2021年湖南省益陽市李昌港中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

2021年湖南省益陽市李昌港中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在平行四邊形ABCD中，AB=BC=1，∠BAD=120°，=，則?=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣參考答案：C【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】根據(jù)平面向量的線性運算法則與數(shù)量積的定義，計算即可．【解答】解：如圖所示，平行四邊形ABCD中，AB=BC=1，∠BAD=120°，=；∴=+，=+=﹣，∴?=（+）?（﹣）=+?﹣=12+×1×2×cos120°﹣×22=﹣．故選：C．2.已知為實數(shù)，且.則“”是“”的

（

）.（A）充分而不必要條件

（B）必要而不充分條件

（C）充要條件

（D）既不充分也不必要條件w參考答案：B3.已知，那么 （）A． B． C． D．參考答案：C4.經(jīng)過拋物線的焦點和雙曲線的右焦點的直線方程為A．

B．

C．D．參考答案：B5.已知函數(shù)，則關(guān)于的方程，有5個不同實數(shù)解的充要條件是(

)A．且B．且

C．且D．且參考答案：A略6.設(shè)函數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，則A．0

B．7

C．14

D．21參考答案：D略7.設(shè)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形ABCD中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是（

）（注：若，則，）A.7539 B.6038 C.7028 D.6587參考答案：D分析：根據(jù)正態(tài)分布的定義，可以求出陰影部分的面積，利用幾何概型即可計算.詳解：，，，則則，陰影部分的面積為：0.6587.方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是6587.故選：D.點睛：解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點：(1)對稱軸x＝μ；(2)標準差σ；(3)分布區(qū)間．利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.8.已知橢圓（a＞b＞0）的一條弦所在的直線方程是x﹣y+5=0，弦的中點坐標是M（﹣4，1），則橢圓的離心率是（）A． B．C． D．參考答案：D【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)出以M為中點的弦的兩個端點的坐標，代入橢圓的方程相減，把中點公式代入，可得弦的斜率與a，b的關(guān)系式，從而求得橢圓的離心率．【解答】解：設(shè)直線x﹣y+5=0與橢圓相交于A（x1，y1），B（x2，y2），由x1+x2=﹣8，y1+y2=2，直線AB的斜率k==1，由，兩式相減得：+=0，∴=﹣×=1，∴=，由橢圓的離心率e===，故選：D．9.已知是圓心在坐標原點的單位圓上任意一點，且射線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)°到交單位圓于點，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．參考答案：【知識點】兩角和與差的正弦、余弦、正切C5【答案解析】B

由題意可得：xA=cosθ，yB=sin(θ+30°)．

∴xA-yB=cosθ-sin（θ+30°）=cosθ-(sinθ+cosθ)=cosθ-sinθ=cos(θ+)≤1．

∴xA-yB的最大值為1．故選B．【思路點撥】由題意可得：xA=cosθ，yB=sin(θ+30°)．可得xA-yB=cosθ-sin（θ+30°），利用兩角和的正弦公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．10.在△ABC中，已知，，M,N分別是BC邊上的三等分點，則的值是

（

）

A．5

B．

C．6

D．8參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知球與棱長均為2的三棱錐各條棱都相切，則該球的表面積為

.參考答案：將該三棱錐放入正方體內(nèi)，若球與三棱錐各棱均相切等價于球與正方體各面均相切，所以,則球的表面積為.12.角α的終邊經(jīng)過點P（﹣2sin60°，2cos30°），則sinα=．參考答案：【考點】任意角的三角函數(shù)的定義．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值．【分析】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得sinα的值．【解答】解：∵角α的終邊經(jīng)過點P（﹣2sin60°，2cos30°），∴x=﹣2sin60°=﹣，y=2cos30°=，∴r=|OP|=，則sinα===，故答案為：．【點評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．13.二項式展開式中，除常數(shù)項外，各項系數(shù)的和為

。參考答案：671略14.已知復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點位于第

象限.參考答案：15.已知函數(shù)f（x）=2sin（?x+φ）對任意x都有f（+x）=f（﹣x），則|f（）|=

．參考答案：2【考點】正弦函數(shù)的對稱性．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值．【分析】由條件可得，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱，故f（）等于函數(shù)的最值，從而得出結(jié)論．【解答】解：由題意可得，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱，故|f（）|=2，故答案為：2【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．16.的二項展開式中，的系數(shù)等于

．參考答案：1517.已知函數(shù)與都是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則（4）的值為____．參考答案：2【分析】根據(jù)題意，由f（x﹣1）是定義在R上的奇函數(shù)可得f（x）＝﹣f（﹣2﹣x），結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，分析可得f（x）＝f（x﹣2），則函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，據(jù)此可得f（）＝f（）＝﹣f（），結(jié)合函數(shù)的解析式可得f（）的值，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與周期性可得f（0）的值，相加即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，f（x﹣1）是定義在R上的奇函數(shù)，則f（x）的圖象關(guān)于點（﹣1，0）對稱，則有f（x）＝﹣f（﹣2﹣x），又由f（x）也R上的為奇函數(shù)，則f（x）＝﹣f（﹣x），且f（0）＝0；則有f（﹣2﹣x）＝f（﹣x），即f（x）＝f（x﹣2），則函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，則f（）＝f（）＝﹣f（），又由f（）＝log2（）＝﹣2，則f（）＝2，f（4）＝f（0）＝0，故f（）+f（4）＝2+0＝2；故答案為：2．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及函數(shù)的對稱性的判定，屬于難題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1.證明：（1）；（2）.參考答案：（Ⅰ）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.（Ⅱ）因為，，，故≥2(a＋b＋c)，即≥a＋b＋c.所以≥1.19.已知二次函數(shù)不等式的解集為（1，3）.(Ⅰ）若方程有兩個相等的實根，求的解析式；(Ⅱ）若的最大值為正數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）∵不等式的解集為（1，3）∴和是方程的兩根∴

∴又方程有兩個相等的實根∴△=∴

即∴或（舍）∴，(Ⅱ）由（Ⅰ）知∵，

∴的最大值為

∵的最大值為正數(shù)

∴

∴

解得或

∴所求實數(shù)a的取值范圍是20.如圖，四邊形與均為菱形，，且．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：∥平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．

參考答案：（Ⅰ）證明：設(shè)與相交于點，連結(jié)．因為四邊形為菱形，所以，且為中點．

………………1分又，所以．

………3分因為，所以平面．

………………4分

（Ⅱ）證明：因為四邊形與均為菱形，所以//，//，所以平面//平面．

…………7分

又平面，所以//平面．

………8分

（Ⅲ）解：因為四邊形為菱形，且，所以△為等邊三角形．因為為中點，所以，故平面．由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系．………9分

設(shè)．因為四邊形為菱形，，則，所以，．所以．

所以，．

設(shè)平面的法向量為，則有所以

取，得．

…………12分

易知平面的法向量為．

……………13分

由二面角是銳角，得．

所以二面角的余弦值為．

………14分略21.(12分)如圖，已知長方體直線與平面所成的角為，垂直于，為的中點.（I）求異面直線與所成的角；（II）求平面與平面所成的二面角；（III）求點到平面的距離.參考答案：解析：解法一：在長方體中，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，所在的直線為軸建立如圖示空間直角坐標系由已知可得，又平面，從而與平面所成的角為，又，，從而易得（I）

因為所以=易知異面直線所成的角為（II）易知平面的一個法向量設(shè)是平面的一個法向量，由即∴即平面與平面所成的二面角的大?。ㄤJ角）為（III）點到平面的距離，即在平面的法向量上的投影的絕對值，∴距離=所以點到平面的距離為解法二：(I)連結(jié)B1D1，過F作B1D1的垂線，垂足為K∵BB1與兩底面ABCD，A1B1C1D1都垂直∴又因此FK∥AE∴∠BFK為異面直線BF與AE所成的角連結(jié)BK，由FK⊥面BDD1B1得FK⊥BK從而△BKF為Rt△

在Rt△B1KF和Rt△B1D1中，由得

又BF=∴∠BFK=∴異面直線所成的角為(II)由于DA⊥面AA1B，由A作BF的垂線AG，垂足為G，連結(jié)DG，由三垂線定理知BG⊥DG∴∠AGD即為平面BDF與平面AA1B所成二面角的平面角。且∠DAG=90°在平面AA1B中，延長BF與AA1交于點S∵F為A1B1的中點，A1F∴A1、F分別為SA、SB的中點，即SA=2A1A=2=AB∴Rt△BAS為等腰三角形，垂足G點實為斜邊SB的中點F，即G、F重合。易得AG=AF=SB=在Rt△BAS中，AD=∴∠AGD=即平面BDF與平面AA1B所成二面角(銳角)的大小為。(III)由(II)知平面AFD是平面BDF與平面AA1B所成二面角的平面角所成的平面?！嗝鍭FD⊥平面BDF在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，則AH即為點A到平面BDF的距離由AH·DF=AD·得AH=所以點到平面的距離為22.（本小題滿分12分）如圖，在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個觀察站P，上午11時，測得一輪船在島北偏東30°，俯角為30°的B處，到11時10分又測得該船在島北偏西60°，俯角為60°的C處．

(1)求船的航行速度是每小時多少千米？

(2)又經(jīng)過一段時間后，船到達海島的正西方向的D處，問此時船距島A有多遠？參