下：數(shù)列的極限的定義函數(shù)的極限的定義存在數(shù)列與常數(shù)A，任給一正數(shù)ε＞0，總可找到一正整數(shù)N，對于n＞N的所有都滿足＜ε則稱數(shù)列，當(dāng)x→∞時收斂于A記：。存在函數(shù)與常數(shù)A，任給一正數(shù)ε＞0，總可找到一正數(shù)X，對于適合的一切x，都滿足，函數(shù)當(dāng)x→∞時的極限為A，記：。從上表我們發(fā)現(xiàn)了什么？？試思考之b):自變量趨向有限值時函數(shù)的極限。我們先來看一個例子.例：函數(shù)，當(dāng)x→1時函數(shù)值的變化趨勢如何？函數(shù)在x=1處無定義.我們知道對實(shí)數(shù)來講，在數(shù)軸上任何一個有限的范圍內(nèi)，都有無窮多個點(diǎn)，為此我們把x→1時函數(shù)值的變化趨勢用表列出,如下圖:從中我們可以看出x→1時，→2.并且只要x與1有多接近，就與2有多接近.或說：只要與2只差一個微量ε，就一定可以找到一個δ，當(dāng)＜δ時滿足＜δ定義：設(shè)函數(shù)在某點(diǎn)x0的某個去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)A，假如對任意給定的ε(不管其多么小)，總存在正數(shù)δ，當(dāng)0＜＜δ時，＜ε則稱函數(shù)當(dāng)x→x0時存在極限，且極限為A，記：。注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是由于我們只討論x→x0的過程，與x=x0出的情況無關(guān)。此定義的核心問題是：對給出的ε，是否存在正數(shù)δ，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。有些時候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為A，其證明方法是如何的呢？

a):先任取ε＞0；

b):寫出不等式＜ε；

c):解不等式能否得出去心鄰域0＜＜δ，若能；

d):則對于任給的ε＞0，總能找出δ，當(dāng)0＜＜δ時，＜ε成立，因此10、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則與數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則相似。⑴、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則

若已知x→x0(或x→∞)時，.則：

推論：

在求函數(shù)的極限時，運(yùn)用上述規(guī)則就可把一個復(fù)雜的函數(shù)化為若干個簡樸的函數(shù)來求極限。例題：求解答：例題：求此題假如像上題那樣求解，則會發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過觀測可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。解答：注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒有極限時就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運(yùn)用規(guī)則求之。函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則學(xué)習(xí)函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則之前，我們先來學(xué)習(xí)一下左、右的概念。我們先來看一個例子：例：符號函數(shù)為對于這個分段函數(shù),x從左趨于0和從右趨于0時函數(shù)極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概念。定義：假如x僅從左側(cè)(x＜x0)趨近x0時，函數(shù)與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)當(dāng)時的左極限.記：假如x僅從右側(cè)(x＞x0)趨近x0時，函數(shù)與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)當(dāng)時的右極限.記：注：只有當(dāng)x→x0時，函數(shù)的左、右極限存在且相等，方稱在x→x0時有極限函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則

準(zhǔn)則一：對于點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)的一切x，x0點(diǎn)自身可以除外(或絕對值大于某一正數(shù)的一切x)有≤≤，且，那末存在，且等于A注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則.準(zhǔn)則二：單調(diào)有界的函數(shù)必有極限.注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界兩個重要的極限

一：注：其中e為無理數(shù)，它的值為：e=2.7045...二：注：在此我們對這兩個重要極限不加以證明.注：我們要牢記這兩個重要極限，在此后的解題中會經(jīng)常用到它們.例題：求解答：令，則x=-2t，由于x→∞，故t→∞，則注：解此類型的題時，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象x→∞時，若用t代換1/x，則t→0.無窮大量和無窮小量無窮大量我們先來看一個例子：已知函數(shù)，當(dāng)x→0時，可知，我們把這種情況稱為趨向無窮大。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)y=，在x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個任意大的數(shù))，總可找到正數(shù)δ，當(dāng)時，成立，則稱函數(shù)當(dāng)時為無窮大量。記為：（表達(dá)為無窮大量，實(shí)際它是沒有極限的）同樣我們可以給出當(dāng)x→∞時，無限趨大的定義：設(shè)有函數(shù)y=，當(dāng)x充足大時有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個任意大的數(shù))，總可以找到正數(shù)M，當(dāng)時，成立，則稱函數(shù)當(dāng)x→∞時是無窮大量，記為：無窮小量以零為極限的變量稱為無窮小量。定義：設(shè)有函數(shù)，對于任意給定的正數(shù)ε(不管它多么小)，總存在正數(shù)δ(或正數(shù)M)，使得對于適合不等式(或)的一切x，所相應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式，則稱函數(shù)當(dāng)(或x→∞)時為無窮小量.記作：(或)注意：無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.無窮大量與無窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的.關(guān)于無窮小量的兩個定理定理一：假如函數(shù)在(或x→∞)時有極限A，則差是當(dāng)(或x→∞)時的無窮小量，反之亦成立。定理二：無窮小量的有利運(yùn)算定理a)：有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；b)：有限個無窮小量的積仍是無窮小量；c)：常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量.無窮小量的比較通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個無窮小量的和、差及乘積依舊是無窮小.那么兩個無窮小量的商會是如何的呢？好！接下來我們就來解決這個問題，這就是我們要學(xué)的兩個無窮小量的比較。定義：設(shè)α，β都是時的無窮小量，且β在x0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，a)：假如，則稱α是β的高階無窮小或β是α的低階無窮小；b)：假如，則稱α和β是同階無窮小；c)：假如，則稱α和β是等價無窮小，記作：α∽β(α與β等價)例：由于，所以當(dāng)x→0時，x與3x是同階無窮??；由于，所以當(dāng)x→0時，x2是3x的高階無窮??；由于，所以當(dāng)x→0時，sinx與x是等價無窮小。等價無窮小的性質(zhì)設(shè)，且存在，則.注：這個性質(zhì)表白：求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替，因此我們可以運(yùn)用這個性質(zhì)來簡化求極限問題。例題：1.求

解答：當(dāng)x→0時，sinax∽ax，tanbx∽bx，故：例題：2.求解答：注：注：從這個例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時，要代換式中的某一項(xiàng)，不能只代換某個因子。函數(shù)的一重要性質(zhì)——連續(xù)性在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個概念——增量設(shè)變量x從它的一個初值x1變到終值x2，終值與初值的差x2-x1就叫做變量x的增量，記為：△x即：△x=x2-x1增量△x可正可負(fù).我們再來看一個例子：函數(shù)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在領(lǐng)域內(nèi)從x0變到x0+△x時，函數(shù)y相應(yīng)地從變到，其相應(yīng)的增量為：這個關(guān)系式的幾何解釋如下圖：現(xiàn)在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：假如當(dāng)△x趨向于零時，函數(shù)y相應(yīng)的增量△y也趨向于零，即：，那末就稱函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)。函數(shù)連續(xù)性的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某個鄰域內(nèi)有定義，假如有稱函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，且稱x0為函數(shù)的的連續(xù)點(diǎn).下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b]內(nèi)有定義，假如左極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數(shù)在點(diǎn)b左連續(xù).設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b)內(nèi)有定義，假如右極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數(shù)在點(diǎn)a右連續(xù).一個函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點(diǎn)連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點(diǎn)右連續(xù)，b點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，假如在整個定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。注：一個函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù).注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時我們可以想到若函數(shù)在某一點(diǎn)要是不連續(xù)會出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學(xué)習(xí)這個問題：函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱之為間斷點(diǎn).

它涉及三種情形：a)：在x0無定義；b)：在x→x0時無極限；c)：在x→x0時有極限但不等于；下面我們通過例題來學(xué)習(xí)一下間斷點(diǎn)的類型：例1：正切函數(shù)在處沒有定義，所以點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，因，我們就稱為函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)；例2：函數(shù)在點(diǎn)x=0處沒有定義；故當(dāng)x→0時，函數(shù)值在-1與+1之間變動無限多次，我們就稱點(diǎn)x=0叫做函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)；

例3：函數(shù)當(dāng)x→0時，左極限，右極限，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點(diǎn)x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)x=0時，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)；我們把上述三種間斷點(diǎn)用幾何圖形表達(dá)出來如下:間斷點(diǎn)的分類我們通常把間斷點(diǎn)提成兩類：假如x0是函數(shù)的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)；不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn).可去間斷點(diǎn)若x0是函數(shù)的間斷點(diǎn)，但極限存在，那末x0是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)。此時函數(shù)不連續(xù)因素是：不存在或者是存在但≠。我們令，則可使函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，故這種間斷點(diǎn)x0稱為可去間斷點(diǎn)。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性我們通過函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則，可得出以下結(jié)論：a)：有限個在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和是一個在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；b)：有限個在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；c)：兩個在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的商是一個在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)(分母在該點(diǎn)不為零)；反函數(shù)的連續(xù)性若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或單調(diào)減)且連續(xù)，那末它的反函數(shù)也在相應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增(單調(diào)減)且連續(xù)例：函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增且連續(xù)，故它的反函數(shù)在閉區(qū)間[-1,1]上也是單調(diào)增且連續(xù)的。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)當(dāng)x→x0時的極限存在且等于a，即：.而函數(shù)在點(diǎn)u=a連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)當(dāng)x→x0時的極限也存在且等于.即：例題：求解答：注：函數(shù)可看作與復(fù)合而成，且函數(shù)在點(diǎn)u=e連續(xù)，因此可得出上述結(jié)論。設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x=x0連續(xù)，且，而函數(shù)在點(diǎn)u=u0連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x=x0也是連續(xù)的初等函數(shù)的連續(xù)性通過前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點(diǎn)右連續(xù)，右端點(diǎn)左連續(xù).對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾條重要的性質(zhì)，下面我們來學(xué)習(xí)一下：

最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。(在此不作證明)

例：函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間[0，2π]上連續(xù)，則在點(diǎn)x=π/2處，它的函數(shù)值為1，且大于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點(diǎn)出的函數(shù)值；則在點(diǎn)x=3π/2處，它的函數(shù)值為-1，且小于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點(diǎn)出的函數(shù)值。介值定理

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值間的任何值。即：，μ在α、β之間，則在[a，b]間一定有一個ξ，使

推論：

在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。二、導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的概念在學(xué)習(xí)到數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學(xué)中變速直線運(yùn)動的瞬時速度的問題。例：設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動時，其位置x是時間t的函數(shù)，，求質(zhì)點(diǎn)在t0的瞬時速度？我們知道時間從t0有增量△t時，質(zhì)點(diǎn)的位置有增量，這就是質(zhì)點(diǎn)在時間段△t的位移。因此，在此段時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度為：.若質(zhì)點(diǎn)是勻速運(yùn)動的則這就是在t0的瞬時速度，若質(zhì)點(diǎn)是非勻速直線運(yùn)動，則這還不是質(zhì)點(diǎn)在t0時的瞬時速度。我們認(rèn)為當(dāng)時間段△t無限地接近于0時，此平均速度會無限地接近于質(zhì)點(diǎn)t0時的瞬時速度，即：質(zhì)點(diǎn)在t0時的瞬時速度=為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的定義，如下：導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量△x(x+△x也在該鄰域內(nèi))時，相應(yīng)地函數(shù)有增量，若△y與△x之比當(dāng)△x→0時極限存在，則稱這個極限值為在x0處的導(dǎo)數(shù)。記為：還可記為：，函數(shù)在點(diǎn)x0處存在導(dǎo)數(shù)簡稱函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。這時函數(shù)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個擬定的x值，都相應(yīng)著一個擬定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們就稱這個函數(shù)為本來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。

注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限左、右導(dǎo)數(shù)前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的左導(dǎo)數(shù)。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的右導(dǎo)數(shù)。注：函數(shù)在x0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)在x0處的可導(dǎo)的充足必要條件函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則函數(shù)的和差求導(dǎo)法則

法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差).用公式可寫為：。其中u、v為可導(dǎo)函數(shù)。例題：已知，求解答：例題：已知，求解答：函數(shù)的積商求導(dǎo)法則常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：在求一個常數(shù)與一個可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號外面去。用公式可寫成：例題：已知，求解答：函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個因子，加上第一個因子乘第二個因子的導(dǎo)數(shù)。用公式可寫成：例題：已知，求解答：注：若是三個函數(shù)相乘，則先把其中的兩個當(dāng)作一項(xiàng)。函數(shù)的商的求導(dǎo)法則法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成：例題：已知，求解答：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來看一個例子!例題：求=?解答：由于，故

這個解答對的嗎?這個解答是錯誤的，對的的解答應(yīng)當(dāng)如下：我們發(fā)生錯誤的因素是是對自變量x求導(dǎo)，而不是對2x求導(dǎo)。下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則規(guī)則：兩個可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。用公式表達(dá)為：，其中u為中間變量例題：已知，求解答：設(shè),則可分解為,因此注：在以后解題中，我們可以中間環(huán)節(jié)省去。例題：已知，求

解答：反函數(shù)求導(dǎo)法則根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù),它也是單調(diào)連續(xù)的.為此我們可給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則，如下(我們以定理的形式給出)：定理：若是單調(diào)連續(xù)的，且，則它的反函數(shù)在點(diǎn)x可導(dǎo)，且有：注：通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。注：這里的反函數(shù)是以y為自變量的，我們沒有對它作記號變換。即：是對y求導(dǎo)，是對x求導(dǎo)例題：求的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：例題：求的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：高階導(dǎo)數(shù)我們知道，在物理學(xué)上變速直線運(yùn)動的速度v(t)是位置函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)，即：，而加速度a又是速度v對時間t的變化率，即速度v對時間t的導(dǎo)數(shù)：，或。這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做s對t的二階導(dǎo)數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義：定義：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是x的函數(shù).我們把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或，即：或.相應(yīng)地，把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，…，一般地(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).分別記作：，，…，或，，…，二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。由此可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階導(dǎo)數(shù)時可運(yùn)用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法。例題：已知，求

解答：由于=a，故=0例題：求對數(shù)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。解答：，，，，一般地，可得隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則我們知道用解析法表達(dá)函數(shù)，可以有不同的形式.若函數(shù)y可以用含自變量x的算式表達(dá)，像y=sinx，y=1+3x等，這樣的函數(shù)叫顯函數(shù).前面我們所碰到的函數(shù)大多都是顯函數(shù).一般地，假如方程F(x,y)=0中，令x在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時，相應(yīng)地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說方程F(x,y)=0在該區(qū)間上擬定了x的隱函數(shù)y.把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式，叫做隱函數(shù)的顯化。注：有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的，那么在求其導(dǎo)數(shù)時該如何呢？下面讓我們來解決這個問題！隱函數(shù)的求導(dǎo)若已知F(x,y)=0，求時，一般按下列環(huán)節(jié)進(jìn)行求解：a)：若方程F(x,y)=0，能化為的形式，則用前面我們所學(xué)的方法進(jìn)行求導(dǎo)；b)：若方程F(x,y)=0，不能化為的形式，則是方程兩邊對x進(jìn)行求導(dǎo)，并把y當(dāng)作x的函數(shù)，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行。例題：已知，求解答：此方程不易顯化，故運(yùn)用隱函數(shù)求導(dǎo)法.兩邊對x進(jìn)行求導(dǎo)，，，故=

注：我們對隱函數(shù)兩邊對x進(jìn)行求導(dǎo)時，一定要把變量y當(dāng)作x的函數(shù)，然后對其運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。例題：求隱函數(shù)，在x=0處的導(dǎo)數(shù)解答：兩邊對x求導(dǎo)，故，當(dāng)x=0時，y=0.故。有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時，若對其直接求導(dǎo)有時很不方便，像對某些冪函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時，有沒有一種比較直觀的方法呢？下面我們再來學(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法：對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)的法則：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，對某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對數(shù)，然后在求導(dǎo)。注：此方法特別合用于冪函數(shù)的求導(dǎo)問題。例題：已知x＞0，求此題若對其直接求導(dǎo)比較麻煩，我們可以先對其兩邊取自然對數(shù)，然后再把它當(dāng)作隱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，就比較簡便些。如下解答：先兩邊取對數(shù)：，把其當(dāng)作隱函數(shù)，再兩邊求導(dǎo)由于，所以例題：已知，求此題可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，但是比較麻煩，下面我們運(yùn)用對數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo)解答：先兩邊取對數(shù)再兩邊求導(dǎo)由于，所以函數(shù)的微分學(xué)習(xí)函數(shù)的微分之前，我們先來分析一個具體問題：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時，其邊長由x0變到了x0+△x，則此薄片的面積改變了多少？解答：設(shè)此薄片的邊長為x，面積為A，則A是x的函數(shù)：薄片受溫度變化的影響面積的改變量，可以當(dāng)作是當(dāng)自變量x從x0取的增量△x時，函數(shù)A相應(yīng)的增量△A，即：。從上式我們可以看出，△A提成兩部分，第一部分是△x的線性函數(shù)，即下圖中紅色部分；第二部分即圖中的黑色部分，當(dāng)△x→0時，它是△x的高階無窮小，表達(dá)為：由此我們可以發(fā)現(xiàn)，假如邊長變化的很小時，面積的改變量可以近似的用地一部分來代替。下面我們給出微分的數(shù)學(xué)定義：函數(shù)微分的定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+△x在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表達(dá)為，其中A是不依賴于△x的常數(shù)，是△x的高階無窮小，則稱函數(shù)在點(diǎn)x0可微的。叫做函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量△x的微分，記作dy，即：=。通過上面的學(xué)習(xí)我們知道：微分是自變量改變量△x的線性函數(shù)，dy與△y的差是關(guān)于△x的高階無窮小量，我們把dy稱作△y的線性主部。于是我們又得出：當(dāng)△x→0時，△y≈dy.導(dǎo)數(shù)的記號為：，現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn)，它不僅表達(dá)導(dǎo)數(shù)的記號，并且還可以表達(dá)兩個微分的比值(把△x當(dāng)作dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分)，還可表達(dá)為：由此我們得出：若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立。微分形式不變性

什么是微分形式不邊形呢？

設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的微分為：

，

由于，故我們可以把復(fù)合函數(shù)的微分寫成

由此可見，不管u是自變量還是中間變量，的微分dy總可以用與du的乘積來表達(dá)，

我們把這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。

例題：已知，求dy

解答：把2x+1當(dāng)作中間變量u，根據(jù)微分形式不變性，則

通過上面的學(xué)習(xí)，我們知道微分與導(dǎo)數(shù)有著不可分割的聯(lián)系，前面我們知道基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)

的運(yùn)算法則，那么基本初等函數(shù)的微分公式和微分運(yùn)算法則是如何的呢？

下面我們來學(xué)習(xí)———基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運(yùn)算法則基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運(yùn)算法則基本初等函數(shù)的微分公式

由于函數(shù)微分的表達(dá)式為：，于是我們通過基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式可得出基本初等函數(shù)微分的公式，下面我們用表格來把基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與微分公式對比一下：(部分公式)導(dǎo)數(shù)公式微分公式微分運(yùn)算法則

由函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，可推出相應(yīng)的微分法則.為了便于理解，下面我們用表格來把微分的運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則對照一下：函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則

復(fù)合函數(shù)的微分法則就是前面我們學(xué)到的微分形式不變性，在此不再詳述。

例題：設(shè)，求對x3的導(dǎo)數(shù)

解答：根據(jù)微分形式的不變性

微分的應(yīng)用

微分是表達(dá)函數(shù)增量的線性主部.計算函數(shù)的增量，有時比較困難，但計算微分則比較簡樸，為此我們用函數(shù)的微分來近似的代替函數(shù)的增量，這就是微分在近似計算中的應(yīng)用.

例題：求的近似值。

解答：我們發(fā)現(xiàn)用計算的方法特別麻煩，為此把轉(zhuǎn)化為求微分的問題

故其近似值為1.025(精確值為1.024695)三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分學(xué)中值定理

在給出微分學(xué)中值定理的數(shù)學(xué)定義之前，我們先從幾何的角度看一個問題，如下：

設(shè)有連續(xù)函數(shù)，a與b是它定義區(qū)間內(nèi)的兩點(diǎn)(a＜b)，假定此函數(shù)在(a,b)處處可導(dǎo)，也就是在(a,b)內(nèi)的函數(shù)圖形上處處都由切線，那末我們從圖形上容易直到，

差商就是割線AB的斜率，若我們把割線AB作平行于自身的移動，那么至少有一次機(jī)會達(dá)成離割線最遠(yuǎn)的一點(diǎn)P(x=c)處成為曲線的切線，而曲線的斜率為，由于切線與割線是平行的，因此

成立。

注：這個結(jié)果就稱為微分學(xué)中值定理，也稱為拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理

假如函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使

成立。

這個定理的特殊情形，即：的情形，稱為羅爾定理。描述如下：

若在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使成立。

注：這個定理是羅爾在17世紀(jì)初，在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來的。

注：在此我們對這兩個定理不加以證明，若有什么疑問，請參考相關(guān)書籍

下面我們在學(xué)習(xí)一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理——柯西中值定理

柯西中值定理

假如函數(shù)，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且≠0，那末在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使成立。

例題：證明方程在0與1之間至少有一個實(shí)根

證明：不難發(fā)現(xiàn)方程左端是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

函數(shù)在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理

可知，在0與1之間至少有一點(diǎn)c，使，即

也就是：方程在0與1之間至少有一個實(shí)根未定式問題

問題：什么樣的式子稱作未定式呢？

答案：對于函數(shù),來說，當(dāng)x→a(或x→∞)時，函數(shù),都趨于零或無窮大

則極限也許存在，也也許不存在，我們就把式子稱為未定式。分別記為型

我們?nèi)菀字?，對于未定式的極限求法，是不能應(yīng)用"商的極限等于極限的商"這個法則來求解的，那么我們該如何求這類問題的極限呢？

下面我們來學(xué)習(xí)羅彼塔(L'Hospital)法則，它就是這個問題的答案

注：它是根據(jù)柯西中值定理推出來的。羅彼塔(L'Hospital)法則

當(dāng)x→a(或x→∞)時，函數(shù),都趨于零或無窮大，在點(diǎn)a的某個去心鄰域內(nèi)(或當(dāng)│x│＞N)時，與都存在，≠0，且存在

則：=

這種通過度子分母求導(dǎo)再來求極限來擬定未定式的方法，就是所謂的羅彼塔(L'Hospital)法則

注：它是以前求極限的法則的補(bǔ)充，以前運(yùn)用法則不好求的極限，可運(yùn)用此法則求解。

例題：求

解答：容易看出此題運(yùn)用以前所學(xué)的法則是不易求解的，由于它是未定式中的型求解問題，因此我們就可以運(yùn)用上面所學(xué)的法則了。

例題：求

解答：此題為未定式中的型求解問題，運(yùn)用羅彼塔法則來求解

此外，若碰到、、、、等型，通常是轉(zhuǎn)化為型后，在運(yùn)用法則求解。

例題：求

解答：此題運(yùn)用以前所學(xué)的法則是不好求解的，它為型，故可先將其轉(zhuǎn)化為型后在求解，

注：羅彼塔法則只是說明：對未定式來說，當(dāng)存在，則存在且兩者的極限相同；而并不是不存在時，也不存在，此時只是說明了羅彼塔法則存在的條件破列。函數(shù)單調(diào)性的鑒定法

函數(shù)的單調(diào)性也就是函數(shù)的增減性，如何才干判斷函數(shù)的增減性呢？

我們知道若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或減)，則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形上切線的斜率均為正(或負(fù)),也就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上均取正值(或負(fù)值).因此我們可通過鑒定函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來鑒定函數(shù)的增減性.鑒定方法：

設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).

a)：假如在(a,b)內(nèi)＞0，那末函數(shù)在[a,b]上單調(diào)增長；

b)：假如在(a,b)內(nèi)＜0，那末函數(shù)在[a,b]上單調(diào)減少.

例題：擬定函數(shù)的增減區(qū)間.

解答：容易擬定此函數(shù)的定義域?yàn)?－∞,＋∞)

其導(dǎo)數(shù)為：，因此可以判出：

當(dāng)x＞0時，＞0，故它的單調(diào)增區(qū)間為(0,＋∞)；

當(dāng)x＜0時，＜0，故它的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0)；

注：此鑒定方法若反過來講，則是不對的的。函數(shù)的極值及其求法

在學(xué)習(xí)函數(shù)的極值之前，我們先來看一例子：

設(shè)有函數(shù)，容易知道點(diǎn)x=1及x=2是此函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，又可知在點(diǎn)x=1左側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)增長的，在點(diǎn)x=1右側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)減小的.因此存在著點(diǎn)x=1的一個鄰域,對于這個鄰域內(nèi),任何點(diǎn)x(x=1除外)，＜均成立，點(diǎn)x=2也有類似的情況(在此不多說),為什么這些點(diǎn)有這些性質(zhì)呢？

事實(shí)上，這就是我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——函數(shù)的極值，函數(shù)極值的定義

設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，x0是(a,b)內(nèi)一點(diǎn).

若存在著x0點(diǎn)的一個鄰域，對于這個鄰域內(nèi)任何點(diǎn)x(x0點(diǎn)除外)，＜均成立，

則說是函數(shù)的一個極大值；

若存在著x0點(diǎn)的一個鄰域，對于這個鄰域內(nèi)任何點(diǎn)x(x0點(diǎn)除外)，＞均成立，

則說是函數(shù)的一個極小值.

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。

我們知道了函數(shù)極值的定義了，如何求函數(shù)的極值呢？

學(xué)習(xí)這個問題之前，我們再來學(xué)習(xí)一個概念——駐點(diǎn)

凡是使的x點(diǎn)，稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。

判斷極值點(diǎn)存在的方法有兩種：如下方法一：

設(shè)函數(shù)在x0點(diǎn)的鄰域可導(dǎo)，且.

情況一：若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時，＞0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時，＜0，

則函數(shù)在x0點(diǎn)取極大值。

情況一：若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時，＜0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時，＞0，

則函數(shù)在x0點(diǎn)取極小值。

注：此鑒定方法也合用于導(dǎo)數(shù)在x0點(diǎn)不存在的情況。

用方法一求極值的一般環(huán)節(jié)是：

a)：求；

b)：求的所有的解——駐點(diǎn)；

c)：判斷在駐點(diǎn)兩側(cè)的變化規(guī)律，即可判斷出函數(shù)的極值。

例題：求極值點(diǎn)

解答：先求導(dǎo)數(shù)

再求出駐點(diǎn)：當(dāng)時，x=-2、1、-4/5

鑒定函數(shù)的極值，如下圖所示

方法二：

設(shè)函數(shù)在x0點(diǎn)具有二階導(dǎo)數(shù)，且時.

則：a)：當(dāng)＜0，函數(shù)在x0點(diǎn)取極大值；

b)：當(dāng)＞0，函數(shù)在x0點(diǎn)取極小值；

c)：當(dāng)=0，其情形不一定，可由方法一來鑒定.

例題：我們?nèi)砸岳?為例，以比較這兩種方法的區(qū)別。

解答：上面我們已求出了此函數(shù)的駐點(diǎn)，下面我們再來求它的二階導(dǎo)數(shù)。

，故此時的情形不擬定，我們可由方法一來鑒定；

＜0，故此點(diǎn)為極大值點(diǎn)；

＞0，故此點(diǎn)為極小值點(diǎn)。函數(shù)的最大值、最小值及其應(yīng)用

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常會碰到這樣一類問題：在一定條件下，如何使"產(chǎn)品最多"、"用料最省"、"成本最低"等。

這類問題在數(shù)學(xué)上可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大值、最小值的問題。

如何求函數(shù)的最大值、最小值呢？前面我們已經(jīng)知道了，函數(shù)的極值是局部的。規(guī)定在[a,b]上的最大值、最小值時，可求出開區(qū)間(a,b)內(nèi)所有的極值點(diǎn)，加上端點(diǎn)的值，從中取得最大值、最小值即為所求。

例題：求函數(shù)，在區(qū)間[-3，3/2]的最大值、最小值。

解答：在此區(qū)間處處可導(dǎo)，

先來求函數(shù)的極值，故x=±1，

再來比較端點(diǎn)與極值點(diǎn)的函數(shù)值，取出最大值與最小值即為所求。

由于，，，

故函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為。

例題：圓柱形罐頭，高度H與半徑R應(yīng)如何配，使同樣容積下材料最??？

解答：由題意可知：為一常數(shù)，

面積

故在V不變的條件下，改變R使S取最小值。

故：時，用料最省。曲線的凹向與拐點(diǎn)

通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道由一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可以鑒定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，但是還不能進(jìn)一步研究曲線的性態(tài)，為此我們還要了解曲線的凹性。

定義：

對區(qū)間I的曲線作切線，假如曲線弧在所有切線的下面，則稱曲線在區(qū)間I下凹，假如曲線在切線的上面，稱曲線在區(qū)間I上凹。曲線凹向的鑒定定理

定理一：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，它相應(yīng)曲線是向上凹(或向下凹)的充足必要條件是：

導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)增(或單調(diào)減)。

定理二：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，并且具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；那末：

若在(a,b)內(nèi)，＞0，則在[a,b]相應(yīng)的曲線是下凹的；

若在(a,b)內(nèi)，＜0，則在[a,b]相應(yīng)的曲線是上凹的；

例題：判斷函數(shù)的凹向

解答：我們根據(jù)定理二來鑒定。

由于，所以在函數(shù)的定義域(0,+∞)內(nèi)，＜0，

故函數(shù)所相應(yīng)的曲線時下凹的。拐點(diǎn)的定義

連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點(diǎn)稱為此曲線上的拐點(diǎn)。拐定的鑒定方法

假如在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列環(huán)節(jié)來鑒定的拐點(diǎn)。

(1)：求；

(2)：令=0，解出此方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)實(shí)根；

(3)：對于(2)中解出的每一個實(shí)根x0，檢查在x0左、右兩側(cè)鄰近的符號，若符號相反，則此點(diǎn)是拐點(diǎn)，若相同，則不是拐點(diǎn)。

例題：求曲線的拐點(diǎn)。

解答：由，

令=0，得x=0，2/3

判斷在0，2/3左、右兩側(cè)鄰近的符號，可知此兩點(diǎn)皆是曲線的拐點(diǎn)。四、不定積分不定積分的概念原函數(shù)的概念

已知函數(shù)f(x)是一個定義在某區(qū)間的函數(shù)，假如存在函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)都有

dF'(x)=f(x)dx，

則在該區(qū)間內(nèi)就稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)。

例：sinx是cosx的原函數(shù)。

關(guān)于原函數(shù)的問題

函數(shù)f(x)滿足什么條件是，才保證其原函數(shù)一定存在呢？這個問題我們以后來解決。若其存在原函數(shù)，那末原函數(shù)一共有多少個呢？

我們可以明顯的看出來：若函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)，

即：F"(x)=f(x)，

則函數(shù)族F(x)+C(C為任一個常數(shù)）中的任一個函數(shù)一定是f(x)的原函數(shù)，

故：若函數(shù)f(x)有原函數(shù)，那末其原函數(shù)為無窮多個.

不定積分的概念

函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分，

記作。

由上面的定義我們可以知道：假如函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，那末f(x)的不定積分就是函數(shù)族

F(x)+C.

即:=F(x)+C

例題：求：.

解答：由于，故=

不定積分的性質(zhì)

1、函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和；

即：

2、求不定積分時，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來，

即：求不定積分的方法換元法

換元法（一）：設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u)，u=g(x)可導(dǎo)，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函數(shù).

即有換元公式:

例題：求

解答：這個積分在基本積分表中是查不到的，故我們要運(yùn)用換元法。

設(shè)u=2x，那末cos2x=cosu，du=2dx，因此：

換元法（二）：設(shè)x=g(t)是單調(diào)的，可導(dǎo)的函數(shù)，并且g'(t)≠0，又設(shè)f[g(t)]g'(t)具有原函數(shù)φ(t)，

則φ[g(x)]是f(x)的原函數(shù).(其中g(shù)(x)是x=g(t)的反函數(shù)）

即有換元公式:

例題：求

解答：這個積分的困難在于有根式，但是我們可以運(yùn)用三角公式來換元.

設(shè)x=asint(-π/2<t<π/2)，那末，dx=acostdt,于是有：

關(guān)于換元法的問題

不定積分的換元法是在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上得來的，我們應(yīng)根據(jù)具體實(shí)例來選擇所用的方法，求不定積分不象求導(dǎo)那樣有規(guī)則可依，因此要想純熟的求出某函數(shù)的不定積分，只有作大量的練習(xí)。

分部積分法

這種方法是運(yùn)用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則得來的。

設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).我們知道，兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式為：

(uv)'=u'v+uv'，移項(xiàng)，得

uv'=(uv)'-u'v，對其兩邊求不定積分得：

，

這就是分部積分公式

例題：求

解答：這個積分用換元法不易得出結(jié)果，我們來運(yùn)用分部積分法。

設(shè)u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部積分公式得：

關(guān)于分部積分法的問題

在使用分部積分法時，應(yīng)恰當(dāng)?shù)倪x取u和dv，否則就會南轅北轍。選取u和dv一般要考慮兩點(diǎn)：

(1)v要容易求得；

(2)容易積出。幾種特殊類型函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)的積分舉例

有理函數(shù)是指兩個多項(xiàng)式的商所表達(dá)的函數(shù)，當(dāng)分子的最高項(xiàng)的次數(shù)大于分母最高項(xiàng)的次數(shù)時稱之為假分式，

反之為真分式。

在求有理函數(shù)的不定積分時，若有理函數(shù)為假分式應(yīng)先運(yùn)用多項(xiàng)式的除法，把一個假分式化成一個多項(xiàng)式和一個真分式之和的形式，然后再求之。

例題：求

解答：

關(guān)于有理函數(shù)積分的問題

有理函數(shù)積分的具體方法請大家參照有關(guān)書籍，請諒。

三角函數(shù)的有理式的積分舉例

三角函數(shù)的有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)通過有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)。

例題：求

解答：

關(guān)于三角函數(shù)的有理式的積分的問題

任何三角函數(shù)都可用正弦與余弦函數(shù)表出，故變量代換u=tan(x/2)對三角函數(shù)的有理式的積分應(yīng)用，在此我

們不再舉例。

簡樸無理函數(shù)的積分舉例

例題：求

解答：設(shè)，于是x=u2+1，dx=2udu，從而所求積分為：

五、定積分及其應(yīng)用定積分的概念

我們先來看一個實(shí)際問題———求曲邊梯形的面積。

設(shè)曲邊梯形是有連續(xù)曲線y=f(x)、x軸與直線x=a、x=b所圍成。如下圖所示：

現(xiàn)在計算它的面積A.我們知道矩形面積的求法，但是此圖形有一邊是一條曲線，該如何求呢？

我們知道曲邊梯形在底邊上各點(diǎn)處的高f(x)在區(qū)間[a,b]上變動，并且它的高是連續(xù)變化的，因此在很小的一段區(qū)間的變化很小，近似于不變，并且當(dāng)區(qū)間的長度無限縮小時，高的變化也無限減小。因此，假如把區(qū)間[a,b]提成許多社區(qū)間，在每個社區(qū)間上，用其中某一點(diǎn)的高來近似代替同一個社區(qū)間上的窄曲變梯形的變高，我們再根據(jù)矩形的面積公式，即可求出相應(yīng)窄曲邊梯形面積的近似值，從而求出整個曲邊梯形的近似值。

顯然：把區(qū)間[a,b]分的越細(xì)，所求出的面積值越接近于精確值。為此我們產(chǎn)生了定積分的概念。

定積分的概念

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個分點(diǎn)

a=x0<x1<...<xn-1<xn=b

把區(qū)間[a,b]提成n個社區(qū)間

[x0，x1]，...[xn-1,xn],

在每個社區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點(diǎn)ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函數(shù)值f(ξi)與社區(qū)間長度的乘積f(ξi)△xi，

并作出和，

假如不管對[a,b]如何分法，也不管在社區(qū)間上的點(diǎn)ξi如何取法，只要當(dāng)區(qū)間的長度趨于零時，和S總趨于擬定的極限I，

這時我們稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，

記作。

即：

關(guān)于定積分的問題

我們有了定積分的概念了，那么函數(shù)f(x)滿足什么條件時才可積？

定理（1）：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。

（2）：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。

定積分的性質(zhì)

性質(zhì)(1)：函數(shù)的和(差)得定積分等于它們的定積分的和(差）.

即：

性質(zhì)(2)：被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面.

即：

性質(zhì)(3)：假如在區(qū)間[a,b]上，f(x)≤g(x)，則≤

（a<b)

性質(zhì)(4)：設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，則m(b-a)≤≤M(b-a)

性質(zhì)(5)：假如f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一點(diǎn)ξ，使下式成立：

=f(ξ)(b-a)

注：此性質(zhì)就是定積分中值定理。微積分積分公式積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且設(shè)x為[a,b]上的一點(diǎn).現(xiàn)在我們來考察f(x)在部分區(qū)間[a,x]上的定積分,我們知道f(x)在[a,x]上依舊連續(xù)，因此此定積分存在。

假如上限x在區(qū)間[a,b]上任意變動，則對于每一個取定的x值，定積分有一個相應(yīng)值，所以它在[a,b]上定義了一個函數(shù)，記作φ(x):

注意：為了明確起見，我們改換了積分變量（定積分與積分變量的記法無關(guān)）

定理(1)：假如函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在[a,b]上具有導(dǎo)數(shù)，

并且它的導(dǎo)數(shù)是

（a≤x≤b)

(2)：假如函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)就是f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù)。

注意：定理（2）即肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，又初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。牛頓--萊布尼茲公式

定理(3)：假如函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù)，則

注意：此公式被稱為牛頓-萊布尼茲公式，它進(jìn)一步揭示了定積分與原函數(shù)(不定積分）之間的聯(lián)系。

它表白：一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于它的任一個原函數(shù)再去見[a,b]上的增量。因此它就

給定積分提供了一個有效而簡便的計算方法。

例題：求

解答：我們由牛頓-萊布尼茲公式得：

注意：通常也把牛頓--萊布尼茲公式稱作微積分基本公式。定積分的換元法與分部積分法定積分的換元法

我們知道求定積分可以轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的增量，在前面我們又知道用換元法可以求出一些函數(shù)的原函數(shù)。因此，在一定條件下，可以用換元法來計算定積分。

定理：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；函數(shù)g(t)在區(qū)間[m,n]上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；當(dāng)t在區(qū)間[m,n]上變化時，x=g(t)的值在[a,b]上變化，且g(m)=a,g(n)=b；則有定積分的換元公式:

例題:計算

解答:設(shè)x=asint,則dx=acostdt,且當(dāng)x=0時，t=0；當(dāng)x=a時，t=π/2.于是：

注意：在使用定積分的換元法時，當(dāng)積分變量變換時，積分的上下限也要作相應(yīng)的變換。

定積分的分部積分法

計算不定積分有分部積分法，相應(yīng)地，計算定積分也有分部積分法。

設(shè)u(x)、v(x)在區(qū)間[a,b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u'(x)、v'(x)，則有(uv)'=u'v+uv',分別求此等式兩端在[a,b]上的定積分，并移向得：

上式即為定積分的分部積分公式。

例題：計算

解答：設(shè)，且當(dāng)x=0時，t=0；當(dāng)x=1時，t=1.由前面的換元公式得：

再用分部積分公式計算上式的右端的積分。設(shè)u=t,dv=etdt,則du=dt,v=et.于是：

故：廣義積分

在一些實(shí)際問題中，我們常碰到積分區(qū)間為無窮區(qū)間，或者被積函數(shù)在積分區(qū)間上具有無窮間斷點(diǎn)的積分，它們已不屬于前面我們所學(xué)習(xí)的定積分了。為此我們對定積分加以推廣，也就是———廣義積分。

一：積分區(qū)間為無窮區(qū)間的廣義積分

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,+∞)上連續(xù)，取b>a.假如極限

存在，

則此極限叫做函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a,+∞）上的廣義積分，

記作：，

即：=.

此時也就是說廣義積分收斂。假如上述即先不存在，則說廣義積分發(fā)散，此時雖然用同樣的記號，但它已不表達(dá)數(shù)值了。

類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞，b]上連續(xù)，取a<b.假如極限

存在，

則此極限叫做函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-∞，b]上的廣義積分，

記作：，

即：=.

此時也就是說廣義積分收斂。假如上述極限不存在，就說廣義積分發(fā)散。

假如廣義積分和都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-∞,+∞)上的廣義積分，

記作：，

即：=

上述廣義積分統(tǒng)稱積分區(qū)間為無窮的廣義積分。

例題：計算廣義積分

解答：二：積分區(qū)間有無窮間斷點(diǎn)的廣義積分

設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù)，而.取ε>0，假如極限

存在，則極限叫做函數(shù)f(x)在(a,b]上的廣義積分，

仍然記作：.

即：=，

這時也說廣義積分收斂.假如上述極限不存在，就說廣義積分發(fā)散。

類似地，設(shè)f(x)在[a,b)上連續(xù)，而.取ε>0，假如極限

存在，

則定義=；

否則就說廣義積分發(fā)散。

又，設(shè)f(x)在[a,b]上除點(diǎn)c(a<c<b)外連續(xù)，而.假如兩個廣義積分和都收斂，

則定義：=+.

否則就說廣義積分發(fā)散。

例題：計算廣義積分(a>0)

解答：由于，所以x=a為被積函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)，于是我們有上面所學(xué)得公式可得：

六、空間解析幾何空間直角坐標(biāo)系空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)系

為了溝通空間圖形與數(shù)的研究，我們需要建立空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間的聯(lián)系，為此我們通過引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系來實(shí)現(xiàn)。

過定點(diǎn)O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點(diǎn)且一般具有相同的長度單位.這三條軸分別叫做x軸(橫軸）、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)；統(tǒng)稱坐標(biāo)軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以π/2角度轉(zhuǎn)向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向，這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)。（如下圖所示）

三條坐標(biāo)軸中的任意兩條可以擬定一個平面，這樣定出的三個平面統(tǒng)稱坐標(biāo)面。

取定了空間直角坐標(biāo)系后，就可以建立起空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間的相應(yīng)關(guān)系。

例：設(shè)點(diǎn)M為空間一已知點(diǎn).我們過點(diǎn)M作三個平面分別垂直于x軸、y軸、z軸，它們與x軸、y軸、z軸的交點(diǎn)依次為P、Q、R，這三點(diǎn)在x軸、y軸、z軸的坐標(biāo)依次為x、y、z.于是空間的一點(diǎn)M就唯一的擬定了一個有序數(shù)組x,y,z.這組數(shù)x,y,z就叫做點(diǎn)M的坐標(biāo)，并依次稱x,y和z為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)。(如下圖所示）

坐標(biāo)為x,y,z的點(diǎn)M通常記為M(x,y,z).

這樣，通過空間直角坐標(biāo)系，我們就建立了空間的點(diǎn)M和有序數(shù)組x,y,z之間的一一相應(yīng)關(guān)系。

注意：坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，其坐標(biāo)各有一定的特性.

例：假如點(diǎn)M在yOz平面上，則x=0；同樣，zOx面上的點(diǎn)，y=0；假如點(diǎn)M在x軸上，則y=z=0；假如M是原點(diǎn)，

則x=y=z=0，等。

空間兩點(diǎn)間的距離

設(shè)M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)為空間兩點(diǎn)，為了用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表達(dá)它們間的距離d我們有公式：

例題：證明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂點(diǎn)的三角形△ABC是一等腰三角形.

解答：由兩點(diǎn)間距離公式得：

由于，所以△ABC是一等腰三角形方向余弦與方向數(shù)

解析幾何中除了兩點(diǎn)間的距離外，尚有一個最基本的問題就是如何擬定有向線段的或有向直線的方向。

方向角與方向余弦

設(shè)有空間兩點(diǎn)，若以P1為始點(diǎn)，另一點(diǎn)P2為終點(diǎn)的線段稱為有向線段.記作.通過原點(diǎn)作一與其平行且同向的有向線段.將與Ox,Oy,Oz三個坐標(biāo)軸正向夾角分別記作α,β,γ.這三個角α,β,γ稱為有向線段的方向角.其中0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π.

關(guān)于方向角的問題

若有向線段的方向擬定了，則其方向角也是唯一擬定的。

方向角的余弦稱為有向線段或相應(yīng)的有向線段的方向余弦。

設(shè)有空間兩點(diǎn)，則其方向余弦可表達(dá)為：

從上面的公式我們可以得到方向余弦之間的一個基本關(guān)系式：

注意：從原點(diǎn)出發(fā)的任一單位的有向線段的方向余弦就是其端點(diǎn)坐標(biāo)。

方向數(shù)

方向余弦可以用來擬定空間有向直線的方向，但是，假如只需要擬定一條空間直線的方位(一條直線的兩個方向均擬定著同一方位)，那末就不一定需要知道方向余弦，而只要知道與方向余弦成比例的三個數(shù)就可以了。這三個與方向余弦成比例且不全為零的數(shù)A，B，C稱為空間直線的方向數(shù)，記作：{A，B，C}.即：

據(jù)此我們可得到方向余弦與方向數(shù)的轉(zhuǎn)換公式：

，，

其中：根式取正負(fù)號分別得到兩組方向余弦，它們代表兩個相反的方向。

關(guān)于方向數(shù)的問題

空間任意兩點(diǎn)坐標(biāo)之差就是聯(lián)結(jié)此兩點(diǎn)直線的一組方向數(shù)。

兩直線的夾角

設(shè)L1與L2是空間的任意兩條直線，它們也許相交，也也許不相交.通過原點(diǎn)O作平行與兩條直線的線段.則線段的夾角稱為此兩直線L1與L2的夾角.

若知道L1與L2的方向余弦則有公式為：

其中：θ為兩直線的夾角。

若知道L1與L2的方向數(shù)則有公式為：

兩直線平行、垂直的條件

兩直線平行的充足必要條件為：

兩直線垂直的充足必要條件為：

平面與空間直線平面及其方程

我們把與一平面垂直的任一直線稱為此平面的法線。

設(shè)給定點(diǎn)為Po(x0,y0,z0