含參量反常積分的一致收斂性的判別方法

含參量反常積分的一致收斂性的判別方法摘要:本文從含參量反常積分的定義及含參量反常積分的一致收斂的定義出發(fā),敘述了含參量反常積分的一致收斂性的四種判別法,并且給出了一些例子.關(guān)鍵詞:區(qū)域;收斂;一致收斂前言含參量反常積分是微積分學(xué)中一類重要的積分,研究含參量反常積分及其一致收斂性,可以為分析討論函數(shù)的性質(zhì)打下堅實的基礎(chǔ).本文歸納了判別含參量反常積分的一致收斂性的五種方法:一致收斂定義、魏爾斯特拉斯M判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法,并且給出了典型例子以說明每種判別法的特點.1.定義定義1設(shè)函數(shù)f(x,y)定義在無界區(qū)域R={(x,y)a<x<b,c<y<+^}上,若對每一個固定的xe[a,b],反常積分Jf(x,y)dy ⑴c都收斂，則它的值是x在[a,b]上取值的函數(shù)，當記這個函數(shù)為I(x)時，則有I(x)=j+sf(x,y)dy，xe[a,b], (2)c稱式(1)為定義在[a,b]上的含參量x的無窮反常積分，或簡稱含參量反常積分.2.含參量反常積分一致收斂性的判別法定義2若含參量反常積分(1)與函數(shù)I(x)對任給的正數(shù)￡，總存在某一實數(shù)N>c,使得當M>N時,對一切xe[a,b],都有JMf(x,y》y-1(x)|<￡,c即卜f(x,y)dy|<￡,M則稱含參量反常積分⑴在［a,b］上一致收斂于I(x).或簡單的說含參量積分⑴在［a,b］上一致收斂.定義3設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域R=［a,b］x［c,d)上有定義，若對x的某些值，y=d為函數(shù)f(x,y)的瑕點，則稱idf(x,y)dy ⑶c為含參量x的無界函數(shù)反常積分，或簡稱含參量反常積分。若對每一個xg［a,b］，積分(3)都收斂，其積分值x在［a,b］上一致收斂的定義是定義4對任給正數(shù)￡，總存在某正數(shù)5<d-c，使得當0<n<5時,對一切xg［a,b］,都有Jdf(x,y)dy<￡,d-耳則稱含參量反常積分(1)在［a,b］上一致收斂.定理1(一致收斂的柯西準則)含參量反常積分(1)在［a,b］—致收斂的充要條件是:對任給正數(shù)￡，總存在某一實數(shù)M>c，使得當A,A>M時,對一切xe［a,b］，都有12Ja2f(x,y)dy|<￡.Ai例1證明含參量反常積分卜沁y ⑷0y在［5,+a)上一致收斂(其中5>0)，但在(0,+8)內(nèi)不一致收斂.證做變量代換u二xy，得卜沁dy=J+?沁duAyAxu,(5)其中A>0.由于J+8sinudu收斂,故對任給正數(shù)￡，總存在正數(shù)M，使當A>M時，0u就有(+8sinu丿J du<￡.a' u取AS>M，則當A>M時,對一切x>5>0,由(5)式有5J+8沁y<￡,ay所以(4)在x>5>0上一致收斂.現(xiàn)在證明(4)在(0,+8)內(nèi)不一致收斂.由一致收斂定義,只要證明存在某一正數(shù)￡,使0對任何實數(shù)M(>c)，總相應(yīng)地存在某個A>M及某個xe［a,b］，使得J+8ay由于非正常積分卜Sinudu收斂,故對任何正數(shù)￡與M，總存在某個x(>0),使得TOC\o"1-5"\h\z0u 0卜沁du-J+8嗎Mxu 0u即+8sinu+8sinu+8sinu\o"CurrentDocument"Jdu-￡<J+8du<Jdu+￡. (6)0u0Mxu0u0現(xiàn)令￡=1J+8 du,由(5)及不等式(6)的左端就有0 20u+8sinxy+8sinuJ+ dy=J+ du>2￡—￡=￡.\o"CurrentDocument"MyMxu0 0 0所以(4)在(0,+8)內(nèi)不一致收斂.定理2含參量反常積分(1)在［a,b］上一致收斂的充要條件是：對任一趨于+8的遞增數(shù)列{A}(其中A=c)，函數(shù)項級數(shù)n1在［a,b］上一致收斂.例2證明：若f(x,y)在［a,b］x［c,+8)上連續(xù)，又在［a,b)上收斂，但在x=b處發(fā)散，則在［a,b)上不一致收斂.證用反證法，假如積分在[a,b)上一致收斂，則對于任給￡>0,總存在M>c,當A,A>M時對一切xe[a,b)恒有JAf(x,y)dy<s.A由假設(shè)f(x,y)在[a,b]X[A,A']上連續(xù)，所以JA'f(x,y)dy是x的連續(xù)含數(shù).在上面不等式中A令xTb，得到當A'>A>M時，JAf(b,y)dy<￡.A而￡是任給的，因此卜f(x,y)dy在x二b處收斂，這與假設(shè)矛盾，所以積分卜f(x,y)dy在cc[a,b)上不一致收斂.魏爾斯特拉斯M判別法設(shè)有函數(shù)g(y),使得f(x,yj<g(y),a<x<b,c<y<+s.若Jg(y)dy收斂，則卜f(x,y)dy在[a,b]上一致收斂.cc例3證明含參量反常積分J收C0岀dx ⑺0 1+x2在(-卩+8)上一致收斂.證由于對任何實數(shù)y都有及反常積分收斂，故由魏爾斯特拉斯M判別法，含參量反常積分⑺在(-8,+8)上一致收斂.狄利克雷判別法設(shè)對一切實數(shù)N>c，含參量正常積分對參量x在[a,b]上一致有界，即存在正數(shù)M，對一切N>c及一切xe[a,b],都有JNf(x,y)dy<M;c對每一個xe[a,b],函數(shù)g(x,y)關(guān)于y是單調(diào)遞減且當yT+8時,對參量x,g(x,y)一致地收斂于0,則含參量反常積分在［a,b］上一致收斂.阿貝爾判別法設(shè)Jf(x,y)dy在［a,b］上一致收斂；c對每一個xe［a,b］,函數(shù)g(x,y)關(guān)于y是單調(diào)的單調(diào)函數(shù),對參量x,g(x,y)在［a,b］上一致有界.則含參量反常積分在［a,b］上一致收斂.例4證明含參量反常積分f+ssinx, /o、Je-xy dx (8)0x在［0,d］上一致收斂.證由于反常積分收斂(當然對于參量y，它在［0,d］上一致收斂)，函數(shù)g(x,y)二e-xy對每一個ye［0,d］關(guān)于x單調(diào)，且對任何0<y<d,x>0,都有|g(x,y)|=|e-xy|<1.故由阿貝爾判別法即得含參量反常積分(8)在［0,d］上一致收斂.例5證明卜xe-xydy0在［a,b］(a>0)上一致收斂；在［0,b］上不一致收斂.證(i)Vxe(a,b),ye［0+s),有0<xe-xy<be-ay,而卜be-aydy收斂(a>0).0故J+sxe-xydy在[a,b](a>0)上一致收斂.0(ii)因在x二0處不連續(xù)，而xe-xy在0<x<b,0<y<+s內(nèi)連續(xù)，由連續(xù)性定理知xe-xydy在0<x<b上不一致收斂.0結(jié)束語結(jié)束語本文介紹了含參量反常積分的定義、定理和一致收