線性最優(yōu)控制

線性最優(yōu)控制第1頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

一、線性調(diào)節(jié)器

這一節(jié)討論一般線性調(diào)節(jié)器，即有限時(shí)間調(diào)節(jié)器問題。首先討論狀態(tài)調(diào)節(jié)器，然后討論輸出調(diào)節(jié)器，再討論有補(bǔ)償輸入的態(tài)調(diào)節(jié)器。1．狀態(tài)調(diào)節(jié)器給定受控系統(tǒng)狀態(tài)方程 (4·1—1)

和性能指標(biāo)

(4·l—2)第2頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日其中：x(t)是n維狀態(tài)矢量u(t)是m維控制矢量；A(t)、B(t)分別是n×n、n×m階時(shí)變矩陣，它們的元在時(shí)間區(qū)間都是t的分段連續(xù)函數(shù)；是n×n階半正定對(duì)稱定常矩陣；Q(t)是n×n階半正定對(duì)稱時(shí)變矩陣；R(t)是m×m階正定對(duì)稱時(shí)變矩陣；端點(diǎn)時(shí)間和固定。這個(gè)性能指標(biāo)的物理含意是很清楚的，第一項(xiàng)表示對(duì)終端誤差的限制，積分號(hào)下第一項(xiàng)表示在控制過程中對(duì)誤差的限制；第二項(xiàng)表示在控制過程中對(duì)消耗的能量的限制。假設(shè)u(t)不受限制，—要求尋找最優(yōu)控制u*(t)，使性能指標(biāo)J取極小。這樣的最優(yōu)控制問題稱為狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題。下面，我們利用極小值原理來求解這個(gè)問題。容易看出，關(guān)于方程(4·1—1)和(4．1—4)的哈米爾登函數(shù)是第3頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日伴隨方程是 (4．1—3)已知u(t)不受限制，利用極小值原理，得到控制方程為

已知R(t)正定，因此，存在，求解上式，得到最優(yōu)控制，即

(4。1—4)又由于

是一正定矩陣，因此，式(4·1—4)表示的控制的確使哈米爾登函數(shù)H取極小。第4頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

式(4。1—4)指出，最優(yōu)控制u*(t)是的線性函數(shù)。要求出u*(t)必需計(jì)算。但是，我們的目的是要建立閉環(huán)控制，這就需要把u*(t)表示成狀態(tài)x(t)的函數(shù)。下面，我們來尋找，并把它表示成x(t)的函數(shù)，這樣求出的最優(yōu)控制是線性時(shí)變反饋的形式。在這里求最優(yōu)反饋控制有3種方法：1)轉(zhuǎn)移矩陣法，2)掃掠法；3）s-域法。這里只介紹第—種方法。將式(4．1—4)代入式(4．1—4)，再同式(4．1—3)聯(lián)立，得到規(guī)范方程

或

(4。1—5)這個(gè)問題的橫截條件是第5頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

(4·1—6)下面用表示線性時(shí)變系統(tǒng)(4。3—5)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。于是，齊次狀態(tài)方程(4·1—5)的解可以表示為

式中是協(xié)狀態(tài)矢量的初始值。在終端時(shí)間，有

利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)

因此有

第6頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日 (4·1—7)將2n×2n階矩陣分解成4個(gè)n×n階子矩陣，即

再將方程(4。1—7)展開，得到下面兩個(gè)方程： (4·1—8) (4·1—9)將方程(4·l—9)的兩邊分別減方程(4．1—8)前乘以矩陣F后的方程的兩邊，并利用橫截條件(4·1—6)，可得

令 (4·1—20)第7頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日得到 (4·1—11)式中P(t)是一n×n階時(shí)變矩陣，它與終端時(shí)間以及矩陣F有關(guān)。當(dāng)t＝時(shí)，上式變成

將它同方程(4·1—6)相比較，得到

將式(4·1—11)代入式(4·1—4)，得令 (4·1—12) 方程(4·1—12)變成 (4·1—13)上式表明：我們求出的最優(yōu)控制是狀態(tài)矢量的線性函數(shù)。其中K(t)是一m×n階時(shí)變矩陣、叫做增益矩陣。由方程(4·1—1)和(4·1—13)可建立線性最優(yōu)調(diào)節(jié)器由環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，如圖4—1所示。第8頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第9頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

圖4—1總結(jié)以上分析容易看出：設(shè)計(jì)最優(yōu)調(diào)節(jié)器在于確定增益矩陣K(6)，要確定K(t)需要計(jì)算矩陣P(t)。但是，如果直接利用方程(4·1—10)來計(jì)算，是很麻煩的，也不便于更深一步地研究最優(yōu)調(diào)節(jié)器的性質(zhì)。因此，有必要尋找另外計(jì)算P(t)的方法。把方程(4·1—11)代入規(guī)范方程(4·1—5)，得 (4·1—14)

(4。1—15)對(duì)方程(4·1—1I)兩邊求導(dǎo)。得 (4·1—16)將方程(4·1—14)、(4·1—15)代入方程(4·1—16)，整理以后可得

上式左邊對(duì)任意：x(t)都等于零，因此，方括弧內(nèi)的矩陣必等于零。于是得到 (4·1—17)這是一個(gè)非線性時(shí)變矩陣微分方程，稱為黎卡提(Reccati)方程第10頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日它的邊界條件是 (4·1—18)這樣一來，設(shè)計(jì)最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題就變成求解黎卡提方程。黎卡提方程包括個(gè)—階非線性時(shí)變微分方程。下面，我們來證明矩陣P(門是對(duì)稱矩陣，利用它的對(duì)稱性質(zhì)，就只需要解n(n+1)／2個(gè)方程。將方程(4·1—17)兩邊轉(zhuǎn)置，考慮到Q(t)、R(t)都是對(duì)稱矩陣，可得 (4·1一19)再對(duì)式(4。1—18)兩邊取轉(zhuǎn)置，并注意到F是對(duì)稱矩陣，可得 (4·1—20)比較方程(4·1—17)、(4·1—1同方程(4·1—19)、(4．1—20)，容易看出，矩陣P(t)和滿足完全相同的微分方程式和完全相同的邊界條件。根據(jù)微分方程解的唯一性，得到

即矩陣P(t)是對(duì)稱矩陣。回憶最優(yōu)調(diào)節(jié)器(4·1—12)的推導(dǎo)過程，可知它是根據(jù)必要條第11頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日件得出的。下面我們來證明這個(gè)結(jié)果也是充分的，并且性能指標(biāo)的最小值為

由矩陣和向量求導(dǎo)法則，有

將方程(4·1—1)積(4·1—17)代入上式，再加、減項(xiàng)，進(jìn)行配方，并注意到P(t)的對(duì)稱性，經(jīng)過整理以后，可得

對(duì)上式兩邊積分，得到第12頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日將上式兩邊分別除以2，再利用方程(4·1—2)和(4·1—18)，可得

由于R(t)正定，因此，上式右邊的積分必大于或等于零。只有當(dāng)

時(shí)積分值為零，且J達(dá)到極小。這就證明了最優(yōu)調(diào)節(jié)器(4·1—12)的充分性。同時(shí)，得到性能指標(biāo)的極小值為

上式表明，J*是初始狀態(tài)和初始時(shí)間的函數(shù)，因此，可以寫成：

第13頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

小結(jié)

總結(jié)以上討論，得到如下結(jié)果，線性最優(yōu)調(diào)節(jié)器的最優(yōu)控制律是狀態(tài)矢量的線性函數(shù)，即

式中

它是m×n階時(shí)變增益矩陣；P(t)是n×n階對(duì)稱時(shí)變矩陣，它是黎卡提方程

(4·l—21)和邊界條件 (4·3—22)的解。最優(yōu)軌線是方程

和初始條件

的解。最優(yōu)性能指標(biāo)為

第14頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日例4·1—1給定受控系統(tǒng)狀態(tài)方程

和性能指標(biāo)

式中，q＞0，r＞0，試求最優(yōu)控制u*(t)和最優(yōu)軌線x*(t)。

解：在這個(gè)例題中

A(t)＝a，B(t)＝1，F(xiàn)＝f，Q(t)=q，R(t)＝r因此，最優(yōu)控制為

其中p(t)滿足黎卡提方程

和邊界條件

整理上述黎卡提方程，可得

第15頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日對(duì)上式兩邊積分，得

于是，可得

(4·1—23)其中

由此得最優(yōu)控制 第16頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日最優(yōu)軌線x*(t)滿足微分方程

和初始條件

于是有

對(duì)上式兩邊積分，可得

因此，得到最優(yōu)軌線

式中函數(shù)p(t)由式（4。1—23）給出。 式（4。1—23）指出，函數(shù)p(t)是時(shí)間t的，同時(shí)又依賴于終端時(shí)間。因此，通常把它記為。在這個(gè)例題中，如果取

a=-1，q＝r＝1，f＝0或1取分別為1，3，5，10，那么，由式（4。1—23）可以算出相應(yīng)的，如圖4-2所示。這一族曲線說明，隨著的增長，函數(shù)趨近于同一個(gè)“反時(shí)間方向的穩(wěn)態(tài)值”，而與終端條件無關(guān)，

圖4—2第17頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第18頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日由方程(4·1—23)可以得到 (4·1—24)即當(dāng)?shù)臑橐怀?shù)。我們把這個(gè)常數(shù)記為p。如果將a=-1，q＝r＝1代入方程(4·1—23)，得到

這里p＝0．414正是圖4—2中的“反時(shí)間方向的穩(wěn)態(tài)值”。例4。1—2給定受控系統(tǒng)狀態(tài)方程

第19頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日和性能指標(biāo)

試求最優(yōu)控制u*(t)。解：在這個(gè)例題中

將它們代入方程(4·1—21)和(4·1—22)，得到這個(gè)問題的黎卡提方程，即第20頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日和邊界條件

于是得到下面3個(gè)非線性一階微分方程：

解上面3個(gè)微分方程，可求出，再將它們代入方程(4·1—11)，使得到最優(yōu)控制

第21頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日容易看出，即使這樣簡單的問題，，要解出黎卡提力程也是很復(fù)雜的。黎卡提方程代表一組非線性(定?；驎r(shí)變)常微分方程，一般得不到閉合形式的解析解，而不得不借助于數(shù)字計(jì)算機(jī)求它的近似解。下面簡單地介紹一種近似地計(jì)算矩陣P(t)的方法。矩陣P(t)或滿足黎卡提方程(4．1—21)和邊界條件(4·1—22)。利用

黎卡提方程可以近似地表示成 (4·1—25)依據(jù)這個(gè)公式，可以按反時(shí)間方向求解黎卡提方程。具體方法是；把時(shí)間區(qū)間分成N段，每段長，即

第22頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日已知，把它代入方程(4·l—25)，得

出此算出，再由

算出。按照類似的方法依次計(jì)算·下去，直至求出為止。顯然，如果N選得大，則結(jié)果就愈精確。應(yīng)注意到矩陣只依賴于矩陣A(t)、B(t)、Q(t)、R(t)、F和端點(diǎn)時(shí)間與，而與狀態(tài)x(t)無關(guān)，因此，可以預(yù)先離線算出。第23頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日線性輸出調(diào)節(jié)器問題12第24頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日達(dá)到極小。其小F和Q(t)都是n×n階半正定對(duì)稱矩陣，R(t)是m×m階正定對(duì)稱矩陣，端點(diǎn)固定。將y=C(t)x(t)代入方程(4。1—27)，得到

(4。1—28)比較方程(4。1—2)和(4·1—28)，容易看出：它們的結(jié)構(gòu)形式完全相同，僅僅把方程(4·l—2)中矩陣F、和Q(t)在方程(4·1—28)中換成了和。因此，只要我們能夠證明當(dāng)F和Q(t)是半正定對(duì)稱矩陣時(shí)，和也都是半正定對(duì)稱矩陣，那么，輸出調(diào)節(jié)器問題就轉(zhuǎn)化成等效的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題。于是，關(guān)于狀態(tài)調(diào)節(jié)器的一切分析結(jié)果都可以應(yīng)用到輸出調(diào)節(jié)器中來。已知F和Q(t)都是對(duì)稱矩陣，因此有

第25頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日和

即矩陣和都是對(duì)稱矩陣。又因?yàn)橄到y(tǒng)(4。1—26)完全可觀測，因此矩陣

的秩為n。這就意味著：對(duì)一切，。如果Q(t)是半正定的，則對(duì)所有y(t)必有

把y(t)＝C(t)x(t)代入上式，則對(duì)所有：(f)有

這就證明了，當(dāng)Q(t)半正定時(shí)，也是半正定的。同理可證明，當(dāng)F是半正定對(duì)稱矩陣時(shí)，矩陣也是半正定對(duì)稱矩陣。第26頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

小結(jié)總結(jié)以上討論，得到如下結(jié)果：給出線性完全可現(xiàn)測系統(tǒng)

和性能指標(biāo) (4·1—29)端點(diǎn)時(shí)間固定，F(xiàn)和Q(t)都是半正定對(duì)稱矩陣，R(t)是正定對(duì)稱矩陣。如果u(t)不受限制，則使性能指標(biāo)(4·1—29)取極小的最優(yōu)控制是

其中第27頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日n×n階矩陣P(t)黎卡提方程

和邊界條件

的解。最優(yōu)軌線是微分方程

初始條件

的解。圖4—3是線性最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器的結(jié)構(gòu)圖。圖4—3第28頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第29頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

3．有補(bǔ)償輸入的線性調(diào)節(jié)器前面介紹的有限時(shí)間(即性能指標(biāo)積分上限為有限值的)線性調(diào)節(jié)器的解是狀態(tài)的線性時(shí)變反饋形式，由此構(gòu)成的系統(tǒng)在終端時(shí)刻時(shí)有誤差，即不為零。如果要使終端時(shí)刻誤差盡可能小，就要求在接近終端時(shí)刻的反饋增益非常大。如果要求這個(gè)誤差為零，則要求這時(shí)的增益矩陣為無限大。因此，使終端時(shí)刻誤差為零的反饋控制難以實(shí)現(xiàn)。這一小節(jié)介紹一種求解有限終端時(shí)間控制問題的新方法。它的解是帶有補(bǔ)償輸入曲線性狀態(tài)反饋形式，利用這樣的控制可以做到終端時(shí)刻誤差為零而反饋增益矩陣仍為有限值。給出完全可控系統(tǒng)

第30頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日式中A(t)是，n×n階時(shí)變矩陣，B(t)是，n×m階時(shí)變矩陣。要求系統(tǒng)從某個(gè)初始狀態(tài)以有限時(shí)間轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，并且使性能指取極小。式中Q(t)是n×n階半正定對(duì)稱矩陣R(t)是m×m階正定對(duì)稱矩陣。由前面的分析可知，最優(yōu)控制的一個(gè)必要條件是滿足下列規(guī)范方程： (4．1—30)在這里，邊界條件是， ， ＝0

利用極小值原理可求出最優(yōu)控制u(t)與協(xié)狀態(tài)變量入(t)之間有下列關(guān)系：第31頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

現(xiàn)在，我們定義一個(gè)新的協(xié)狀態(tài)變量q(t) (4。1—31)其中P(t)假設(shè)為一對(duì)稱稱n×n階矩陣，滿足黎卡提方程 (4。1—32)利用式(4．1—30)、(4·1—31)和(4．1—32)，可得出新的規(guī)范方程，即 (4·l—33)式中n×n階矩陳F(t)定義為

邊界條件：，＝0保持不變。將式(4，1—31)代入u*(t)的表達(dá)式，可得 (4·1—34)其中第32頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

(4·1—35)我們把v(t)叫做補(bǔ)償輸入。式(4·1—34)指出，新的最優(yōu)控制包括兩部分：狀態(tài)反饋和補(bǔ)償輸入。應(yīng)當(dāng)指出的是，因?yàn)橄到y(tǒng)的終端狀態(tài)規(guī)定為＝0，因此，終端時(shí)刻入(t)未規(guī)定，式(4．1—31)未提供確定P(t)的終值的信息。這樣，應(yīng)注意在規(guī)定黎卡提方程(4·1—32)中P(t)的邊界條件時(shí)，有一定的自由度。為了容易實(shí)現(xiàn)，假定條件為 ＝0

在這個(gè)邊界條件下求解黎卡提方程(4．1—32)，可得最優(yōu)控制表達(dá)式中的待定矩陣P(t)。

要確定最憂控制中的待定函數(shù)v(t)，必須求出新的協(xié)狀態(tài)變q(t)。利用分塊矩陣，方程(4·1—33)的解可表示為第33頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日協(xié)狀態(tài)變量的初值1(lo)可以這樣來確定：令終端狀態(tài)為零，則當(dāng)t＝時(shí)方程(4·1—36)的第一式變成

已知系統(tǒng)可控，轉(zhuǎn)移矩陣一般為非奇異。因此，由上式可以求出為 (4·l一37)由式(4·1—35)、(4·l—36)、(4·1—37)可得補(bǔ)償輸入為

總結(jié)以上討論，可作出有補(bǔ)償輸入的線性最優(yōu)調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖，如圖4—4所示。

圖4—4第34頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第35頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

問題4·1—1給定系統(tǒng)方程 ，和性能指標(biāo)

試用線性調(diào)節(jié)器理論求最優(yōu)控制u*(t)和t＝4時(shí)的狀態(tài)x(4)。

問題4·1—2給定系統(tǒng)方程 ,和性能指標(biāo)

試求使J取極小的閉環(huán)最優(yōu)控制u*[x(t)]。問題4·1—3給定系統(tǒng)方程

和性能指標(biāo)

第36頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日試求：1)為有限值時(shí)的閉環(huán)最優(yōu)控制；2)時(shí)的閉環(huán)最優(yōu)控制。問題4·1—4，給定系統(tǒng)方程．

和性能指標(biāo)

試寫出相應(yīng)的黎卡提方程，并求最優(yōu)控制。問題4·1—5給定系統(tǒng)方程

和性能指標(biāo)

試求反饋增益矩陣。第37頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

二、定常線性調(diào)節(jié)器上一節(jié)討論的最優(yōu)調(diào)節(jié)器是線性反饋形式的，最優(yōu)控制u*(t)是狀態(tài)變量的線性因數(shù)。但是，增益矩陣K(t)是時(shí)變的，要在工程上實(shí)現(xiàn)仍不方便。如果能建立起定常的，即其增益矩陣K(t)是常數(shù)矩陣的調(diào)節(jié)器，那么，調(diào)節(jié)器的結(jié)構(gòu)以及設(shè)計(jì)計(jì)算都會(huì)得到簡化，在工程上也更容易實(shí)現(xiàn)。增益矩陣為常數(shù)的最優(yōu)調(diào)節(jié)器稱為定常調(diào)節(jié)器。在這二節(jié)里，我們研究定常調(diào)節(jié)器綜合方法及其穩(wěn)定性問題。

1．定常調(diào)節(jié)器在研究定常調(diào)節(jié)器以前，自然首先要問：上一節(jié)求出的增益矩陣為什么是時(shí)變的呢?這是由于以下兩種原因造成的：

l)在系統(tǒng)方程和性能指標(biāo)中矩陣A(t)、B(t)、Q(t)、R(t)是時(shí)變的；2)終端時(shí)間是有限的。

例4。1—1指出，即使矩陣A(t)、B(t)、Q(t)、R(t)都是常數(shù)矩陣，如果有限，短陣是時(shí)變的，因而取K(t)仍然是時(shí)變的。但是，方程(4·1—23)和圖4·1—2指出，對(duì)于A(t)、B(t)、Q(t)、R(t)都為常數(shù)的線性二次型問題，當(dāng)很大時(shí)，隨著t逐漸減小，將達(dá)到某個(gè)穩(wěn)態(tài)值P，愈大，穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間區(qū)

間也愈長。當(dāng)時(shí)，這個(gè)穩(wěn)態(tài)值區(qū)間也將趨于無窮大。

第38頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日可以證明：如果矩陣A(t)、B(G)、Q(t)、R(t)都是常數(shù)矩陣，F(xiàn)=0，系統(tǒng)

完全可控，則存在、唯一，且等于常數(shù)矩陣P，即

矩陣P是n×n階正定對(duì)稱矩陣，滿足代數(shù)黎卡提方程，即

容易看出，定常調(diào)節(jié)器問題是前一節(jié)研究的一般調(diào)節(jié)器問題的特殊情況，即矩陣A、B、Q、R為常數(shù)矩陣，F(xiàn)＝0，且的情況。因此，關(guān)于定常調(diào)節(jié)器問題可以敘述如下：給定完全可控線性定常系統(tǒng) (4.2—1)和性能指標(biāo) (4.2—2)第39頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日其中：x(t)是n維狀態(tài)矢量；u(t)是m維控制矢量；A、B分別為n×n和n×m階常數(shù)矩陣；Q、R分別是n×n和m×m階半正定和正定對(duì)稱常數(shù)矩陣。假設(shè)u(t)不受限制，則最優(yōu)控制存在、唯—，且為

u*(t)＝一Kx(t)(4·2—3)其中 (4·2—4)是n×n階正定對(duì)稱常數(shù)矩陣，滿足下列非線性矩陣代數(shù)方程，即代數(shù)黎卡提方程 (4·2—5)相應(yīng)的最優(yōu)性能指標(biāo)是 (4·2—6)最優(yōu)軌線(t)是線性定常齊次方程 (4·2—7)第40頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日和初始條件 (4·2—8)的解。圖4—5是線性最優(yōu)定常調(diào)節(jié)器的結(jié)構(gòu)圖。圖4—5應(yīng)注意到，在一般(有限時(shí)間)調(diào)節(jié)器問題中不要求受控系統(tǒng)全可控，而在定常(無限時(shí)間)調(diào)節(jié)器問題中則要求受控系院全可控。為了說明這一區(qū)別，請(qǐng)看例子，給定受控系統(tǒng)

第41頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第42頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日和性能指標(biāo)

或改寫成

在這個(gè)例子中，狀態(tài)不可控，且。上式右邊第一項(xiàng)為無限大，而第二項(xiàng)永遠(yuǎn)大于或等于零。如果取u(t)＝0，則，J達(dá)到極小，它的極小值為

即最優(yōu)性能指標(biāo)為無限大。這就意味著無論選擇什么樣的u(t)，J都為，因而無從比較其優(yōu)劣。本例說明無限時(shí)間調(diào)節(jié)器問題不一定存在有意義的解。第43頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

如果受控系統(tǒng)完全可控，那么，一定存在某個(gè)控制在有限時(shí)間間隔內(nèi)把它從任意一個(gè)初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到職態(tài)空間原點(diǎn)(即零狀態(tài))，從而使得性能指標(biāo)是有限的，這樣，無限時(shí)間調(diào)節(jié)器的解是有意義的。對(duì)有限時(shí)間調(diào)節(jié)器而言，由于控制區(qū)間有限，不可控狀態(tài)對(duì)性能指標(biāo)的影響也有限。因此，—從這個(gè)意義上說，不必要求受控系統(tǒng)完全可控。

例4·2—1給定受控系統(tǒng)

和性能指標(biāo)

其中q＞0，r＞0，試求最優(yōu)控制u*(t)，使J達(dá)到極小。解：在這個(gè)問題中，

A＝0，B＝1，Q＝q，R＝r第44頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日容易驗(yàn)證這個(gè)系統(tǒng)完全可控，因此，最優(yōu)控制存在，并且為

P是代數(shù)黎卡提方程，即

的正定解，因此得

這正是例4·1—1中式(4。1—23)當(dāng)時(shí)的結(jié)果。把它代入最優(yōu)控制的表達(dá)式，得到

第45頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

2。定常調(diào)節(jié)器的穩(wěn)定性方程(4·2—7)是定常調(diào)節(jié)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)方程。那么，這個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是否一定穩(wěn)定呢?為了回答這個(gè)問題，首先看一個(gè)例子。假設(shè)系統(tǒng)方程和性能指標(biāo)分別為

和

不難看出，這個(gè)問題的最優(yōu)控制是u*(t)＝0，相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)方程是。顯然，這個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定。由此可見，定常調(diào)節(jié)器并不總是穩(wěn)定的。那么，在什么條件下閉環(huán)系統(tǒng)(4·2—7)是漸近穩(wěn)定的呢？下面將證明：如果矩陣[A,D]完全可觀測，這里D是任一使成立的矩陣，那么，閉環(huán)系統(tǒng)(4.2—7)一定漸近穩(wěn)定?，F(xiàn)在這樣來證明：首先證明如果[A,D]完全可觀測，則矩陣正定，因而是一個(gè)正定函數(shù)；然后，證明函數(shù)是半負(fù)定的；再證明函數(shù)沿著最優(yōu)軌線不恒等于零。從而證明是一個(gè)李雅普諾夫函第46頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日數(shù)。這樣，便證明了閉環(huán)系統(tǒng)(4.2—7)是漸近穩(wěn)定的。陣對(duì)[A，D]完全可觀測，意味著如果對(duì)一切t有方程：

則一定是

利用這個(gè)關(guān)系便可以證明矩陣P是正定矩陣。方程(4·2，2)和(4·2—6)．表明：對(duì)于所有，一定大于或等于零。如果對(duì)某一非零矢量有，那么，方程(4·2—2)右邊的被積函數(shù)一定恒為零。又因?yàn)榫仃嚰盀檎?，這就要求對(duì)一切6，最優(yōu)控制u(t)恒為零。在這種情況下，最優(yōu)軌線是方程(4·2—7)，當(dāng)u(t)＝0時(shí)的解，即

第47頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日由此得出

進(jìn)而得出 ，對(duì)一切已知，于是得出了同陣對(duì)[A，D]完全可觀測相矛盾的結(jié)果。這就證明了不能等于零，而只能大于零。從而證明矩陣P是正定矩陣，函數(shù)：是一個(gè)正定函數(shù)。由方程(4．2—1)、(4。2—3)和(4。2—4)可導(dǎo)出：

將方程(4。2—5)入上式，可得第48頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

(4·2—9)令

為某一矢量，則式(4·2—9)可寫成

已知R正定，Q半正定，從而證明了函數(shù)是半負(fù)定的。最后，我們來證明函數(shù)沿著最優(yōu)軌線不恒等于零。假設(shè)該因數(shù)沿著從某一非零初始狀態(tài)出發(fā)的軌線恒等于零，則，由于矩陣R正定，因此，，又由此得出，閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)軌線與開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)軌線相同，即

第49頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日同時(shí)，要使還要求；從而得出

已知，又得出了與陣對(duì)[A，D]完全可觀測相矛盾的結(jié)果。因此，函數(shù)沿任一非零解的軌線不恒等于零。

小結(jié)

總結(jié)以上討論，得到如下結(jié)果：如果陣對(duì)[A,D]完全可觀測，而D是滿足的任一矩陣，則函數(shù)正定，半負(fù)定且沿任一最優(yōu)軌線不恒等于零。因此，是一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，閉環(huán)系統(tǒng)

漸近穩(wěn)定。

第50頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

例4·2—2某機(jī)電系統(tǒng)用下列狀態(tài)方程描述

其結(jié)構(gòu)圖如圖4—6所示。如果把看作運(yùn)動(dòng)體的位置，是速度，那么，u可以看作是外力或力矩。給定性能指標(biāo)

試設(shè)計(jì)一個(gè)最優(yōu)調(diào)節(jié)器。

圖4—6解：在這個(gè)例題中，，由給定矩陣可知

rank[B：AB]＝2因此，陣對(duì)完全可控，最優(yōu)控制存在且唯一。再?。絒01]，可知，而且

因此，陣對(duì)[A，D]完全可觀測，閉環(huán)最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。這個(gè)問題的代數(shù)黎卡提方程是第51頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第52頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日展開以后得到下面3個(gè)方程：

其數(shù)值解為，0.1706，0.3162，0.8556由方程(4，2—3)和(4·2—4)，得到最優(yōu)控制

圖4—7是由控制對(duì)象和最優(yōu)調(diào)節(jié)器千起構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。第53頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第54頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日例2·4—3

約定受控系統(tǒng)控制變量受不等式

約束，試求最優(yōu)控制和軌線，使性能指標(biāo)

取極小。假設(shè)終端狀態(tài)未規(guī)定。第55頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

解：這個(gè)問題的哈米爾登函數(shù)

伴隨方程是

運(yùn)用極小值原理可得第56頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第57頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日在臨界點(diǎn)充分小的鄰域內(nèi)，有第58頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日滿足上式的有由伴隨方程可知連續(xù)，故則有，因?yàn)槿绻c矛盾第59頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日因此有同理可證因此有第60頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第61頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日習(xí)題

約定受控系統(tǒng)控制變量受不等式

約束，試求最優(yōu)控制和軌線，使性能指標(biāo)

取極小。假設(shè)終端狀態(tài)未規(guī)定。求q趨近無限大時(shí)的最優(yōu)控制第62頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日自動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于過程控制等工業(yè)領(lǐng)域第63頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第64頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日Honeywell

Honeywellproducesabroadportfoliooffrequencyconverters,heating

controlvalves,compressedairvalvesandwatercontrolproducts.

第65頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第66頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第67頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

第68頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日問題4·2—1給定受控系統(tǒng)

和性能指標(biāo)

試求最優(yōu)反饋控制律，并證明閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。問題4·2—2給定系統(tǒng)方程

和性能指標(biāo)

試求最優(yōu)反饋控制。

問題4·2—l

給定系統(tǒng)方程

和性能指標(biāo)

試寫出相應(yīng)的黎卡提方程，并求最優(yōu)控制u*。第69頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

三、有擾動(dòng)輸入的線性調(diào)節(jié)器前兩節(jié)討論的最優(yōu)調(diào)節(jié)器，適用于系統(tǒng)狀態(tài)偏離了零狀態(tài)或存在脈沖型擾動(dòng)時(shí)，以某種最優(yōu)方式把它轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)的問題。但是，如果存在非脈沖型擾動(dòng)，比如階躍擾動(dòng)，前面的調(diào)節(jié)器就不能使系統(tǒng)保持所要求的狀態(tài)。這就是說，閉環(huán)系統(tǒng)是有靜差的。在這一節(jié)里，主要針對(duì)恒值擾動(dòng)和斜坡擾動(dòng)來研究無靜差節(jié)器的綜合問題?？紤]完全可控系統(tǒng) (4·3—1)式中是某一恒值擾動(dòng)矢量。我們的任務(wù)是設(shè)計(jì)一種線性最優(yōu)調(diào)節(jié)器，使得當(dāng)時(shí)間t趨于無限長時(shí)，狀態(tài)矢量x(t)及其導(dǎo)數(shù)都趨近于零。顯然，這意味著要求 (4·3—2)第70頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

如果存在一個(gè)矩陣M，使B2＝B1M，那么，我們就可以選取使條件(4·3—2)得到滿足?，F(xiàn)假設(shè)存在這樣一個(gè)M矩陣。于是，方程(4·3—1)可以寫成 (4·3—3)其中x(t)是n維狀態(tài)矢量；u(t)是m維控制矢量；是m維擾動(dòng)矢量，它的每一個(gè)分量都是階躍函數(shù)；A是n×n階常數(shù)矩陣，B＝B1是秩為m的n×m階常數(shù)矩陣，且陣對(duì)[A，B]完全可控。選擇性能指標(biāo) (4·3—4)式中Q和R分別是n×n和m×m階半正定對(duì)稱常數(shù)矩陣；S是m×m階正定對(duì)稱常數(shù)矩陣。第71頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

現(xiàn)在的問題是在系統(tǒng)方程(4·3—3)的約束下，尋找最優(yōu)控制u*(t)，使性能指標(biāo)(4·3—4)取極小。令 (4·3—5)已知w(t)的每一分量都是階躍函數(shù)，因此

于是 (4·3—6)定義新的狀態(tài)矢量 (4·3—7)新的控制矢量 (4·3—8)和新矩陣 (4·3—9)第72頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日其中I是m×m階單位矩陣，由方程(4·3—3)一(4·3—9)可建立增廣系統(tǒng) (4·3—10)和性能指標(biāo) (4·3—11)原系統(tǒng)狀態(tài)矢量x(t)同輸入矢量u(t)+w(t)組成增廣系統(tǒng)狀態(tài)矢量。v(t)是增廣系統(tǒng)控制矢量。圖4—8是增廣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，它由系統(tǒng)(4·3—1)在輸入端加入一個(gè)積分器組成。

圖4—8這樣一來，就可以把前兩節(jié)的分析結(jié)果應(yīng)用到，由增廣系統(tǒng)(4·3—10)和性能指標(biāo)(4·3—11)表示的最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題上。假設(shè)陣對(duì)完全可控，那么，基于系統(tǒng)(4·3—10)和性能指標(biāo)(4·3—11)的最優(yōu)控制存在、唯一，且為

第73頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第74頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日或

(4，3—12)其中矩陣

是代數(shù)黎卡提方程 (4·3—13)的解，令 ，則式(4·l—12)可寫成 (4·3—14)第75頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日再令

如果對(duì)于任一滿足的D11和的D22，陣對(duì)完全可觀測，那么，閉環(huán)系統(tǒng)

圖4—9第76頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第77頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日是漸近穩(wěn)定的。因此有

在這里假設(shè)初始條件x(t。)＝0和u(t。)＝0，是為了突出擾動(dòng)w對(duì)系統(tǒng)的影響。如果必要，x(t。)和u(t。)也可以不為零。由圖4—8和方程(4·3—14)，可建立存在階躍擾動(dòng)時(shí)由最優(yōu)調(diào)節(jié)器構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，如圖4—9所示。下面，對(duì)這個(gè)系統(tǒng)做進(jìn)一步分析。利用方程(4。3—3)，輸入u(t)十w(t)可以利用狀態(tài)矢量x(t)及其導(dǎo)數(shù)表示成 (4。3—16)已知矩陣的秩為m，所以的秩為m，即滿秩，因此，存在。第78頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

將式(4。3—I6)代入式(4。3—14)，得到

令 (4·3—17)將它們代入上式，可很

對(duì)上式兩邊積分，得到

上式表示，最優(yōu)控制可用一比例加積分狀態(tài)反饋控制律來實(shí)現(xiàn)，用它構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4—10所示。

圖14—10第79頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第80頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

w＝d＝常數(shù)和性能指標(biāo)

試用本節(jié)討論的方法設(shè)計(jì)線性最優(yōu)調(diào)節(jié)器。解：對(duì)于這個(gè)例題，有

第81頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日容易驗(yàn)證，陣對(duì)完全可控，陣對(duì)完全可觀測。因此，最優(yōu)控制存在、唯一，并且閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。將相應(yīng)的矩陣代入黎卡提方程(4。3—13)，然后求解，可得

于是有

把它們代入方程組(4。3—17)，得到第82頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

參照?qǐng)D4—10可建立無穩(wěn)態(tài)誤差的線性最優(yōu)調(diào)節(jié)器閉環(huán)系統(tǒng)，如圖4—11所示。利用方塊圖等效變換，圖4—11可以變換成圖4—12。圖4—12表示這個(gè)系統(tǒng)的最優(yōu)控制器相當(dāng)于經(jīng)典控制理論中的PJD控制器。圖4—11圖4—12圖4—13圖4—13表示初姑條件為，時(shí)的響應(yīng)。實(shí)線是用本節(jié)討論的方法設(shè)計(jì)的閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)，虛線是用上一節(jié)介紹的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)的閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)。圖4。14是用上一節(jié)的方法設(shè)計(jì)的最優(yōu)反饋控積系統(tǒng)結(jié)構(gòu)隊(duì)這個(gè)系統(tǒng)的控制器相當(dāng)于經(jīng)典控制理論中的PD控制器，如圖4—15所示。

圖4—14

圖4—15第83頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第84頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第85頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

例4·3—2給定完全可觀測系統(tǒng)

其中為n維狀態(tài)矢量；和分別是m維控制矢量和擾動(dòng)矢量。假設(shè)的每—個(gè)分量都是斜坡函數(shù)，要求使擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差為零，試設(shè)計(jì)線性定常溫優(yōu)調(diào)節(jié)器。解：已知為斜坡函數(shù)，因此

令于是有第86頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日定義新的狀態(tài)矢量和新的控制矢量u為 和得到增廣系統(tǒng) (4·3—18)其中

選擇性能指標(biāo)

利用線性定常最優(yōu)調(diào)節(jié)聯(lián)軍合方法，由方程(4。3—18)和(4·3—1g

可得第87頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日這里K＝[K1K2K3]是增益矩陣。圖4—16表示在斜坡擾動(dòng)作用下穩(wěn)態(tài)誤差為零的線性定常調(diào)節(jié)器構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。這個(gè)結(jié)構(gòu)圖指出，增廣系統(tǒng)包含了兩個(gè)積分環(huán)節(jié)，這兩個(gè)積分環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型正好是斜坡函數(shù)的數(shù)學(xué)模型。

問題4·3—1試將圖4—16所示的斜坡擾動(dòng)作用下無穩(wěn)態(tài)誤差的調(diào)節(jié)器，轉(zhuǎn)換成控制矢量只與狀態(tài)矢量有關(guān)的調(diào)節(jié)器。

問題4·3—2給定受控對(duì)象

其中x(t)為n維狀態(tài)矢量；u(t)和w(t)是m維控制矢量和擾動(dòng)矢量：A、B是具有適當(dāng)維的定常矩陣。如果采用定常線性調(diào)節(jié)器對(duì)它實(shí)行控制，那么，1)擾動(dòng)w(t)為階躍加斜坡函數(shù)時(shí)要使穩(wěn)態(tài)誤差為零，最優(yōu)調(diào)節(jié)器應(yīng)具有什么樣的結(jié)構(gòu)?2)擾動(dòng)為拋物線函數(shù)時(shí)，無穩(wěn)態(tài)誤差的調(diào)節(jié)器應(yīng)具有什么樣的結(jié)構(gòu)?3)擾動(dòng)為正弦函數(shù)時(shí)，利用線性調(diào)節(jié)器理論能綜合出元穩(wěn)態(tài)誤差的調(diào)節(jié)器嗎?為什么?第88頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第89頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

四、線性伺服系統(tǒng)（跟蹤控制系統(tǒng)）前面三節(jié)討論了幾種線性最優(yōu)調(diào)節(jié)器綜合方法，這一節(jié)研究線性伺服系統(tǒng)綜合方法。顯然；如果伺服系統(tǒng)的參考輸入恒為零，那么，伺服系統(tǒng)問題便退化成調(diào)節(jié)器問題。因此，調(diào)節(jié)器問題可以看作伺服系統(tǒng)問題的特殊情況，伺服系統(tǒng)問題則是調(diào)節(jié)器問題的一般化。在這一節(jié)里首先介紹線性伺服系統(tǒng)一般綜合方法然后介紹一個(gè)實(shí)例。1．線性伺服系統(tǒng)給定線性時(shí)變系統(tǒng)

(4·4—1) (4·4—2)第90頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日其中x(t)是n維狀態(tài)矢量；u(t)是m維控制矢量；y(t)是l維輸出矢量；A(t)、B(t)、C(t)分別是，n×n、n×m、l×n階時(shí)變矩陣，它們的元都是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。性能指標(biāo)為 (4·4—3)其中F、Q(t)是半正定對(duì)稱矩陣；R(t)是正定對(duì)稱矩陣；Q(t)和R(t)的元都是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)；e(t)表示誤差，即

e(t)＝z(t)—y(t)式中l(wèi)維矢量；z(t)是指令輸入，即參考輸入。假設(shè)終端時(shí)間固定，u(t)不受限制。要求尋找最優(yōu)控制u*(t)，使性能指標(biāo)(4·4—3)取極小。第91頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

既然伺服問題是調(diào)節(jié)器問題的一般化，那么，就可以來用同求解調(diào)節(jié)器問題類似的方法求解伺服問題。這個(gè)問題的哈米爾登函數(shù)是

應(yīng)用極小值原理，由必要條件，可得控制方程為

R(t)u(t)十B(t)入(t)＝0于是，得到最優(yōu)控制 (4·4—4)這個(gè)問題的伴隨方程是

第92頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

(4·4—5)方程(4·4—4)代入(4·4—1)，得到 (4·4—6)分析方便，令 (4·4—7)方程組(4。4—7)代入式(4·4—5)和(4·4—6)得到規(guī)范方程

(4·4—8)調(diào)節(jié)器問題的規(guī)范方程相比，這盟增加了夠?qū)в疫叺牡诙?xiàng)。一項(xiàng)是由于指令輸入z(t)引起的。第93頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日規(guī)范方程代表2n個(gè)一階線性時(shí)變微分方程，求解規(guī)范方程需2n個(gè)邊界條件，其中n個(gè)初始條件：

另外n個(gè)條件是終端橫截條件： (4·4—9)用

表示系統(tǒng)(4·4—8)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，則

第94頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

把上式展開，得到

(4·4—10) (4·4—11)式中

將式(4·4—10)代入(4·4—9)，得到 (4·4—12)由方程(4·4—11)和(4·4—12)消去，可得第95頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日 (4·4—13)式中 (4·4—14) (4·4—15)將式(4·4—13)代入(4·4—4)，得到最優(yōu)控制

于是，求最優(yōu)控制u(t)轉(zhuǎn)化成求n×n階距陣P(t)和n維矢量函數(shù)g(t)。但是，直接利用方程(4·4二14)和(4·4—15)來計(jì)算它們是很麻煩的。因此，應(yīng)當(dāng)考慮另外的求法。對(duì)方程(4·4—13)兩邊求導(dǎo)，得 (4·4—16)將方程(4·4—13)代入規(guī)范方程(4·4—8)的第一式，得列第96頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

(4·4—17)將式(4·4—17)代入(4·4—16)，得

(4·4—18)再將式(4·4—33)入規(guī)范方程(4·4—8)的第二式，得到 (4·4—19)由方程(4·4—J18)和(4·4—19)消去入(t)?？傻?/p>

上式對(duì)任意x(t)都成立，特別當(dāng)x(t)＝0時(shí)也成立。因此，等號(hào)左邊第二個(gè)方括弧內(nèi)的項(xiàng)必等于零。由此又得出第一項(xiàng)也等于零。而墓(t)可任意，因此，上式左邊第一項(xiàng)方括弧內(nèi)的矩陣必等于零。于是，得到下面兩個(gè)重要的方程：第97頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

(4·4。—20)和

(4·4—21)方程(4·4—20)和(4·4—21)分別代表，n×n個(gè)非線性時(shí)變一階微分方程和n個(gè)線性時(shí)變一階微分方程。它們的邊界條件可用下述方法求得，即由方程(4·4—13)當(dāng)時(shí)，有 (4·4—22)由方程(4·4—9)和(4，4—22)消去，可得

由于上式對(duì)任意都成立，由此可求出方程(4·4—20)和(4·4—21)的邊界條件：第98頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

小結(jié)總結(jié)以上分析，得到如下結(jié)果：給定線性時(shí)變系統(tǒng)

其中x(t)是n維狀態(tài)矢量；u(t)是m維控制矢量；y(t)是l維輸出矢量；A(t)、B(t)、C(t)分別是，n×n、n×m、l×n階時(shí)變矩陣。性能指標(biāo)為

其中F、Q(t)是l×l階半正定對(duì)稱矩陣；R(t)是m×m階正定對(duì)稱矩陣e(t)=z(t)—y(t)是l維誤差矢量；z(t)是1維輸入矢量，終端時(shí)間固定。第99頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

如果u(t)不受限制，則使性能指標(biāo)J取極小的最優(yōu)控制是

其中n×n階時(shí)變矩陣P(t)是黎卡提方程和邊界條件

的解。n維矢量函數(shù)g(t)是矢量微分方程

和邊界條件

第100頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日的解。最優(yōu)軌線是矢量微分方程

和初始條件

的解。

例4·4—1給定受控系統(tǒng)

和性能指標(biāo)

第101頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日試設(shè)計(jì)線性最優(yōu)伺服系統(tǒng)。解：在這個(gè)例題中

把它們代入相應(yīng)的方程，得到最優(yōu)控制 (4·4—23)相應(yīng)的黎卡提方程和邊界條件是

第102頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日和

把黎卡提方程展開，得到下面3個(gè)一階非線性微分方程

當(dāng)時(shí)，得到上述方程組的穩(wěn)態(tài)解，即

將代入方程(4·4—23)，得 (4·4—24)矢量函數(shù)是矢量微分方程第103頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

和邊界條件

的解。當(dāng)時(shí)把的穩(wěn)態(tài)解代入上面的方程，經(jīng)過化簡以后，得到

要求出和必須知道函數(shù)z(t)。假設(shè)，則可解出上述方程組當(dāng)時(shí)的極限解：第104頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

把它代入方程(4·4—24)，得到時(shí)的最優(yōu)控制為

由于

因此得到

這就是已知參考輸入函數(shù)為時(shí)最優(yōu)伺服系統(tǒng)控制器方程。由控制對(duì)象方程和控制器方程，可作出線性最優(yōu)伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，如圖4—17所示。第105頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第106頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日跟蹤控制系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于武器瞄準(zhǔn)，制導(dǎo)，探測系統(tǒng)；飛行器、機(jī)器人導(dǎo)航控制系統(tǒng)；機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤第107頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日"密集陣"近程防御武器系統(tǒng)（CIWS美國“密集陣”艦載近程防御武器系統(tǒng)（CIWS第108頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日俄羅斯日炙反艦導(dǎo)彈第109頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日艦載雷達(dá)系統(tǒng)第110頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日美國“鋪路爪”遠(yuǎn)程預(yù)警雷達(dá)系統(tǒng)預(yù)警雷達(dá)可監(jiān)控3000公里外的導(dǎo)彈第111頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第112頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日美軍新一代制空戰(zhàn)斗機(jī)——F—22“猛禽”已在愛德華茲空軍基地開始進(jìn)行正式裝備部隊(duì)前的首次戰(zhàn)斗飛行測試。第113頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

2．線性伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)舉例前面介紹了線性伺服系統(tǒng)的一般設(shè)計(jì)方法。但是，要設(shè)計(jì)出一個(gè)實(shí)用的最優(yōu)伺服系統(tǒng)，設(shè)計(jì)人員采用的具體方法不盡相同。下面，以一種高精度直流伺服系統(tǒng)的設(shè)計(jì)為例，介紹一種實(shí)際的最優(yōu)伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法。(1)控制對(duì)象狀態(tài)方程對(duì)于直流伺服系統(tǒng)，帶負(fù)載的直流伺服電機(jī)是控制對(duì)象。根據(jù)控制對(duì)象應(yīng)滿足的物理規(guī)律，可列出電壓平衡方程：第114頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日 (4·4—25)力矩平衡方程， (4·4—26)和

(4·4—27)式中越是加在電樞兩端的電壓；是電樞電流；是電樞回路總電阻；L是總電感；Ke、Km是電，機(jī)常數(shù)；是角位置；是角速度；J是電機(jī)軸上的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；表示摩擦力矩，它同角速度之間的關(guān)系如圖4—18所示。第115頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第116頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

圖4—18

假設(shè)電樞電感忽略不計(jì)，由式(4·4—25)一(4·4—27)，可得

或

定義

為一組狀態(tài)變量，可列出狀態(tài)方程：

其中第117頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

考慮到補(bǔ)償摩擦力矩的影響，降低系統(tǒng)對(duì)參數(shù)變化的靈敏度，引入二個(gè)新的狀態(tài)變量。即

注意到，因此有 (4·4—29)令將方程(4·4—28)同(4·4—29)聯(lián)立，得到增廣系統(tǒng) (4·4—30)其中

容易驗(yàn)證：第118頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日系統(tǒng)滿足完全能控的充分必要條件。(2)指令信號(hào)發(fā)生器狀態(tài)方程假設(shè)z(t)是指令信號(hào)，為一階躍加斜坡加拋物線函數(shù)：

因此，有

選擇

作為一組狀態(tài)變量，可建立指令信號(hào)發(fā)生器狀態(tài)方程 (4·4—31)其中第119頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

指令信號(hào)發(fā)生器狀態(tài)矢量是直接可觀測的。(3)綜合最優(yōu)控制由式(4·4—30)、(4·4—31)可建立帶有指令信號(hào)發(fā)生器的廣義控制對(duì)象狀態(tài)方程，即

其中

取二次型性能指標(biāo)

其小Q和r分別是給定權(quán)矩陣和權(quán)系數(shù)。性能指標(biāo)(4·4—32)可寫成：

第120頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日式中

使上述性能指標(biāo)取極小的最優(yōu)控制為 (4·4—33)其中為增益矩陣。矩陣

是黎卡提方程

第121頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日的解。將式(4。4—33)展開，可得

(4·4—35)其中

由增廣系統(tǒng)狀態(tài)方程(4·4—30)和最優(yōu)控制器方程(4。4—35)，可建立最優(yōu)伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，如圖4-19所示。

第122頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日第123頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

圖4—19將黎卡提方程(4·4—34)展開，得到關(guān)于狀態(tài)變量的黎卡提方程為 (4·4—36)式中

將有關(guān)的矩陣代入方程(4。4—36)，再求解，便可求出矩陣P。

將r、B及P的表達(dá)式代入方程(4·4—35)右邊第一項(xiàng)，可得第124頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

因此

注意到

于是得到

如果初始條件，則

(4·4—37)第125頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

關(guān)于狀態(tài)變量的黎卡提方程為 (4·4—38)其中

將矩陣Q、Az、B以及前面求出的P代入式(4。3—38)，再求解，便可求出矩陣。將r、B及，的表達(dá)式代入方程(4·4—35)右邊第二項(xiàng)，可求出第126頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日

和 (4·4—39)由方程(4·4—28)、(4·4—35)、(4·4—37)和(4·4—39)可建立最優(yōu)伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，如圖4—20所示。圖4—21是相應(yīng)的機(jī)電原理圖，圖中計(jì)算機(jī)部分可用高精度運(yùn)算放大器構(gòu)成。

圖4—20

圖4—21第127頁，共165頁，2023年，2月20日，星期日