2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)新高考5

專題十二數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

基礎(chǔ)篇固本夯基

考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念與幾何意義

2i

1.（2022屆T8聯(lián)考,2）已知z="Ll+2i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B

2.（2022屆遼寧六校期初聯(lián)考,2）復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=2021-i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.lOilB.lOlli

C.-lOilD.-lOlli

答案C

2

3.（2022屆湖北部分重點(diǎn)中學(xué)開學(xué)聯(lián)考,2）已知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z1.一”的共拆復(fù)數(shù)為（）

A.2iB.-2iC.iD.-i

答案D

4.（2022屆湘豫名校8月聯(lián)考,3）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y=-x上，且|z|=6,則z（l+i）=（）

A.2B.-2

C.±2D.2i

答案C

5.（2022屆山東日照開學(xué)校際聯(lián)考,4）若復(fù)數(shù)z滿足|z-2-3i|=5,則復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)不可能為（）

A.5+2iB.-2-6iC.5-7iD.2-8i

答案A

2

6.（2022屆湖南岳陽一中入學(xué)考,2）已知復(fù)數(shù)ziJ+%2=a+i（a￡R）,若zi,Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別為

%，畛（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且產(chǎn)jOZ/z則a=（）

A.lB.-3

C.1或-3D.-1或3

答案C

2-i

7.（2022屆湖北九師聯(lián)盟10月質(zhì)檢,2）已知復(fù)數(shù)z='+1則下列說法正確的是（）

^10

A.Z的模為2

3

B.z的虛部為*i

13

C.z的共朝復(fù)數(shù)為

D.z的共期復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限

答案A

8.（2022屆江蘇如皋中學(xué)月考,5）已知復(fù)數(shù)z滿足|z-l|=|z-i|,則在復(fù)平面上z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為（）

A.直線B.線段

C.圓D.等腰三角形

答案A

9.（多選）（2022屆湖北九師聯(lián)盟10月質(zhì)檢,10）設(shè)Zi,Z2是復(fù)數(shù)，則（）

A守國.務(wù)

B.若Z1Z2￡R，則Z1二為

C.若|Z1?Z2|=O,則"步

D.若"+1=0,則Z1=Z2=O

答案AC

10.（2020課標(biāo)川理25分）復(fù)數(shù)I-3*的虛部是（）

31

A.-?B.-?

C訪D?

答案D

11.（2021北京朝陽一模,2）如果復(fù)數(shù)S（b￡R）的實(shí)部與虛部相等，那么b=（）

A.-2B.1

C.2D.4

答案A

1-個(gè)

12.（2021石家莊二模,1）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)則z的虛部為（）

1111

A2B.-2iC.-2D2i

答案C

13.（2019課標(biāo)II理25分）設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)”對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案C

14.（2020浙江24分）已知aeR,若a-l+（a-2）i（i為虛數(shù)單位）是實(shí)數(shù)，則a=（）

A.lB.-1

C.2D.-2

答案c

15.（2021河北唐山三模,2）已知i是虛數(shù)單位,adR,若復(fù)數(shù)1-%為純虛數(shù)，則a=（）

11

A.-2B.2C.-2D2

答案A

14Tl

44

16.（2021廣東珠海一模,2）設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)zi=i202i,復(fù)數(shù)z2=mL則zi+Z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在

（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案A

17.（2020北京24分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,2）,則iz=（）

A.l+2iB.-2+i

C.l-2iD.-2-i

答案B

2-i

18.（2021新高考ll,L5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1—38對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案A

2

19.（2021湖北九師聯(lián)盟質(zhì)檢,2）設(shè)復(fù)數(shù)z=l+i（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)?-（iz）2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案A

20.（2019課標(biāo)I理25分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|二l,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為僅》）,則（）

A.（x+l）2+y2=lB.（x-l）2+y2=l

C.x2+（y-l）2=1D.x2+（y+l）2=l

答案C

21.（2020課標(biāo)I文,2,5分）若z=l+2i+i3,則|z|二（）

A.OB.lC.6D.2

答案C

22.（2021河北唐山二模,5）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-2i|=l,在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值是（）

A.lB*C*D,3

答案D

23.（2017課標(biāo)I理,3,5分）設(shè)有下面四個(gè)命題：

1

pi：若復(fù)數(shù)z滿足*WR,則ZWR;

P2：若復(fù)數(shù)z滿足z2gR,則Z￡R;

P3：若復(fù)數(shù)Z1,Z2滿足Z1Z2GR,則Z1=*2；

P4：若復(fù)數(shù)z￡R,貝『WR.

其中的真命題為（）

A.pi,p3B,pi,p4

C.P2，P3D.p2,p4

答案B

24.（2021遼寧丹東二模,3）在復(fù)平面內(nèi),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)z,z+l對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在單位圓O上，則z的實(shí)部為

)

s/5im坦

A.-2B/C.2D.2

答案B

25.（2021湖北黃岡中學(xué)三模,3）已知復(fù)數(shù)z滿足z2+4i=0,則團(tuán)=（）

A.4B.2C.6D.1

答案B

26.（多選）（2021廣東湛江一模,9）若復(fù)數(shù)z=*-M（）

A.|z|=2B.|z|=4C.z的共題復(fù)數(shù)'=4+iD.z2=4-2^i

答案AC

2

27.（多選）（2021山東德州二模,9）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），下列說法正確的是（）

A.zi對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限

B.zi的虛部為-1

D.滿足|z|=|zi|的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓上

答案AB

28.（多選）（2021江蘇無錫二模,9）設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi,aeR,beR（i為虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）

2021

￡

A.若a=0,b=l廁1zk=i

*竺

B.若a=3b=-2,則z2=*

C.“zeR”的充要條件是“z=|z|"

D.若a=cos0,b=sine（0<e<Tij,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一或第二象限

答案AB

29.（2021江蘇常州一模,14）已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面第一象限內(nèi)，甲、乙、丙、丁四人對(duì)復(fù)數(shù)z的陳述

如下（i為虛數(shù)單位）:甲:z+、2;乙:z產(chǎn)=24多丙:z%4;丁.在甲、乙、丙、丁四人的陳述中，有且只有兩

個(gè)人的陳述正確,則復(fù)數(shù)z=.

答案1+i

30.（2021遼寧撫順二模,14）已知|z+*i|+憶-譙"=6,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P（x,y）的軌跡方程

為.

答案八4=1

考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的運(yùn)算

2i

1.（2022屆長沙長郡中學(xué)第一次月考,2）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z=T+i,則|z|=（）

A.lB*

Ie

C.2D,2

答案B

2.（2021新高考1,2,5分）已知z=2-i,則z「+i）=（）

A.6-2iB.4-2i

C.6+2iD.4+2i

答案C

2-i

3.（2020新高考1,2,5分嚴(yán)方=（）

A.lB.-lC.iD.-i

答案D

4.(2021全國乙理,1,5分)設(shè)2(z+5+3(z-5=4+6i則z=()

A.l-2iB.l+2i

C.l+iD.l-i

答案C

5.（2021全國乙文25分）設(shè)iz=4+3i,!Mz=（）

A.-3-4iB.-3+4iC3-4iD.3+4i

答案C

6.（2020課標(biāo)II文25分）Q?i）4=（）

A.-4B.4C.-4iD.4i

答案A

7.（2020課標(biāo)川文25分）若“（l+i）=l-i,則z=（）

A.l-iB.l+i

C.-iD.i

答案D

3-i

8.（2019課標(biāo)I文,1,5分）設(shè)zJ+費(fèi)，則|z|=（）

A.2B*C*D,I

答案C

（北京，文理分）已知復(fù)數(shù)則（

9.20192,1,5z=2+i,zH=）

AmB*C,3D,5

答案D

10.（2021上海,1,4分）已知zi=l+i,Z2=2+3i,貝ijzx+z2=

答案3+4i

fr4-7i

11.（2018天津文（理）,9,5分）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)1+痂=

答案4-i

12.（2021福建廈門三模）若復(fù)數(shù)z=a+bi（a,bGR,i為虛數(shù)單位）滿足|z-2i|=團(tuán)寫出一個(gè)滿足條件的復(fù)

數(shù):z=.

答案1+i（答案不唯一）

綜合篇知能轉(zhuǎn)換

考法復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算的解題方法

1

1.（2022屆重慶巴蜀中學(xué)月考（一）,3）已知i是虛數(shù)單位,z為復(fù)數(shù),2+S=z（3+i）,則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D

2.（2022屆福建泉州科技中學(xué)月考,4）若z=l+i,則日+母的虛部為（）

A.iB.-i

C.lD.-l

答案D

2-i

3.（2022屆廣東深圳光明第一次調(diào)研,2）已知?jiǎng)t、（）

4343

55.S5.

AA.+IDB.-I

3434

C.幸D.行i

答案C

4.（2022屆廣東深圳龍崗一中期中,3）已知復(fù)數(shù)z滿足z（2+i）=|3+4i|（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)=（）

A.2-iB.-2+i

C.2+iD.-2-i

答案C

5.（多選）（2022屆山東煙臺(tái)萊州一中開學(xué)考,12）1487年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)

系,并寫下公式:ei^cose+isin8這個(gè)公式在復(fù)變函數(shù)中有非常重要的地位，即著名的“歐拉公式”，被譽(yù)為“數(shù)

學(xué)中的天橋”，據(jù)歐拉公式，則（）

J

A.=iB.||=1

C.l2，=1D.cos4=2

答案ABD

6.（2021浙江24分）已知aeR,（l+ai）i=3+i（i為虛數(shù)單位），則a=（）

A.-lB.l

C.-3D.3

答案C

7.（2020課標(biāo)I理,L5分）若z=l+i,則|z2-2z|二（）

A.OB.l

C.6D,2

答案D

5i

8.（2021廣東肇慶二模,2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)“J一軀（i為虛數(shù)單位），則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（3,4）B.（-4,3）

答案D

9.（2017天津文（理）,9,5分）已知asR,i為虛數(shù)單位，若計(jì)，為實(shí)數(shù)，則a的值為.

答案-2

_J3

10.（2020課標(biāo)II理,15,5分）設(shè)復(fù)數(shù)zi,Z2滿足|ZI|=|Z2|=2,ZI+Z2=+i,則|zi-Z2|=.

答案擊

11.（2021天津一中5月模擬,13）若復(fù)數(shù)z=，則z=.

答案25

專題十二數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念與幾何意義

1.（2019課標(biāo)II文25分）設(shè)z=i（2+i）,貝/=（）

A.l+2iB.-l+2i

C.l-2iD.-l-2i

答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算;考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力;考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素

養(yǎng).

??Z=1（2+。=21+12=?1+2仁\?1-21故選D.

解題關(guān)鍵正確理解共聊復(fù)數(shù)的概念是求解的關(guān)鍵.

2.（2017課標(biāo)川文,2,5分）復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=i（-2+i）的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案Cz=i（-2+i）=-2i+i2=-2i-l=-l-2i,所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（-1,-2）,位于第三象限.故選C.

3.（2017課標(biāo)川理25分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=2i,則團(tuán)二（）

A2B.2C6D.2

答案C本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模.

2i2cH■!)

-1+i—i)2i

\(zl+l)Z=2l,.;Z==-=1+1.

I,Vl2+120

,|z|==?

-題多解?.(l+i)z二2i「|l+i||z|=|2i|,即"^?|z|=2,..|z|二0

4.(2017課標(biāo)I文,3,5分)下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是()

A.iQ+i)2B.i2(l-i)C.(l+i)2D.i(l+i)

答案C本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和純虛數(shù)的定義.

A.i(l+i)2=ix2i=-2;

B.i2(l-i)=-(l-i)=-l+i;

C.(l+i)2=2i;

D.i(l+i)=-l+i,故選C.

5.(2016課標(biāo)I理25分)設(shè)(l+i)x=l+yi,其中x,y是實(shí)數(shù)，則|x+yi|=()

A.lB.6C*D,2

答案B-.x,yR,(l+i)x=1+yi,/.x+xi=1+yi,

fx=1.

.?&u'.lx+yikll+ik"1".'Lg.故選B.

評(píng)析本題考查復(fù)數(shù)相等的條件，屬容易題.

6.(2016課標(biāo)I文25分)設(shè)Q+2i)(a+i)的實(shí)部與虛部相等，其中a為實(shí)數(shù)，則a=()

A.-3B.-2C.2D.3

答案A.(l+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+l)i,

???a?2=2a+L解得a=3,故選A.

解后反思將復(fù)數(shù)化為x+yi(x,yGR)的形式，然后建立方程是解決問題的關(guān)鍵.

評(píng)析本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，將復(fù)數(shù)化為x+yi(x,yGR)的形式是解題關(guān)鍵.

7.(2016課標(biāo)II文25分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+i=3-i,則工=()

A.-l+2iB.l-2iC.3+2iD.3-2i

答案Cz=3-2i,所以*=3+2i,故選C.

8.(2016課標(biāo)III文25分)若2=4+3回戶=()

4343

A.lB.-lC5+5iDS-Si

,,J.43

答案D由2=4+31得憶|=0$+4=5*=4-31則舊=5-4故選口.

2i

9.(2015安徽理,1,5分)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù),T在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

.api+i).

答案B2=-l+ij.復(fù)數(shù)'-i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是(-1,1),它位于第二象限.

1+z

10.(2015課標(biāo)I理,1,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足"、i,則|z|=()

A.lB.0C*D,2

1+zi-1O-l)2-2i

答案A由已知1r工可得zU+ZEDOT)二一2二仁團(tuán)二川=1,故選A.

11.(2015湖北理,L5分)i為虛數(shù)單位a。的-為()

A.iB.-iClD.-l

答案A-.i607=j4xl51+3=(j4)151.j3=_j/

.手。7的共輾復(fù)數(shù)為i.

12.(2014課標(biāo)II理,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)am在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,zi=2+i,則ZiZ2=()

A.-5B.5C.-4+iD.-4-i

答案A由題意得Z2=-2+i,.zz2=(2+i)(-2+i)=-5,故選A.

13.(2014重慶理,1,5分)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)i(l-2i)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案Ai(l-2i)=i-2i2=2+i,對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)為(2,1),在第一象限.選A.

14.（2014課標(biāo)墳,3,5分）設(shè)zJ+1i,則|z|=（）

A2B.2C,2D,2

2-iziitE更

答案Bz=n+'+i=2+i=2+4,因此故選B.

15.（2013課標(biāo)I理25分）若復(fù)數(shù)z滿足（3-4i）z=|4+3i|,則z的虛部為（）

44

A.-4B.-C.4D,5

____55（3441）344

答案D|4+3i|="'+于=5,2=27=2S=5+用虛部為S,故選D

16.（2013課標(biāo)II文,2,5分）目）

A盧'B.2C.6D,1

答案C目」與I一一選C.

2

17.(2012課標(biāo)理,3,5分)下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=-'+j的四個(gè)命題:

Pi：|z|=2,P2：z2=2i,

P3：z的共聊復(fù)數(shù)為1+i,P4：Z的虛部為-1.

其中的真命題為()

A.P2，P3B.pi,p2C.P2，P4D.p3,p4

2MTf

答案CZuT+U-H荻Tf=-l-i,所以|z1=6,pi為假命題;z2=(-l-i)2=(l+i)2=2i,p2為真命

題;-=-l+i,P3為假命題;P4為真命題.故選C.

評(píng)析本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的性質(zhì)，考查了運(yùn)算求解能力.

-3+i

18.(2012課標(biāo)文25分)復(fù)數(shù)z=2+4的共羯復(fù)數(shù)是()

A.2+iB.2-iC.-1+iD.-1-i

答案Dz=咐==5=-1+/=一l.i,故選D.

評(píng)析本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，易忽略共聊復(fù)數(shù)而錯(cuò)選.

19.(2011課標(biāo)理,1,5分)復(fù)數(shù)1-2s的共軌復(fù)數(shù)是()

33

A.-SiB5iC.-iD.i

答案C為"+同』,其共軌復(fù)數(shù)為-i,故選c.

評(píng)析本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和共朝復(fù)數(shù)的概念，屬容易題.

20.(2016課標(biāo)II,1,5分)已知z=(m+3)+(m-l)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

()

A.(-3,l)B.(-l,3)

C.(l,+8)D.(-8,-3)

￡m+3>Ov尸>一3.

答案A由已知可得1v°==-3<m<l.故選A.

方法總結(jié)復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部分別是其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，所以研究復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)的位置時(shí)，關(guān)鍵是確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.

21.(2016山東,1,5分)若復(fù)數(shù)z滿足2z+*=3-2i,其中i為虛數(shù)單位，則z=()

A.l+2iB.l-21

C.-l+2iD.-l-2i

答案B設(shè)2=2+片似、beR),貝i]2z+*=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,:.a=Lb=-2,;.z=l-2i,故選B.

22.(2019江蘇25分)已知復(fù)數(shù)(a+2i)(l+i)的實(shí)部為0,其中i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a的值是.

答案2

解析本題考查了復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

:(a+2i)(l+i)=(a-2)+(a+2)i的實(shí)部為0,

..a-2=0,解得a=2.

解題關(guān)鍵掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及代數(shù)形式的四則運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

23.(2017江蘇25分)已知復(fù)數(shù)z=(l+i)(l+2i),其中i是虛數(shù)單位，則z的模是.

答案v

解析本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

.z=(l+i)(l+2i)=l+2i+i+2P=3i-l,

■|z|==?

24.(2016江蘇25分)復(fù)數(shù)z=(l+2i)(3-i),其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部是.

答案5

解析(l+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的實(shí)部為5.

25.(2016北京理,9,5分)設(shè)aWR.若復(fù)數(shù)(l+i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則a=.

答案-1

解析(l+i)(a+i)=(a-l)+(a+l)i,:aeR,該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上,，a+l=O,，a=-L

26.(2015天津,9,5分)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)(l-2i)(a+i)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為.

答案-2

解析■.(l-2i)(a+i)=2+a+(l-2a)i為純虛數(shù)，

-2a*0.

C+解得a=-2.

27.(2015重慶理,11,5分)設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(a,bGR)的模為v，則(a+bi)(a-bi)=.

答案3

解析復(fù)數(shù)a+bi(a,beR)的模為""'序=吏則a2+b2=3,貝Ij(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b20=a2+b2=3.

考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的運(yùn)算

3-1

1.(2019課標(biāo)I文,1,5分)設(shè)z)+及則團(tuán)=()

A.2B*C.6D,1

答案C本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算;考查了運(yùn)算求解能力;考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算.

3-i

_frti_(l+2i)(l-2S)

.Zv——

3-7H-2I2l-7i17

^^=丁齊,

.?卯?國0,故選c.

易錯(cuò)警示易將i2誤算為1,導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò).

2.(2019北京，理1,文2,5分)已知復(fù)數(shù)z=2+i,則z*=()

A.0B甫C.3D,5

答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共聊復(fù)數(shù)的概念，考查學(xué)生運(yùn)算求解的能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)

算.

：z=2+i,」=2-i,N*=(2+i).(2-i)=4+l=5,故選D.

3.(2018課標(biāo)II文,1,5分)i(2+3i)=()

A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i

答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.

i(2+3i)=2i-3=-3+2i,故選D.

4.(2018課標(biāo)”，理2,文2,5分)(l+i)(2-i)=()

A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i

答案D本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

(l+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,故選D.

5.(2018北京理,2,5分)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)‘一i的共軌復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算和幾何意義.

1VH111111p_IX

???1二(1一"(f岑.其共樂復(fù)數(shù)為"又Z3在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)中在第四象限，故選D.

6.(2017課標(biāo)II文25分)(l+i)(2+i)=()

A.l-iB.l+3iC3+iD.3+3i

答案B本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算.

(l+i)(2+i)=2+i+2i+i2=l+3i.故選B.

7.(2017山東文25分)已知i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z滿足zi=l+i則z2=()

A.-2iB.2iC.-2D.2

答案A本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

1+i

由zi=l+i得z=.=l-i,

所以z2=(l-i)2=?2i,故選A.

41

8.(2016課標(biāo)川理25分)若z=l+2i,貝?嚴(yán)一1()

A.lB.-lC.iD.-i

414i

答案C;z"=Q+2i)Q-2i)=5,產(chǎn)T=4=i,故選c.

l+2i

9.(2016北京文25分)復(fù)數(shù)2T=()

A.iB.l+iC.-iD.l-i

l+2iCl+2i)OH)2+H4H-2I25i

答案A2-i=m2a4一W二氣j,故選A

10.(2015課標(biāo)II理25分)若a為實(shí)數(shù)，且(2+ai)(a-2i)=-4i,則a=(

A.-lB.OC.ID.2

2

答案B-,(2+ai)(a-2i)=-4i=>4a+(a-4)i=-4if

產(chǎn)=0.

匕-4=-4解得齊0.

11.(2015課標(biāo)I文,3,5分)已知復(fù)數(shù)z滿足(z-l)i=l+i,則z=()

A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i

1+i

答案C由已知得2=1+l=2-i,故選C.

2+M

12.(2015課標(biāo)II文,2,5分)若a為實(shí)數(shù)，且'+、3+i,則a=()

A.-4B.-3C.3D.4

答案D由已知得2+ai=(l+i)(3+i)=2+4i,所以a=4,故選D.

13.(2015安徽文,1,5分)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)(l-i)(l+2i)=()

A.3+3iB.-l+3iC.3+iD.-l+i

答案C(l-i)(l+2i)=l+2i-i-2i2=3+i.

14.(2015湖南文,1,5分)已知z=l+i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z=()

A.l+iB.l-iC.-l+iD.-l-i

(i-o22Fl

答案Dz=1+iD.

(i+D：

15.(2014課標(biāo)I理25分)SF=()

A.l+iB.l-iC.-l+iD.-l-i

(i+D：(i+D：1+1+方

答案D("爐=('一"2(1+尸+￥-2sQ+g-l-i,故選D.

l+3i

16.(2014課標(biāo)II文,2,5分)"'=()

A.l+2iB.-l+2iC.l-2iD.-l-2i

l+3i-i+4i

答案B=2=-i+2i,故選B.

17.(2013課標(biāo)II理,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(l-i)z=2i,則z=()

A.-l+iB.-l-iC.l+iD.l-i

28

答案A由題意得z='T=―2~=-l+i,故選A.

l+2i

18.(2013課標(biāo)I文25分)“一"=()

1111

A.-l-2iB.-l+2iC.l+2iD.l-2i

l+2i_l+2i(1+2可-計(jì)i1

E===E=k=_i+Z故選B.

答案B

5i

19.（2011課標(biāo)文25分）復(fù)數(shù)工一2s=（）

A.2-iB.l-2iC.-2+iD.-l+2i

51鞏工+-SfiT）

答案C"萬=（”為（1+20=5=_2+i,故選C.

評(píng)析本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，分母實(shí)數(shù)化是解答本題的關(guān)鍵，屬容易題.

&4-7i

20.（2018天津，理9,文9,5分）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)計(jì)公憶.

答案4-i

解析本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.

&￥7ig71）（1-2i）20-Si

_-

fj^=（i+2i）（i-a）=F=4_j

21.（2018上海,5,4分）已知復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=l-7i（i是虛數(shù)單位）廁|z|=.

答案5

l-7i（"碩"。-6-S

解析本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.由Q+i）z=l-7i得z='五="門"一"=2=-3-4i,

一年.（一靖

/.|z|==5.

a

22.（2016天津理,9,5分）已知a,beR,i是虛數(shù)單位.若（l+i）（l-bi）=a，則"的值為.

答案2

產(chǎn)+1=?,

解析由（l+i）（l-bi）=a得l+b+（Lb）i=a,則卜一5=6

fa=2--

解得也=〔,所以*=2.

專題十二數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

一、選擇題

1.（2021安徽宣城第二次調(diào)研,2）若復(fù)數(shù)（4+ai）（l+i）（i為虛數(shù)單位,a￡R）為純虛數(shù)，貝Ua的值為（）

A.-4B3C.4D.5

答案C?.?（4+ai）（l+i）=4+ai+4i+ai2=4-a+（a+4）i,..4-a=0,a+4±0JMa=4.故選C.

2.（2021湘豫名校聯(lián)盟4月聯(lián)考,2）已知復(fù)數(shù)z滿足z+\8,z*=25,則z=（）

A.3±4iB.±3+4iC.4±3iD.±4+3i

答案C設(shè)z=a+bi（a,b￡R）,依題意得2a=8,a2+b2=25.解得a=4,b=±3,所以z二4±3i.故選C.

舊尸

3.（2022屆河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)11月月考,2）已知i為虛數(shù)單位，若t為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為（）

A.lB.2C.-lD.-2

舊尸*理?1+

答案B因?yàn)閠=-*-=-（x-2）-i為純虛數(shù)，所以x-2=0,則x=2.故選B.

4.（2022屆重慶縉云教育聯(lián)盟11月質(zhì)檢,2）如圖，在復(fù)平面內(nèi)，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都為L復(fù)數(shù)zi

向

和Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A和B,則等于（）

0x

寵"一

百

A.2B.lC.5D

閆向西

答案D由題圖知,A（0,l）,B億-l）「Zi=i,Z2=2-i,則同=同=鈣.故選D.

5.（2022屆安徽淮南第一中學(xué)月考三,2）若復(fù)數(shù)z二?（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù),在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2-i

答案B.z==-l+2i,.1復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(-1,2)位于第二象限.故選B.

6.(2020內(nèi)蒙古赤峰二模,2)設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,-1)'為z的共聊復(fù)數(shù)，則()

A.Z+'是純虛數(shù)B.Z-*是實(shí)數(shù)

Z

Cz31是純虛數(shù)D”是純虛數(shù)

答案D??復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為」=l+i.對(duì)于從2+*=14+：1+1=27+”是實(shí)數(shù)，故A

錯(cuò)誤;對(duì)于B,z-、l-i-l-i=-2i,z-H是純虛數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,z*=Q-i)(l+i)=2,zH是實(shí)數(shù)，故C錯(cuò)誤；

Z1-HZ

對(duì)于。,7豆產(chǎn)是純虛數(shù)，故D正確.故選D.

名師點(diǎn)睛復(fù)數(shù)的分類：

'玨心=。＞

kfi?(a=O)v

+O)

z=a+bi*

7.(2022屆內(nèi)蒙古海拉爾第二中學(xué)期中,2)已知i為虛數(shù)單位，以下四個(gè)說法中正確的是()

A.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-l|=|z+l|,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為圓

B.復(fù)數(shù)z=3-i的虛部為-i

C.若z=(l+2i)2,則復(fù)數(shù)”在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

D.i+i2+i3+i4=o

答案D對(duì)于A:|z-l|=|z+l|=|z-(-l)|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)AQQ)和點(diǎn)B(-l,0)的距離相等,故復(fù)數(shù)z

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是線段AB的垂直平分線，故A不正確.

對(duì)于B:復(fù)數(shù)z的虛部為-1,故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C:z=(l+2i)2=-3+4i,=-3-4i,故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(-3,-4)在第三象限，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D:i+P+P+i4=i-l-i+l=0,S(D正確.故選D.

8.(2022屆銀川一中月考三,2)已知復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=4(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的

象限為()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D由題意得zn;1如=任^^=2-21故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(2,-2)在第四象限故選口.

9.(2022屆長春外國語學(xué)校期中,5)已知i為虛數(shù)單位，若zi+2=z，則W=()

yfi.「。

AA.Bn.4C.2D.2

22(1刊2(1㈣

ggn.cR(TWritJ-.

答案D.Z+2=Z3.Z==k八J==l+i,

2

.?.Z2=(l+i)2=2i,/.|z|==2.故選D.

s-2i

10.(2022屆河北衡水第一中學(xué)調(diào)研一,2)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)7=宜匕6咫是純虛數(shù)，則1+ai的虛部為

()

A.2B.2iC.-2D.-2i

a-a(i!■型14Pa+2a-2

答案C/z===+i是純虛數(shù)，

fa+2.

,二明

a-2,0

2/.a=-2./.l+ai的虛部為?2.故選C.

易錯(cuò)警示注意復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b￡R)的實(shí)部是a,虛部是'V的系數(shù)b,不能寫成bi.

11.(2022屆昆明第一中學(xué)雙基檢測(cè)三,2)已知i為虛數(shù)單位，則i+i2+i3+...+i202i=()

A.iB.-iC.lD.-l

答案A因?yàn)閕4n+l+i4n+2+i4n+3+i4n+4=i_l_i+l=0(neN),

所以i+i2+i3+…+i2021=505x0+i2021=i.故選A.

12.(2022屆江西智學(xué)聯(lián)盟聯(lián)考一,2)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)zi=3-4i,z2=cos2x-isin2x,則)

A.2B.3C.4D.5

c叼oS2x-?n2i回加,7用乒s2x+言12X)......_...

答案D"=='八=(3-4i)(cos2x+isin2x)

=(3cos2x+4sin2x)+i(3sin2x-4cos2x),

zzzz

7(3as2x+4n2x)+(3n2x-4as2x)725(a>s2x+n2x)5故選口

13.（多選）（2021濟(jì)南十一學(xué)校聯(lián)考,9）歐拉公式exi=cosx+isinx（其中i為虛數(shù)單位,xGR）是由瑞士著名數(shù)學(xué)

家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，在復(fù)變函數(shù)論里

面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的"天橋".依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（）

A.復(fù)數(shù)e2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限

B.a為純虛數(shù)

爐1

C.復(fù)數(shù)兩的模等于z

產(chǎn)的共輯復(fù)數(shù)好

BC對(duì)于A,e2i=cos2+isin2,/2e,..cos2s(-l,0),sin2G(0,1),.，.e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)位于第二象限故A錯(cuò)誤;

li55Ti

對(duì)于B,k=cos3+isin2=i,則E為純虛數(shù)，故B正確;

對(duì)于c,后"=1節(jié)x_L雨盟

2:故C正確;

JLnTi依：

對(duì)于D..xosi+isinkN+Ni,可得'的共軌復(fù)數(shù)為丁餐,故口錯(cuò)誤，故選BC.

二、填空題

14.（2022屆云南十五校11月聯(lián)考,14）已知i為虛數(shù)單位,zi為復(fù)數(shù)，且&|=2,則|zi+2i|的最大值為.

答案4

解析設(shè)zi=a+bi（a,bGR）廁zi+2i=a+（b+2）i.設(shè)復(fù)數(shù)zi表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)乙「區(qū)|=2,「=2,即

a2+b2=4,故Z的軌跡是以（0,0）為圓心,2為半徑的圓.又|zi+2i|=再’百表示點(diǎn)（a,b）到點(diǎn)（0,-2）之間

的距離，易知|zi+2i|的最大值為4.

z41

15.（2022屆河南重點(diǎn)中學(xué)模擬一,13）若為虛數(shù)單位），則z=.

答案lz

1-H

解析由題意可得z=-「+i=-i+l+i=L

綜合檢測(cè)卷（二）

時(shí)間:120分鐘分值:150分

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分洪40分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（2017課標(biāo)m文,1,5分）已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},則AAB中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.lB.2C.3D.4

答案B由題意得ACIB={2,4},所以ACIB中元素的個(gè)數(shù)為2.故選B.

2.（2022屆清華大學(xué)中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力測(cè)試（10月）,3）復(fù)數(shù)z滿足Q-i）z=3+2i（i為虛數(shù)單位），則*=（）

［芋1-S-1蛆1-5?

A."-B.HC.2D.N

3+30+可口㈣1+S1S

答案B由題意得z=k=E<E=/，

3.(2020課標(biāo)m文,3,5分)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)XLX2，…,Xn的方差為0.0L則數(shù)據(jù)10xi,10x2，…,10xn的方差為

()

A.0.01B.0.1

ClD.10

答案C由已知條件可知樣本數(shù)據(jù)Xi,X2,...,Xn的平均數(shù)'二員，方差

_

工1[的/)2+僅23)2+...+僅《')2]=0.01,則數(shù)據(jù)10X1,10X2,../OXn的平均數(shù)為

1

nx

X(10X1+10X2+...+10xn)=10.

所以這組數(shù)據(jù)的方差

,11OC,

元片

2nXX2i2-n~X2X22f

=[(10X1-10)24-(10X2-10)+...+(10xn-10)]=[(xx-)+(X2-)+...+(Xn-)]=100=100x0.01=

L故選C.

產(chǎn)工口>1,

4.(2021河南安陽4月模擬,4)已知函數(shù)且f(m)=-2,則f(8+m)=()

A.-16B.16C.24D.26

答案D若mzl,則f(m)=3m」-l=-2,即方程無解;若m<l,則f(m)=-l-log3(m+7)=-2,即

Iog3(m+7)=1，解得m=-4「.f(8+m)=f(4)=34-i-l=26.故選D.

5?！?…卜町―()

A.-2B.-lC.lD.2

答案D2tan0-tan("J)=2tand"^=7,整理可得tan20-4tane+4=0,/.tan6=2.故選D.

6.(2022屆河南駐馬店月考,12)三棱錐S-ABC的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，且dABC是等邊三角形,SA,

底面ABC,SA=4,AB=6.若點(diǎn)D在線段SA上，且AD=3SD測(cè)過點(diǎn)D的平面截球。所得截面的