運籌學(xué)經(jīng)典課件第十六章決策分析

運籌學(xué)經(jīng)典課件第十六章決策分析第1頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日2第十六章決策分析

“決策”一詞來源于英語Decisionmaking，直譯為“做出決定”。所謂決策，就是為了實現(xiàn)預(yù)定的目標在若干可供選擇的方案中，選出一個最佳行動方案的過程，它是一門幫助人們科學(xué)地決策的理論。第2頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日3第十六章決策分析決策的分類：按決策問題的重要性分類按決策問題出現(xiàn)的重復(fù)程度分類按決策問題的定量分析和定性分析分類按決策問題的自然狀態(tài)發(fā)生分類：確定型決策問題在決策環(huán)境完全確定的條件下進行。不確定型決策問題在決策環(huán)境不確定的條件下進行，決策者對各自然狀態(tài)發(fā)生的概率一無所知。風險型決策問題在決策環(huán)境不確定的條件下進行，決策者對各自然狀態(tài)發(fā)生的概率可以預(yù)先估計或計算出來。第3頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日4構(gòu)成決策問題的四個要素:

決策目標、行動方案、自然狀態(tài)、效益值行動方案集：A={s1,s2,…,sm}自然狀態(tài)集：N={n1,n2,…,nk}效益(函數(shù))值：v=(si,nj)自然狀態(tài)發(fā)生的概率P=P(sj)j=1,2,…,m決策模型的基本結(jié)構(gòu)：(A,N,P,V)基本結(jié)構(gòu)(A,N,P,V)常用決策表、決策樹等表示。第十六章決策分析第4頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日5

特征：1、自然狀態(tài)已知；2、各方案在不同自然狀態(tài)下的收益值已知；3、自然狀態(tài)發(fā)生不確定。例：某公司需要對某新產(chǎn)品生產(chǎn)批量作出決策，各種批量在不同的自然狀態(tài)下的收益情況如下表（收益矩陣）：§1不確定情況下的決策

N1(需求量大)N2(需求量小)S1(大批量生產(chǎn))30-6S2(中批量生產(chǎn))20-2S3(小批量生產(chǎn))105自然狀態(tài)行動方案

特征：1、自然狀態(tài)已知；2、各方案在不同自然狀態(tài)下的收益值已知；3、自然狀態(tài)發(fā)生不確定。例：某公司需要對某新產(chǎn)品生產(chǎn)批量作出決策，各種批量在不同的自然狀態(tài)下的收益情況如下表（收益矩陣）：

N1(需求量大)N2(需求量小)S1(大批量生產(chǎn))30-6S2(中批量生產(chǎn))20-2S3(小批量生產(chǎn))105自然狀態(tài)行動方案第5頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日6一、最大最小準則（悲觀準則）決策者從最不利的角度去考慮問題：先選出每個方案在不同自然狀態(tài)下的最小收益值（最保險），然后從這些最小收益值中取最大的，從而確定行動方案。

用(Si,Nj)表示收益值§1不確定情況下的決策第6頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日7二、最大最大準則（樂觀準則）決策者從最有利的角度去考慮問題：先選出每個方案在不同自然狀態(tài)下的最大收益值（最樂觀），然后從這些最大收益值中取最大的，從而確定行動方案。

用(Si,Nj)表示收益值§1不確定情況下的決策第7頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日8三、等可能性準則(Laplace準則)

決策者把各自然狀態(tài)發(fā)生的機會看成是等可能的：設(shè)每個自然狀態(tài)發(fā)生的概率為1/事件數(shù)，然后計算各行動方案的收益期望值。

用E(Si)表示第I方案的收益期望值§1不確定情況下的決策第8頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日9四、樂觀系數(shù)(折衷)準則(Hurwicz胡魏茲準則)

決策者取樂觀準則和悲觀準則的折衷：先確定一個樂觀系數(shù)（01），然后計算：CVi=max[(Si,Nj)]+（1-）min[(Si,Nj)]

從這些折衷標準收益值CVi中選取最大的，從而確定行動方案。取=0.7§1不確定情況下的決策第9頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日10五、后悔值準則（Savage沙萬奇準則）決策者從后悔的角度去考慮問題：把在不同自然狀態(tài)下的最大收益值作為理想目標，把各方案的收益值與這個最大收益值的差稱為未達到理想目標的后悔值，然后從各方案最大后悔值中取最小者，從而確定行動方案。

用aij’表示后悔值，構(gòu)造后悔值矩陣：§1不確定情況下的決策第10頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日11

特征：1、自然狀態(tài)已知；2、各方案在不同自然狀態(tài)下的收益值已知；3、自然狀態(tài)發(fā)生的概率分布已知。一、最大可能準則在一次或極少數(shù)幾次的決策中，取概率最大的自然狀態(tài)，按照確定型問題進行討論?！?風險型情況下的決策第11頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日12二、期望值準則根據(jù)各自然狀態(tài)發(fā)生的概率，求不同方案的期望收益值，取其中最大者為選擇的方案。

E(Si)=P(Nj)(Si,Nj)§2風險型情況下的決策第12頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日13三、決策樹法具體步驟：(1)從左向右繪制決策樹；(2)從右向左計算各方案的期望值，并將結(jié)果標在相應(yīng)方案節(jié)點的上方；(3)選收益期望值最大(損失期望值最小)的方案為最優(yōu)方案，并在其它方案分支上打∥記號。主要符號

決策點方案節(jié)點結(jié)果節(jié)點§2風險型情況下的決策第13頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日14前例根據(jù)下圖說明S3是最優(yōu)方案，收益期望值為6.5。決策S1S2S3大批量生產(chǎn)中批量生產(chǎn)小批量生產(chǎn)N1(需求量大)；P(N1)=0.3N1(需求量大)；P(N1)=0.3N1(需求量大)；P(N1)=0.3N2(需求量小)；P(N2)=0.7N2(需求量小)；P(N2)=0.7N2(需求量小)；P(N2)=0.730-62010-254.84.66.56.5§2風險型情況下的決策第14頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日15四、靈敏度分析研究分析決策所用的數(shù)據(jù)在什么范圍內(nèi)變化時,原最優(yōu)決策方案仍然有效.

前例取P(N1)=p,P(N2)=1-p.那么

E(S1)=p30+(1-p)(-6)=36p-6p=0.35為轉(zhuǎn)折概率

E(S2)=p20+(1-p)(-2)=22p-2實際的概率值距轉(zhuǎn)

E(S3)=p10+(1-p)(+5)=5p+5折概率越遠越穩(wěn)定E(S1)E(S2)E(S3)010.35p取S3取S1§2風險型情況下的決策第15頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日16

§2風險型情況下的決策

在實際工作中，如果狀態(tài)概率、收益值在其可能發(fā)生的變化的范圍內(nèi)變化時，最優(yōu)方案保持不變，則這個方案是比較穩(wěn)定的。反之如果參數(shù)稍有變化時，最優(yōu)方案就有變化，則這個方案就不穩(wěn)定的，需要我們作進一步的分析。就自然狀態(tài)N1的概率而言，當其概率值越遠離轉(zhuǎn)折概率，則其相應(yīng)的最優(yōu)方案就越穩(wěn)定；反之，就越不穩(wěn)定。第16頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日17五、全情報的價值（EVPI）全情報：關(guān)于自然狀況的確切消息。在前例，當我們不掌握全情報時得到S3是最優(yōu)方案，數(shù)學(xué)期望最大值為0.3*10+0.7*5=6.5萬記為EVW0PI。若得到全情報：當知道自然狀態(tài)為N1時，決策者必采取方案S1，可獲得收益30萬，概率0.3；當知道自然狀態(tài)為N2時，決策者必采取方案S3，可獲得收益5萬,概率0.7。于是，全情報的期望收益為

EVWPI=0.3*30+0.7*5=12.5萬那么，EVPI=EVWPI-EVW0PI=12.5-6.5=6萬即這個全情報價值為6萬。當獲得這個全情報需要的成本小于6萬時，決策者應(yīng)該對取得全情報投資，否則不應(yīng)投資。注：一般“全”情報仍然存在可靠性問題。§2風險型情況下的決策第17頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日18六、具有樣本情報的決策分析（貝葉斯決策）先驗概率：由過去經(jīng)驗或?qū)＜夜烙嫷膶l(fā)生事件的概率；后驗概率：利用樣本情報對先驗概率修正后得到的概率；在貝葉斯決策法中，可以根據(jù)樣本情報來修正先驗概率，得到后驗概率。如此用決策樹方法，可得到更高期望值的決策方案。在自然狀態(tài)為Nj的條件下咨詢結(jié)果為Ik的條件概率，可用全概率公式計算再用貝葉斯公式計算條件概率的定義：乘法公式§2風險型情況下的決策第18頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日19例3、（在例2基礎(chǔ)上得來）某公司現(xiàn)有三種備選行動方案。S1：大批量生產(chǎn)；S2：中批量生產(chǎn)；S3：小批量生產(chǎn)。未來市場對這種產(chǎn)品需求情況有兩種可能發(fā)生的自然狀態(tài)。N1

：需求量大；N2

：需求量小，且N1的發(fā)生概率即P(N1)=0.3；N2的發(fā)生概率即P(N2)=0.7。經(jīng)估計，采用某一行動方案而實際發(fā)生某一自然狀態(tài)時，公司的收益下表所示：§2風險型情況下的決策N1N2S130-6S220-2S3105

現(xiàn)在該公司欲委托一個咨詢公司作市場調(diào)查。咨詢公司調(diào)查的結(jié)果也有兩種，I1

：需求量大；I2

：需求量小。并且根據(jù)該咨詢公司積累的資料統(tǒng)計得知，當市場需求量已知時，咨詢公司調(diào)查結(jié)論的條件概率如下表所示：自然狀態(tài)條件概率調(diào)查結(jié)論N1N2I1P(I1/N1)=0.8P(I1/N2)=0.1I2P(I2/N1)=0.2P(I2/N2)=0.9

我們該如何用樣本情報進行決策呢?如果樣本情報要價3萬元，決策是否要使用這樣的情報呢？第19頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日20

圖16-3

當用決策樹求解該問題時，首先將該問題的決策樹繪制出來，如圖16-3。為了利用決策樹求解，由決策樹可知，我們需要知道咨詢公司調(diào)查結(jié)論的概率和在咨詢公司調(diào)查結(jié)論已知時,作為自然狀態(tài)的市場需求量的條件概率?！?風險型情況下的決策第20頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日21

首先，由全概率公式求得聯(lián)合概率表：§2風險型情況下的決策聯(lián)合概率N1N2由全概率求得I10.240.07P(I1)=0.31I20.060.63P(I2)=0.69

然后，由條件概率公式P(N/I)=P(NI)/P(I)求得在調(diào)查結(jié)論已知時的條件概率表：條件概率P(N/I)N1N2I10.77420.2258I20.08700.9130

最后，在決策樹上計算各個節(jié)點的期望值，結(jié)果如圖16-4，結(jié)論為：當調(diào)查結(jié)論表明需求量大時，采用大批量生產(chǎn)；當調(diào)查結(jié)論表明需求量小時，采用小批量生產(chǎn)。第21頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日22

10.530221.87125.435圖16-4§2風險型情況下的決策第22頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日23

§2風險型情況下的決策

由決策樹上的計算可知，公司的期望收益可達到10.5302萬元，比不進行市場調(diào)查的公司收益6.5萬元要高，其差額就是樣本情報的價值，記為EVSI。EVSI=10.5302-6.5=4.0302(萬元)

所以當咨詢公司市場調(diào)查的要價低于4.0302萬元時，公司可考慮委托其進行市場調(diào)查，否則就不進行市場調(diào)查。在這里，因為公司要價3萬元，所以應(yīng)該委托其進行市場調(diào)查。進一步，我們可以利用樣本情報的價值與前面的全情報的價值(EVPI)的比值來定義樣本情報的效率，作為樣本情報的度量標準。樣本情報效率=EVSI/EVPI*100%

上例中，樣本情報價值的效率為4.0302/6*100%=67.17%，也就是說，這個樣本情報相當于全情報效果的67.17%。多級（兩級）決策樹問題如將前面兩個決策樹進行合并，可以得到一個兩級決策問題：首先決策是否要進行市場調(diào)查；然后根據(jù)調(diào)查結(jié)果如何安排生產(chǎn)。決策樹的求解結(jié)果如圖16-5。第23頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日247.536.510.53-3S4:不搞市場調(diào)查S5:搞市場調(diào)查1圖16-5第24頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日25效用：衡量決策方案的總體指標，反映決策者對決策問題各種因素的總體看法。使用效用值進行決策：首先把要考慮的因素折合成效用值，然后用決策準則下選出效用值最大的方案，作為最優(yōu)方案。例3：求下表顯示問題的最優(yōu)方案（萬元）:

某公司是一個小型的進出口公司，目前他面臨著兩筆進口生意，項目A和B，這兩筆生意都需要現(xiàn)金支付。鑒于公司目前財務(wù)狀況，公司至多做A、B中的一筆生意，根據(jù)以往的經(jīng)驗，各自然狀態(tài)商品需求量大、中、小的發(fā)生概率以及在各自然狀況下做項目A或項目B以及不作任何項目的收益如下表：§3效用理論在決策中的應(yīng)用第25頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日26用收益期望值法：

E(S1)=0.360+0.540+0.2(-100)=18萬

E(S2)=0.3100+0.5（-40）+0.2(-60)=-2萬

E(S3)=0.30+0.50+0.20=0萬得到S1

是最優(yōu)方案，最高期望收益18萬。一種考慮：

由于財務(wù)情況不佳，公司無法承受S1中虧損100萬的風險，也無法承受S2中虧損50萬以上的風險，結(jié)果公司選擇S3，即不作任何項目。用效用函數(shù)解釋：把上表中的最大收益值100萬元的效用定為10，即U(100)=10；最小收益值-100萬元的效用定為0，即U(-100)=0。對收益60萬元確定其效用值：設(shè)經(jīng)理認為使下兩項等價的p=0.95(1)得到確定的收益60萬；(2)以p的概率得到100萬，以1-p的概率損失100萬。

計算得：U（60）=p*U(100)+(1-p)*U(-100)=0.95*10+0.05*0=9.5。§3效用理論在決策中的應(yīng)用第26頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日27

類似地，設(shè)收益值為40、0、-40、-60。相應(yīng)等價的概率分別為0.90、0.75、0.55、0.40，可得到各效用值：

U(40)=9.0；U(0)=7.5；U(-40)=5.5；U(-60)=4.0我們用效用值計算最大期望，如下表：一般，若收益期望值能合理地反映決策者的看法和偏好，可以用收益期望值進行決策。否則，需要進行效用分析。收益期望值決策是效用期望值決策的一種特殊情況。說明如下：§3效用理論在決策中的應(yīng)用第27頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日28

§3效用理論在決策中的應(yīng)用

以收益值作橫軸，以效用值作縱軸，用A、B兩點作一直線，其中A點的坐標為(最大收益值，10)，B點的坐標為(最小收益值，0)，如果某問題的所有的收益值與其對應(yīng)的效用值組成的點都在此直線上，那么用這樣的效用值進行期望值決策是和用收益值進行期望值決策的結(jié)果完全一樣。以上面的例子作圖如下：-100100202060602610BA收益值效用值

直線方程為：y=5/100*x+5,于是求得：U(-60)=2,U(-40)=3,U(0)=5,U(40)=7,U(60)=8,用這樣的效用值，進行期望值決策，見表16-10。第28頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日29

§3效用理論在決策中的應(yīng)用

自然狀態(tài)行動方案需求量大N1(P=0.3)需求量大N2(P=0.5)需求量大N3(P=0.2)E[U(Si)]做項目AS18705.9←max做項目BS210324.9不做任何項目S35555表16-10單位：萬元

回顧一下，當我們對收益值進行期望值決策時，知：E(S1)=18,E(S2)=-2,E(S3)=0,E[U(S1)]=5.9,E[U(S2)]=4.9,E[U(S3)]=5,實際上后面的值也是由直線方程E[U(Si)]=5/100*[E(Si)]+5決定的，即有：E[U(S1)]=5/100*[E(S1)]+5=5.9；E[U(S2)]=5/100*[E(S2)]+5=4.9E[U(S3)]=5/100*[E(S3)]+5=5，所以用這兩種方法決策是同解的。第29頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日30

§4層次分析法

層次分析法是由美國運籌學(xué)家T.L.沙旦于20世紀70年代提出的，是一種解決多目標的復(fù)雜問題的定性與定量相結(jié)合的決策分析方法。

一、問題的提出

例：一位顧客決定要購買一套新住宅，經(jīng)過初步調(diào)查研究確定了三套候選的房子A、B、C，問題是如何在這三套房子里選擇一套較為滿意的房子呢？為簡化問題，我們將評判房子滿意程度的10個標準歸納為4個：1、住房的地理位置2、住房的交通情況3、住房的附近的商業(yè)、衛(wèi)生、教育情況4、住房小區(qū)的綠化、清潔、安靜等自然環(huán)境5、建筑結(jié)構(gòu)6、建筑材料7、房子布局8、房子設(shè)備9、房子面積10、房子每平方米建筑面積的價格1、房子的地理位置與交通2、房子的居住環(huán)境3、房子的布局、結(jié)構(gòu)與設(shè)施4、房子的每平方米建筑面積的單價第30頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日31§4層次分析法

二、層次結(jié)構(gòu)圖該問題的層次結(jié)構(gòu)圖如圖16-7所示：滿意的房子每平方米單價結(jié)構(gòu)、布局、設(shè)施居住環(huán)境地理位置及交通購買房子A購買房子B購買房子C目標層標準層決策方案層圖16-7第31頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日32§4層次分析法

三、標度及兩兩比較矩陣相對重要性標度：各個標準或在某一標準下各方案兩兩比較求得的相對權(quán)重，如表16-11所示。標度aij定義1i因素與j因素相同重要3i因素比j因素略重要5i因素比j因素較重要7i因素比j因素非常重要9i因素比j因素絕對重要2，4，6，8為以上兩判斷之間中間狀態(tài)對應(yīng)的標度值倒數(shù)若j因素與i因素比較，得到的判斷值為aji=1/aij表16-11第32頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日33§4層次分析法

由標度aij為元素構(gòu)成的矩陣稱為兩兩比較矩陣。如我們用單一標準“房子的地理位置及交通狀況”來評估三個方案，從兩兩比較的方法得出兩兩比較矩陣，如表16-12所示。房子的地理位置及交通房子A房子B房子C房子A房子B房子C11/21/8211/6861表16-12

四、求各因素權(quán)重的過程求各因素權(quán)重的方法有規(guī)范列平均法、方根法、冪乘法等，這里以選擇房子的決策為例介紹規(guī)范列平均法。第一步,先求出兩兩比較矩陣的每一元素每一列的總和，如表16-13所示。第33頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日34§4層次分析法

第二步,把兩兩比較矩陣的每一元素除以其相對應(yīng)列的總和，所得商稱為標準兩兩比較矩陣，如表16-14所示。第三步，計算標準兩兩比較矩陣的每一行的平均值，這些平均值就是各方案在地理位置及交通方面的權(quán)重，如表16-15所示。地理位置及交通狀況房子A房子B房子C房子A房子B房子C11/21/8211/6861列總和13/819/615地理位置及交通狀況房子A房子B房子C房子A房子B房子C8/134/131/1312/196/191/198/156/151/15地理位置及交通狀況房子A房子B房子C行平均值房子A房子B房子C0.6150.3080.0770.6310.3160.0530.5330.4000.0670.5930.3410.066表16-15表16-13表16-14

我們稱[0.593，0.341，0.066]為房子選擇問題中地理位置及交通方面的特征向量。第34頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日35§4層次分析法

同樣，我們可以求得在居住環(huán)境、房子結(jié)構(gòu)布局和設(shè)施、房子每平方米單價方面的兩兩比較矩陣如表16-16所示。居住環(huán)境結(jié)構(gòu)布局設(shè)施每平方米單價房子A房子B房子C房子A房子B房子C房子A房子B房子C房子A房子B房子C1341/3121/41/211461/4131/61/31131/41/311/7471表16-16

同樣，我們可以從表16-16的兩兩比較矩陣求得房子A、B、C三個方案在居住環(huán)境、結(jié)構(gòu)布局設(shè)施、每平方米單價等方面的得分（權(quán)重），即這三個方面的特征向量，如表16-17所示。居住環(huán)境結(jié)構(gòu)布局設(shè)施每平方米單價房子A房子B房子C0.1230.3200.5570.0870.2740.6390.2650.6550.080表16-17第35頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日36§4層次分析法

另外，我們還必須取得每個標準在總目標滿意的房子里的相對重要程度，即要取得每個標準相對的權(quán)重，即標準的特征向量。四個標準的兩兩比較矩陣如表16-18所示。標準地理位置及交通居住環(huán)境結(jié)構(gòu)布局設(shè)施每平米單價地理位置及交通居住環(huán)境結(jié)構(gòu)布局設(shè)施每平米單價11/21/31/2211/22341421/21/41表16-18

通過兩兩比較矩陣，我們同樣可以求出標準的特征向量如下所示：[0.398，0.218，0.085，0.299]。即地理位置及交通相對權(quán)重為0.398，居住環(huán)境相對權(quán)重為0.218，結(jié)構(gòu)布局設(shè)施相對權(quán)重為0.085，每平米單價相對權(quán)重為0.299。第36頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日37§4層次分析法

五、兩兩比較矩陣一致性檢驗我們?nèi)砸再徺I房子的例子為例說明檢驗一致性的方法，檢驗表16-12中由“地理位置及交通”這一標準來評估房子A、B、C三個方案所得的兩兩比較矩陣。檢驗一致性由五個步驟組成：第一步：由被檢驗的兩兩比較矩陣乘以其特征向量，所得的向量稱之為賦權(quán)和向量，在此例中即：第37頁，共41頁，2023年，2月20日，星期日38§4層次分析法

第二步：每個賦權(quán)和向量的分量分別除以對應(yīng)的特征向量的分量，即第i個賦權(quán)和向量的分量除以第i個特征向量的分量，在本例中有：

第三步：計算出第二步結(jié)果中的平均值，記為