2022-2023學(xué)年江蘇省常州市前黃高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期2月學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省常州市前黃高一下學(xué)期2月學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解出集合，利用并集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?，，則.故選：D.2．若冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且與x軸無(wú)公共點(diǎn)，則的解析式可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且與x軸有公共點(diǎn)，故A不符合題意；B：函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且與x軸有公共點(diǎn)，故B不符合題意；C：函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且與x軸無(wú)公共點(diǎn)，故C不符合題意；D：函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且與x軸無(wú)公共點(diǎn)，故D符合題意.故選：D.3．已知，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式即可求得的值.【詳解】故選：C4．若非零向量、滿足，且，則向量、的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)向量、的夾角為，由已知可得出，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值.【詳解】設(shè)向量、的夾角為，由題意，，又因?yàn)?，因此?故選：B.5．三個(gè)數(shù)之間的大小關(guān)系是（

）A．. B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解，即可比較大小.【詳解】解：，則，，則，，則，所以.故選：B.6．函數(shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分、兩種情況對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以函數(shù)的圖像大致是選項(xiàng)D，故選：D7．17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給朋友的一封信中曾提出一個(gè)關(guān)于三角形的有趣問(wèn)題：在三角形所在平面內(nèi)，求一點(diǎn)，使它到三角形每個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小．現(xiàn)已證明：在中，若三個(gè)內(nèi)角均小于，則當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，點(diǎn)被人們稱為費(fèi)馬點(diǎn)．根據(jù)以上知識(shí)，已知為平面內(nèi)任意一個(gè)向量，和是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的向量，且，則的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到和點(diǎn)三個(gè)點(diǎn)的距離之和，畫出圖形，結(jié)合費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)，得到答案.【詳解】設(shè)，，，則，即為點(diǎn)到和點(diǎn)三個(gè)點(diǎn)的距離之和，則△ABC為等腰三角形，如圖，由費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)可得，需滿足：點(diǎn)P在y軸上且∠APB＝120°，則∠APO＝60°，因?yàn)閨OA|＝|OB|＝2，則，所以點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，距離之和最小，最小距離之和為.故選：B.8．如圖，假定、兩點(diǎn)以相同的初速度（單位：?jiǎn)挝?秒），分別同時(shí)從、出發(fā)，點(diǎn)沿射線做勻速運(yùn)動(dòng)，；點(diǎn)沿線段（長(zhǎng)度為單位）運(yùn)動(dòng)，它在任何一點(diǎn)的速度值等于它尚未經(jīng)過(guò)的距離，那么定義為的納皮爾對(duì)數(shù)，函數(shù)表達(dá)式為（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），則從靠近的第一個(gè)五等分點(diǎn)移動(dòng)到靠近的四等分點(diǎn)經(jīng)過(guò)的時(shí)間約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．秒 B．秒C．秒 D．秒【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到靠近點(diǎn)的第一個(gè)五等分點(diǎn)時(shí)，，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)時(shí)，，計(jì)算出、，可求得的值，即為所求.【詳解】由題意可知，、兩點(diǎn)的初速度為單位/秒，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到靠近點(diǎn)的第一個(gè)五等分點(diǎn)時(shí)，，則，可得，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)時(shí)，，則，可得，故所求時(shí)間為（秒），故選：C.二、多選題9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．命題“”的否定是“”C．若，則D．“”是“為第一象限角”的充要條件【答案】AC【分析】選項(xiàng)A分類討論即可，選項(xiàng)B利用全稱命題的否定是特稱命題判斷，選項(xiàng)C利用作差法判斷，選項(xiàng)D利用充分條件，必要條件的定義判斷.【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，故A正確；對(duì)于B，命題“”的否定是“”，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，由，因?yàn)?，所以，所以，即，故C正確；對(duì)于D，由，得或，則在第一象限角或第四象限角，故充分性不成立，反之是第一象限角，則，得，故必要性成立，故“”是“是第一象限角”的必要不充分條件，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物．巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個(gè)相同的菱形組成．巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜．如圖是一個(gè)蜂巢的正六邊形開口，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量為【答案】BCD【分析】根據(jù)正六邊形的特點(diǎn)，在圖中作出相關(guān)向量，對(duì)A利用向量減法運(yùn)算結(jié)合圖形即可判斷，對(duì)B借助圖形和共線向量的定義即可判斷，對(duì)C利用向量數(shù)量積公式和相關(guān)模長(zhǎng)的關(guān)系即可判斷，對(duì)D結(jié)合圖形即可判斷.【詳解】對(duì)A，，顯然由圖可得與為相反向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由圖易得，直線平分角，且為正三角形，根據(jù)平行四邊形法則有與共線且同方向，易知均為含的直角三角形，故，則，而，故，故，故B正確；對(duì)C，，，則，又，，，，故C正確；對(duì)D，由C知，則在上的投影向量為，故D正確.故選：BCD.11．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A．若將的圖象向右平移個(gè)單位得到，則函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱D．若，則的最小值為【答案】ACD【分析】利用三角函數(shù)圖象變換以及正弦型函數(shù)的對(duì)稱性求出的值，再利用三角函數(shù)圖象以及余弦型函數(shù)的奇偶性可判斷A選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷C選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的周期可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，則，所以，，則，所以，，將的圖象向右平移個(gè)單位得到，則，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，所以，函數(shù)在上不單調(diào)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，函?shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，且，則或，故的最小值為函數(shù)最小正周期的一半，即，D對(duì).故選：ACD.12．若函數(shù)，則（

）A．為周期函數(shù)B．在上單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，恒成立D．的圖象只有一個(gè)對(duì)稱中心【答案】BC【分析】利用周期函數(shù)的定義可判斷A；通過(guò)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可判斷B；令，結(jié)合單調(diào)性可判斷C；由可求得對(duì)稱中心即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，令，，當(dāng)時(shí)，，故不存在非零常數(shù)，使成立，故不是周期函數(shù)，即不是周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，令，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，即，故C正確；對(duì)于D，，則，故關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由于，則對(duì)稱中心不只一個(gè)，故D錯(cuò)誤．故選：BC．三、填空題13．已知函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在角的終邊上，則滿足條件的值可以為_________.【答案】（答案不唯一）【分析】求出點(diǎn)的值，可知為第二象限角，求出的值，可得出的值，即可得解.【詳解】對(duì)于函數(shù)，令，可得，此時(shí)，即，則，因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，故為第二象限角，故.故答案為：（答案不唯一）.14．已知實(shí)數(shù)且，則的最小值為______.【答案】2【分析】變形，展開，然后利用基本不等式求最小值.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.四、雙空題15．如圖，在菱形中，，分別是邊上的點(diǎn)，且，，連接，交點(diǎn)為．設(shè)，則（1）_____；（2）________．【答案】

【分析】（1），由三點(diǎn)共線得，，結(jié)合平面向量基本定理可求得；（2）取作為平面的一組基底，用基底表示出向量，求出，，，由向量夾角公式即可求得答案.【詳解】，又三點(diǎn)共線，則，，因?yàn)椴还簿€，由平面向量基本定理，得且，解得．（2）取作為平面的一組基底，則，，不妨設(shè)，則，，，，．故答案為：，．五、填空題16．已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為_______．【答案】##【分析】計(jì)算得出，并分析出函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得出，利用基本不等式可求得的最大值.【詳解】對(duì)任意的，，則函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，在上也為增函數(shù)，故函數(shù)在上也為增函數(shù)，由可得，所以，，可得，當(dāng)取最大值時(shí)，必有，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.故答案為：.六、解答題17．在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊在軸的正半軸上，終邊與單位圓的交點(diǎn)為，其中．(1)求和的值；(2)設(shè)向量，若，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由三角函數(shù)的定義以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得的值，進(jìn)而可求得和的值；（2）由平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得的值，再利用弦化切可求得的值.【詳解】（1）解：由三角函數(shù)的定義可知，，因?yàn)?，由同角三角函?shù)的平方關(guān)系可得，解得，因此，，.（2）解：由（1）可知，又因?yàn)?，且，則，若，則，顯然不滿足，所以，，故，因此，.18．函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)先將函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，再將得到的函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，最后得到函數(shù)，求在區(qū)間上的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）由圖可得出的值，求出的最小正周期，可求得的值，由結(jié)合的取值范圍可求得的值，可得出函數(shù)的解析式；（2）利用三角函數(shù)圖象變換可得出函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得在上的值域.【詳解】（1）解：由圖可知，，函數(shù)的最小正周期為，，，可得，，則，，則，所以，.（2）解：將函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，可得到函數(shù)的圖象，再將得到的函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，最后得到函數(shù)的圖象，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以，，因此，在區(qū)間上的值域?yàn)?19．已知函數(shù)，若的解集為．(1)求不等式的解集；(2)若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件結(jié)合韋達(dá)定理求出，化簡(jiǎn)不等式，根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可；（2）令，，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，分離參變量，結(jié)合基本不等式求出答案.【詳解】（1）∵的解集為，∴方程的兩個(gè)根為，且，由韋達(dá)定理可得，解得，∴，∴不等式即，即，解得，∴不等式的解集為．（2）令，由，得，由對(duì)恒成立，得在上恒成立，∴在上恒成立，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立，∴．20．如圖，在直角三角形中，．點(diǎn)分別是線段上的點(diǎn)，滿足．(1)求的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由題意得，結(jié)合即可得解；（2）由，求解即可.【詳解】（1）在直角三角形中，．∴，，，∵，∴．（2）令，得或（舍）.∴存在實(shí)數(shù)，使得．21．已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)；(2)當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，①求的值；②設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)①；②或.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合可得出函數(shù)的零點(diǎn)；（2）①根據(jù)偶函數(shù)的定義結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得實(shí)數(shù)的值；②由可得，令，分析可知關(guān)于的方程只有個(gè)正數(shù)解，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，在時(shí)直接驗(yàn)證即可，在或時(shí)，根據(jù)二次方程根的分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，外層函數(shù)為上的增函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，函?shù)的零點(diǎn)為.（2）解：當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，，①，因?yàn)?，即，所以，?duì)恒成立，則，解得；②因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，只有一解，即只有一解，

所以，只有一解，令，則關(guān)于的方程只有個(gè)正數(shù)解，

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，不合題意；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，設(shè)方程兩根為、，則，所以，方程有一正一負(fù)根，負(fù)根舍去，符合題意；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故只需，解得.綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為或.22．若函數(shù)滿足：存在正實(shí)數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在，使成立，則稱該函數(shù)為“依附函數(shù)”．現(xiàn)已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)和是否為“依附函數(shù)”，并說(shuō)明理由；(2)設(shè)函數(shù)與互為反函數(shù)．令，試判斷在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)函數(shù)不是“依附函數(shù)”，函數(shù)是“依附函數(shù)”，理由見解析(2)在上