2022-2023學(xué)年江西省撫州市崇仁一中、廣昌一中、金溪一中高二年級(jí)下冊學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省撫州市崇仁一中、廣昌一中、金溪一中高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)隨機(jī)變量，則（

）A．10 B．30 C．15 D．5【答案】A【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由隨機(jī)變量滿足二項(xiàng)分布，所以，所以.故選：A.2．若的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（

）．A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】求得二項(xiàng)展開式的第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，二項(xiàng)式的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為，，可得，解得.故選：B.3．由數(shù)據(jù)，，…，可得關(guān)于的線性回歸方程為，若，則（

）A．48 B．52 C．56 D．80【答案】A【分析】根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：A.4．現(xiàn)有3個(gè)小組，每組3人，每人投籃1次，投中的概率均為，若1個(gè)小組中至少有1人投中，則稱該組為“成功組”，則這3個(gè)小組中恰有1個(gè)“成功組”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)計(jì)算概率即可.【詳解】1個(gè)小組是“成功組”的概率為,則這3個(gè)小組中恰有1個(gè)“成功組”的概率為.故選：B．5．某人連續(xù)兩次對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，若第一次擊中目標(biāo)，則第二次也擊中目標(biāo)的概率為，若第一次未擊中目標(biāo)，則第二次擊中目標(biāo)的概率為，已知第一次擊中目標(biāo)的概率為，則在第二次擊中目標(biāo)的條件下，第一次也擊中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出事件，利用全概率公式計(jì)算出，再利用條件概率公式計(jì)算出答案.【詳解】設(shè)第一次擊中目標(biāo)為事件A，第二次擊中目標(biāo)為事件B，則，，，所以，故，則故選：C6．某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個(gè)不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（

）種A．9 B．36 C．54 D．108【答案】C【分析】根據(jù)給定條件利用排列并結(jié)合排除法列式計(jì)算作答.【詳解】從含有3名男教師和2名女教師的5名教師中任選3名教師，派到3個(gè)不同的鄉(xiāng)村支教，不同的選派方案有種，選出3名教師全是男教師的不同的選派方案有種，所以3名教師中男女都有的不同的選派方案共有種故選：C7．我國古代典籍《藝經(jīng)》中記載了一種名為“彈棋”的游戲：“彈棋，二人對局，先列棋相當(dāng).下呼，上擊之.”其規(guī)則為：雙方各執(zhí)4子，擺放好后，輪流用己方棋子擊打?qū)Ψ狡遄樱辜悍狡遄由淙雽Ψ降膱A洞中，先射完全部4子者獲勝.現(xiàn)有甲、乙兩人對弈，其中甲、乙擊中的概率分別為、，甲執(zhí)先手，則雙方共擊9次后游戲結(jié)束的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)題意得到一定甲獲勝，且最后一次甲擊中，再求概率即可.【詳解】由題知：因?yàn)榧讏?zhí)先手，則雙方共擊9次后游戲結(jié)束，所以一定甲獲勝，且最后一次甲擊中，乙至多擊中3次，故概率.故選：C8．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，M為C上一點(diǎn)，M關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為N，若，且，則C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由對稱性知四邊形為平行四邊形，可求得及，在中，由余弦定理建立的關(guān)系，從而求得漸近線方程.【詳解】如圖所示，不妨設(shè)在左支，設(shè)右焦點(diǎn)為，連接，由對稱性知四邊形為平行四邊形，由得，由雙曲線定義知：，所以，因?yàn)?，所以在中，由余弦定理得，即，整理得，即，所以，則C的漸近線方程為.故選：D【點(diǎn)睛】求雙曲線的漸近線就是求與的關(guān)系，通過可通過幾何關(guān)系或代數(shù)式建立關(guān)于的一個(gè)齊次等式，求解均可得到漸近線方程.幾何關(guān)系通過用到平面幾何中的有關(guān)知識(shí)建立關(guān)系，甚至平面向量、正弦定理、余弦定理都可以用來建立關(guān)系式.二、多選題9．已知隨機(jī)變量從二項(xiàng)分布，則（

）A． B．C． D．最大時(shí)或501【答案】AD【分析】結(jié)合二項(xiàng)分布的性質(zhì)，逐項(xiàng)計(jì)算，即可得到本題答案.【詳解】對A，，所以A對；對B，因?yàn)?，且，所以，所以B錯(cuò)；對C，因?yàn)椋?，所以C錯(cuò)；對D，因?yàn)?，由組合數(shù)的性質(zhì)得，最大時(shí)或501，所以D對.故選：AD10．已知某批零件的質(zhì)量指標(biāo)單位：毫米服從正態(tài)分布，且，現(xiàn)從該批零件中隨機(jī)取件，用表示這件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值不位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，則（

）A．P(25.35<<25.45)=0.8 B．E(X)=2.4C．D(X)=0.48 D．【答案】ACD【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性、概率公式，結(jié)合二項(xiàng)分布的公式，可得答案.【詳解】由正態(tài)分布的性質(zhì)得P(25.35<<25.45)=1-2P(24.45)=1-20.1=0.8，故A正確；則1件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值不位于區(qū)間(25.35，25.45)的概率為P=0.2，所以，故E(X)=30.2=0.6，故B錯(cuò)誤；D(X)=30.20.8=0.48，故C正確；，故D正確．故選：ACD.11．2022年冬奧會(huì)在北京舉辦，為了弘揚(yáng)奧林匹克精神，上饒市多所中小學(xué)開展了冬奧會(huì)項(xiàng)目科普活動(dòng).為了調(diào)查學(xué)生對冬奧會(huì)項(xiàng)目的了解情況，在本市中小學(xué)中隨機(jī)抽取了10所學(xué)校中的部分同學(xué)，10所學(xué)校中了解冬奧會(huì)項(xiàng)目的人數(shù)如圖所示：若從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取3所學(xué)校進(jìn)行冬奧會(huì)項(xiàng)目的宣講活動(dòng)，記為被選中的學(xué)校中了解冬奧會(huì)項(xiàng)目的人數(shù)在30以上的學(xué)校所數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A．的可能取值為0，1，2，3 B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意分析服從參數(shù)為10，4，3的超幾何分布，根據(jù)超幾何分布的性質(zhì)運(yùn)算即可對選項(xiàng)一一驗(yàn)證得出答案.【詳解】由題意可得的可能取值為0，1，2，3，故A正確；分析可得服從參數(shù)為10，4，3的超幾何分布，其分布列為，則，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D正確；故選：ACD.12．為排查新型冠狀病毒肺炎患者，需要進(jìn)行核酸檢測．現(xiàn)有兩種檢測方式：（1）逐份檢測：（2）混合檢測：將其中k份核酸分別取樣混合在一起檢測，若檢測結(jié)果為陰性，則這k份核酸全為陰性，因而這k份核酸只要檢測一次就夠了，如果檢測結(jié)果為陽性，為了明確這k份核酸樣本究竟哪幾份為陽性，就需要對這k份核酸再逐份檢測，此時(shí)，這k份核酸的檢測次數(shù)總共為次．假設(shè)在接受檢測的核酸樣本中，每份樣本的檢測結(jié)果是陰性還是陽性都是獨(dú)立的，并且每份樣本是陽性的概率都為，若，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)判斷下列哪些p值能使得混合檢測方式優(yōu)于逐份檢測方式．（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【答案】CD【分析】計(jì)算混合檢測分式，樣本需要檢測的總次數(shù)的期望，又逐份檢測方式，樣本需要檢測的總次數(shù)，知，利用求解可得p的范圍，即可得出選項(xiàng).【詳解】設(shè)混合檢測分式，樣本需要檢測的總次數(shù)可能取值為，故的分布列為：111設(shè)逐份檢測方式，樣本需要檢測的總次數(shù)，則要使得混合檢測方式優(yōu)于逐份檢測方式，需即，即，即又，，故選：CD三、填空題13．隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若，則_________.X－101Pab【答案】5【分析】利用離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，列出方程組，求出，，由此能求出方差，再根據(jù)方差的性質(zhì)計(jì)算可得．【詳解】依題意可得，解得，所以，所以.故答案為：5.14．某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布．質(zhì)量指標(biāo)介于99至101之間的產(chǎn)品為良品，為使這種產(chǎn)品的良品率達(dá)到，則需調(diào)整生產(chǎn)工藝，使得σ至多為____________．（若，則；；）【答案】##【分析】根據(jù)題意，由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】依題可知，，再根據(jù)題意以及正態(tài)曲線的特征可知，的解集，由可得，所以，解得：，故σ至多為．故答案為：．15．直線始終平分圓的周長，則的最小值為______．【答案】##【分析】由題意可得直線過圓心，再將用表示，結(jié)合二次函數(shù)即可得解.【詳解】解：圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心為，因?yàn)橹本€始終平分圓的周長，所以直線過圓心，則，所以，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.16．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD，，，點(diǎn)Q是側(cè)棱PD的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在邊AB，BC上，當(dāng)空間四邊形PMND的周長最小時(shí)，點(diǎn)Q到平面PMN的距離為______．【答案】##【分析】平面PAB沿AB展開到與平面ABCD共面，當(dāng)點(diǎn)P，M，N和共線時(shí)周長最小，計(jì)算得到，，，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的法向量為，根據(jù)距離公式計(jì)算得到答案.【詳解】要使得空間四邊形PMND周長最小，只需將平面PAB沿AB展開到與平面ABCD共面，延長DC至，使得，于是點(diǎn)N在線段的垂直平分線上，所以，因?yàn)镻D為定值，故當(dāng)點(diǎn)P，M，N和共線時(shí)，空間四邊形PMND的周長最小，易得，即得，即，所以，，，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，由題意可得，，，則，，設(shè)是平面PMN的一個(gè)法向量，則.即得，令，得，，，，所以點(diǎn)Q到平面PMN的距離．故答案為：．四、解答題17．某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品是經(jīng)過三道工序加工而成的，這三道工序互不影響，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品三道工序的次品率分別為，，．(1)求該產(chǎn)品的次品率；(2)從該工廠生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中隨機(jī)抽取三件，記次品的件數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件的乘法概率計(jì)算公式能求出產(chǎn)品為正品的概率，即可由對立事件求次品概率（2）由題意得，1，2，3，分別求出其相對應(yīng)的概率，能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）產(chǎn)品正品的概率為：，所以為次品的概率為（2）由題意得，1，2，3，且，，，，的分布列如下：0123．18．在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，二面角為直二面角.(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，進(jìn)而得出.然后即可根據(jù)線面垂直的判定定理得出平面，然后即可得出；（2）取中點(diǎn)為，連結(jié).取中點(diǎn)為，連結(jié).由已知可證平面，.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量，即可根據(jù)向量法求出答案.【詳解】（1）由題意知平面平面，又平面平面，，平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)?，，平面，平面，所以平?因?yàn)槠矫妫?（2）取中點(diǎn)為，連結(jié).取中點(diǎn)為，連結(jié).因?yàn)?，點(diǎn)是中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?因?yàn)辄c(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，所以，則.則，.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則，所以是平面的一個(gè)法向量.設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成的角的正弦值為.19．袋子中有8張水果卡片，其中4張?zhí)O果卡片，4張梨子卡片，消費(fèi)者從該袋子中不放回地隨機(jī)抽取4張卡片，若抽到的4張卡片都是同一種水果，則獲得一張10元代金券；若抽到的4張卡片中恰有3張卡片是同一種水果，則獲得一張5元代金券；若抽到的4張卡片是其他情況，則不獲得任何獎(jiǎng)勵(lì)．(1)求某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中抽到的4張卡片都是蘋果卡片的概率；(2)記隨機(jī)變量X為某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獲得代金券的金額數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)該商家規(guī)定，每位消費(fèi)者若想再次參加該項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，則需支付2元．若你是消費(fèi)者，是否愿意再次參加該項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)？請說明理由．【答案】(1)；(2)分布列見解析，；(3)愿意，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；（2）依題意X的可能取值為0、5、10，求出所對應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望；（3）記隨機(jī)變量Y為消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中的收益，則Y＝X﹣3，根據(jù)期望的性質(zhì)求出E（Y），即可判斷；【詳解】（1）記“某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中抽到的4張卡片上都是蘋果為事件A，則P（A）＝＝，所以某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中抽到的4張卡片上都是蘋果的概率為；（2）依題意隨機(jī)變量X的所有可能取值為0、5、10，則P（X＝0）＝＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝10）＝＝，所以X的分布列為：X0510P

所以E（X）＝10×+5×+0×＝；（3）記隨機(jī)變量Y為消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中的收益，則Y＝X﹣2，所以E（Y）＝E（X﹣2）＝E（X）﹣2＝﹣2＝＞0，所以愿意再次參加該項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)．20．為了豐富在校學(xué)生的課余生活，某校舉辦了一次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)活動(dòng)，學(xué)校設(shè)置項(xiàng)目A“毛毛蟲旱地龍舟”和項(xiàng)目B“袋鼠接力跳”．甲、乙兩班每班分成兩組，每組參加一個(gè)項(xiàng)目，進(jìn)行班級(jí)對抗賽．每一個(gè)比賽項(xiàng)目均采取五局三勝制（即有一方先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束），假設(shè)在項(xiàng)目A中甲班每一局獲勝的概率為，在項(xiàng)目B中甲班每一局獲勝的概率為，且每一局之間沒有影響．(1)求甲班在項(xiàng)目A中獲勝的概率；(2)設(shè)甲班獲勝的項(xiàng)目個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）記“甲班在項(xiàng)目A中獲勝”為事件A，利用獨(dú)立事件的乘法公式求解即可；（2）先算出“甲班在項(xiàng)目B中獲勝”的概率，然后利用獨(dú)立事件的乘法公式得到X的分布列，即可算出期望【詳解】（1）記“甲班在項(xiàng)目A中獲勝”為事件A，則，所以甲班在項(xiàng)目A中獲勝的概率為（2）記“甲班在項(xiàng)目B中獲勝”為事件B，則，X的可能取值為0，1，2，則，，．所以X的分布列為X012P．所以甲班獲勝的項(xiàng)目個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過點(diǎn)，離心率．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積最大值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）設(shè)橢圓方程為，根據(jù)題意求出，即可得解；（2）聯(lián)立方程，根據(jù)求出的范圍，再利用韋達(dá)定理求得，再利用弦長公式求出，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)O到直線的距離，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，由橢圓C過點(diǎn)，離心率，得，解得，，所以橢圓C的方程為：；（2）設(shè)，，聯(lián)立，得，，得，則，所以，點(diǎn)O到直線的距離，所以△AOB的面積，當(dāng)時(shí)，△AOB的面積取到最大值1.22．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；（2）法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線，由韋達(dá)定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達(dá)定理可解.