基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的推導(dǎo)過程

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的推導(dǎo)過程基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)過程

一、冪函數(shù)()fxxα=（α∈Q*）的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)過程

命題

若()fxxα=（α∈Q*），則()1fxxαα-'=．推導(dǎo)過程

()fx'

()()()()()()000112220

011222022222022220

limlimCCCClim

CCCClimCCClimlimCCCxxxxxxfxxfxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxx

xxxαα

αααααααααααααααααααααααα

ααααααα?→?→--?→--?→--?→--?→+?-=?+?-=?+?+?++?-=?-+?+?++?=??+?++?=?=+?++LLLL()11

11

Cxx

xααααααα?==所以原命題得證．

二、正弦函數(shù)()sinfxx=的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)過程命題

推導(dǎo)過程

()fx'

()()

()()()()0000020lim

sinsinlimsincoscossinsinlimcossinsincossinlimcossinsincos1limcos2sincossin12sin1222limxxxxxxfxxfxx

xxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxx

xxxxx?→?→?→?→?→?→+?-=?+?-=??+?-=??+?-=??+?-=???????????+?--?????????=2

00002sincoscos2sinsin222lim2sincoscossinsin222lim2sincos22limsin2limcos22xxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxx

xxxx?→?→?→?→????????-???=???????-???=?????+???=?????????=+???????????當(dāng)0x?→時，sin22

xx??=，所以此時sin

212x

x?=?．所以()0limcoscos2xxfxxx?→???'=+=???

，所以原命題得證．三、余弦函數(shù)()cosfxx=的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)過程

命題

推導(dǎo)過程

()fx'

()()

()()()()0000020lim

coscoslimcoscossinsincoslimcoscoscossinsinlimcoscos1sinsinlimcos12sin1sin2sincos222limxxxxxxfxxfxx

xxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxx

xxxxx?→?→?→?→?→?→+?-=?+?-=??-?-=??--?=??--?=?????????????????????=()

2000002sincos2sinsincos222lim2sinsincoscossin222lim2sinsin22limsin2limsin22limsin2sinsixxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxx

xxxxxxx?→?→?→?→?→???????-????=???????-???=?????-???=?????????=-???????????

???=-???=-=-nx

所以原命題得證．

四、指數(shù)函數(shù)()xfxa=（a＞0，且1a≠）的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)過程

命題

若()xfxa=（a＞0，且1a≠），則()lnxfxaa'=．推導(dǎo)過程

()fx'

()()0000limlimlim1limxxxx

xxxx

xxxxfxxfxx

aaxaaax

aax?→+??→??→??→+?-=?-=??-=???-=?????

令1xta?=-，則1xat?=+，即()log1axt?=+．且當(dāng)0x?→時，

1xa?→，10xa?-→，即0t→．所以原極限可以表示為：()fx'

()()()0010limlog11lim1log11limlog1xtaxtaxttatatattat→→→??=???+??

????=?????+??

????=???+????

又由于()10lim1et

tt→+=，所以()fx'

1logelnlne

lnxaxxaaaaa

=?

=?=所以原命題得證．

五、對數(shù)函數(shù)()logafxx=（a＞0，且1a≠，x＞0）

的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)過程

命題

若()logafxx=（a＞0，且1a≠，x＞0），則()1lnfxxa'=．推導(dǎo)過程

()fx'

()()()000000lim

logloglim1limlog11limlog1limlog1limloglimxaaxaxaxaxaxxfxxfxx

xxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxx?→?→?→?→?→?→?→+?-=?+?-=??+????=?????????+??????=??????????????+????=????????

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?=001log1limlog1xxaxxaxxxxxxxx???→??+?????

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?=．且當(dāng)0x?→時，0t→．所以原極限可以表示為：()fx'