2023屆四川省達州市高三第一次診斷測試模擬考試數(shù)學（理）試題【含答案】

2023屆四川省達州市高三第一次診斷測試模擬考試數(shù)學（理）試題一、單選題1．設集合，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別解方程和不等式求出集合和集合，再求并集即可.【詳解】對于集合，由解得或，∴，對于集合，不等式等價于，∵是定義在上的增函數(shù)，∴，∴，∴.故選：A.2．如圖，若向量對應的復數(shù)為z，則表示的復數(shù)為（

）A．1＋3i B．－3－iC．3－i D．3＋i【答案】D【解析】利用復數(shù)與向量的對應關系可得z＝1－i，再利用復數(shù)的運算法則即可得出答案.【詳解】由題圖可得Z（1，－1），即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義、復數(shù)與向量之間的對應關系、復數(shù)的運算法則.3．設條件甲：“事件A與事件B是對立事件”，結論乙：“概率滿足P（A）＋P（B）＝1”，則甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】將兩個條件相互推導，根據(jù)能否推導的情況選出正確答案.【詳解】①若事件A與事件B是對立事件，則A∪B為必然事件，再由概率的加法公式得P（A）＋P（B）＝1；②投擲一枚硬幣3次，滿足P（A）＋P（B）＝1，但A，B不一定是對立事件，如：事件A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事件B：“出現(xiàn)3次正面”，則P（A）＝，P（B）＝，滿足P（A）＋P（B）＝1，但A，B不是對立事件.所以甲是乙的充分不必要條件.故選：A【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查對立事件的理解，屬于基礎題.4．已知直線與圓相切，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由直線與圓相切可得，然后利用均值不等式可得，從而可求的最大值.【詳解】解：因為直線與圓相切，所以，即，因為，所以，所以，所以的最大值為，故選：D.5．執(zhí)行程序框圖，則輸出的數(shù)值為（

）A．31 B．32 C．63 D．64【答案】C【分析】模擬程序的運行過程，逐步計算即可求出結果．【詳解】解：模擬程序的運行，，滿足條件，，，滿足條件，，，滿足條件，，，滿足條件，，，滿足條件，，，此時，不滿足條件，退出循環(huán)，輸出S的值為63．故選：C．6．的展開式中，的系數(shù)為A．10 B．20C．30 D．60【答案】C【詳解】在的5個因式中，2個取因式中剩余的3個因式中1個取，其余因式取y,故的系數(shù)為=30，故選C.【解析】本題主要考查利用排列組合知識計算二項式展開式某一項的系數(shù).【名師點睛】本題利用排列組合求多項展開式式某一項的系數(shù)，試題形式新穎，是中檔題，求多項展開式式某一項的系數(shù)問題，先分析該項的構成，結合所給多項式，分析如何得到該項，再利用排列組知識求解.7．已知平面向量，是非零向量，，，則向量在向量方向上的投影為（

）A．? B．1 C．? D．2【答案】A【分析】首先通過條件求得，然后根據(jù)數(shù)量積的運算公式求出，進而求解在方向上投影.【詳解】平面向量是非零向量，，，則.設與夾角為，則，在方向上投影為.故選：A8．由倫敦著名建筑事務所SteynStudio設計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學與建筑完美結合造就的藝術品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線??下支的一部分，且此雙曲線的下焦點到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為（

）A．? B．?C．? D．?【答案】B【分析】首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可.【詳解】設雙曲線的一個焦點為，一條漸近線方程為，則焦點到漸近線的距離，所以，即雙曲線方程為：.故選：B9．已知定義在?上的函數(shù)?滿足，當?時，??，則?等于（

）A．1 B．? C．? D．2【答案】D【分析】有題目條件，可得周期為4，且圖像關于對稱，據(jù)此可得.【詳解】因，則圖像關于對稱又因，則，即周期為4.則，又當?時，，則，即.故選：D10．某顧客在2020年1月1日采用分期付款的方式購買一輛價值2萬元的家電，在購買一個月后2月1日第一次還款，且以后每個月1日等額還款一次，如果一年內還清全部貸款（12月1日最后一次還款），月利率為0.5％.按復利計算，則該顧客每個月應還款多少元？（精確到1元，參考值，）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設每月還款元，每月還款按得利計算，11次還款的本利和等于銀行貸款按復利計算的本利和，由此可得．【詳解】設每月還款元，共還款11個月，所以，．故選：A．11．已知函數(shù)在上不單調，在上單調，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先運用輔助角公式將函數(shù)解析式化為，則當時，，當時，，依題意只需且即可.【詳解】依題意，函數(shù)在上不單調，故，即；因為時，；故，則，解得：，而，且，，故選D．【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調性求參問題，難度一般.解答時采用整體思想，用整體的范圍與原函數(shù)單調區(qū)間的關系來求解.12．如圖所示，設正方體的棱長為，點是棱上一點，且，過，，的平面交平面于，在直線上，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】連接，由面面平行性質定理，可以證出，所以，，利用相似比即可求出.【詳解】在正方體中，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，又∵在正方體中，平面平面，平面平面，平面平面，∴，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵正方體的棱長為，∴，，，∴.故選：A.二、填空題13．設變量滿足約束條件：，則目標函數(shù)的最大值為__________.【答案】##4.5【分析】根據(jù)不等式組作出可行域，再結合目標函數(shù)的幾何意義求最值.【詳解】根據(jù)不等式組作出可行域，如圖所示當目標函數(shù)經過點時，取最大值為故答案為：##4.514．已知數(shù)列?滿足，，?，則?等于__________.【答案】7【分析】首先根據(jù)題意得到是等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的性質求解即可.【詳解】因為，所以是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質可得，解得.，解得.所以.故答案為：715．已知點是坐標平面內一定點，若拋物線的焦點為，點是拋物線上的一動點，則的最小值是__________.【答案】##【分析】根據(jù)拋物線的性質，做出圖像即可得到當平行于軸時，取得最小值，從而得到結果.【詳解】拋物線的準線方程為，過點作垂直準線于點，顯然，當平行于軸時，取得最小值，此時，此時故答案為:.16．已知當時，不等式恒成立，則正實數(shù)a的最小值為___________.【答案】【分析】將問題轉化為，設，根據(jù)函數(shù)的單調性求出，令（），利用導數(shù)求出其最小值，從而可求出實數(shù)a的取值范圍，進而可求得正實數(shù)a的最小值【詳解】由題意得，原不等式可變形為，即，設，則當時，恒成立，由，得，當時，，當時，，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，因為，，所以，，因為在上單調遞增，所以要使，只要，兩邊取對數(shù)得，，因為，所以，令（），則，所以在上單調遞增，所以，所以，所以，所以正實數(shù)a的最小值為，故答案為：【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數(shù)的綜合應用，考查數(shù)學轉化思想，解題的關鍵是將原不等式轉化為，發(fā)現(xiàn)兩邊形式相同，所以構造函數(shù)，轉化為當時，恒成立，再由函數(shù)的單調性可得，再轉化為恒成立，構造函數(shù)求出其最小值即可，屬于較難題三、解答題17．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（I）求A；（Ⅱ）設D是線段的中點，若，，求a．【答案】（I）；（Ⅱ）【分析】（I）先由正弦定理，將所給條件化為，再由余弦定理，即可得出結果；（Ⅱ）根據(jù)題中條件，得到，推出，再由余弦定理得到，兩式聯(lián)立求出，進而可求出.【詳解】（I）根據(jù)正弦定理，由可得，即，由余弦定理可得，，因為為三角形內角，所以；（Ⅱ）因為D是線段的中點，，，所以，則，所以，即，整理得；又，所以，解得或（舍），因此，所以【點睛】思路點睛：求解三角形中的邊長或面積等問題時，一般需要根據(jù)正弦定理，或余弦定理，將題中條件進行轉化，得出對應的方程求解即可.18．某種病菌在某地區(qū)人群中的帶菌率為，目前臨床醫(yī)學研究中已有費用昂貴但能準確檢測出個體是否帶菌的方法.現(xiàn)引進操作易、成本低的新型檢測方法:每次只需檢測兩項指標，若指標的值大于4且指標的值大于100，則檢驗結果呈陽性，否則呈陰性.為考查該檢測方法的準確度，隨機抽取50位帶菌者(用“*”表示)和50位不帶菌者(用“+”表示)各做1次檢測，他們檢測后的數(shù)據(jù)，制成如下統(tǒng)計圖:陽性陰性總計帶菌不帶菌總計

(1)根據(jù)獨立性檢驗，完成列聯(lián)表，判斷是否有以上的把握認為“帶菌”與“檢測結果呈陽性”有關?(2)現(xiàn)用新型檢測方法，對該地區(qū)人群進行全員檢測，用頻率估計概率，求每個被檢者“帶菌”且“檢測結果呈陽性”的概率.附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有?以上的把握認為“帶菌”與“檢測結果呈陽性”有關；(2).【分析】（1）據(jù)已知統(tǒng)計表，求得列聯(lián)表，結合參考數(shù)據(jù)和參考公式求得，即可判斷；（2）知數(shù)據(jù)，結合條件概率的計算公式，求解即可.【詳解】（1）?列聯(lián)表如下：陽性陰性總計帶菌不帶菌總計根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經計算得到?，所以有?以上的把握認為“帶菌”與“檢測結果呈陽性”有關.（2）設事件表示：被檢測者帶菌，事件表示：被檢測者檢測結果呈陽性，則表示：被檢者帶菌且檢測結果呈陽性，用頻率估計概率，根據(jù)題意可知?，所以由條件概率公式可知?.19．如圖，三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，.(1)證明:；(2)若，求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）作出輔助線，由余弦定理求出，進而得到，由勾股定理逆定理得到，結合，得到線面垂直，證明出；（2）證明出，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解線面角.【詳解】（1）證明:連接，在中，，由余弦定理得，，，，.又為等腰直角三角形，且，，，平面，平面.∵平面，∴（2），，，如圖，以A為原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，設平面的一個法向量為，由，得，令，得，平面的一個法向量為.，設與平面所成角的大小為，，與平面所成角的正弦值為.20．平面直角坐標系?中，已知橢圓?，橢圓??.設點?為橢圓?上任意一點，過點?的直線?交橢圓?于?兩點，射線?交橢圓?于點?.(1)求?的值；(2)求?面積的最大值.【答案】(1)2(2)【分析】(1)設?，根據(jù)比例關系得出，將點的坐標分別代入方程即可求解；(2)由(1)知，的?面積為?，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理和三角形面積公式求出，利用換元法求出面積的最值即可.【詳解】（1）設?，由題意知?.因為?，又?，即?，所以?，即?.（2）由(1)知，的?面積為?，設?.將?代入橢圓?的方程，可得?，由?，可得?，①則有?.所以?.因為直線?與?軸交點的坐標為?，所以?的面積??.設?，將?代入橢圓?的方程，可得?，由?，可得?，②由(1)(2)可知?，因此?，故?，當且僅當?，即?時取得最大值?.所以面積的最大值為?.21．已知函數(shù)(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，k∈R)．(1)討論函數(shù)的單調性；(2)當函數(shù)有兩個零點時，證明：．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【詳解】試題分析：本題考查導數(shù)與函數(shù)單調性的關系以及用導數(shù)證明不等式的問題．（1）求導數(shù)后，根據(jù)導函數(shù)的符號判斷出函數(shù)的單調性．（2）根據(jù)題意將證明的問題轉化為證明，即證，構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性證明即可．試題解析：（1）解：∵∴．①當時，令，解得，∴當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．②當時，恒成立，∴函數(shù)在R上單調遞增.綜上，當時，在上單調遞減，在上單調遞增．當時，在R上單調遞增.（2）證明：當時，由（1）知函數(shù)單調遞增，不存在兩個零點．所以．設函數(shù)的兩個零點為，則，設，解得，所以，要證，只需證，設設單調遞增，所以，所以在區(qū)間上單調遞增，所以，故．22．在平面直角坐標系xOy中，曲線的方程為：.以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線，的極坐標方程分別為：，.（1）若曲線，相交于異于極點的點Q，求點Q的直角坐標；（2）若直線與，相交于異于極點的A，B兩點，求的最大值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）分別求出、的直徑坐標方程，進而聯(lián)立兩個直角坐標方程，可求出點Q的直角坐標；（2）求出的極坐標方程，設，，從而可得，利用三角函數(shù)求最值即可.【詳解】（1）由，得，將代入，可得的直角坐標方程為