數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)

在全國第十屆深化小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革觀摩交流會(huì)上，由徐文艷老師執(zhí)教的“三角形的特性”一課，雖然有許多不盡如人意之處，但卻淋漓盡致地演繹了“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)”這一教學(xué)理念.“本質(zhì)”是指事物本身所固有的，決定事物性質(zhì)、面貌和發(fā)展的根本屬性.然而，事物的本質(zhì)是隱蔽的，是通過現(xiàn)象來表現(xiàn)的，不能用簡(jiǎn)單的直觀去認(rèn)識(shí)，必須透過現(xiàn)象掌握本質(zhì).為此，本節(jié)課通過大膽處理教材，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì).筆者采錄其中幾個(gè)教學(xué)片斷與大家一起分享.【片斷一】感悟“穩(wěn)定性”1.質(zhì)疑師：確實(shí)，三角形在我們生活中隨處可見.那么，你知道這些地方為什么要做成三角形嗎？生：三角形有穩(wěn)定性.師：對(duì).你真是一語道破“天機(jī)”呀！那么，老師又要問你們：為什么做成三角形就穩(wěn)定呢？2.解疑（1）做三角形師：接下來，咱們就一起來研究這個(gè)問題.老師給每位同學(xué)都準(zhǔn)備了這樣相同的一袋小棒（師出示這樣的一袋小棒），請(qǐng)你們做一個(gè)三角形.（學(xué)生操作）（2）比三角形師：做好了嗎？請(qǐng)你們把做好的三角形和同桌的同學(xué)比一比（教師示范比的動(dòng)作：兩人將三角形重合），有什么發(fā)現(xiàn)？（學(xué)生按教師示范的動(dòng)作比完后匯報(bào)）生：我做的三角形和同桌同學(xué)的三角形是一樣的.師：其他同學(xué)，你們的發(fā)現(xiàn)呢？生：我做的三角形和同桌同學(xué)的三角形也是一樣的.師：（緊接著）真的嗎？全班同學(xué)用的都是這樣一袋小棒，那是不是全班同學(xué)做的三角形都是一樣的呢？（任意叫三位同學(xué)把所做的三角形在實(shí)物展示臺(tái)上疊在一起）師：真是這樣.看來，只要三根小棒長(zhǎng)度確定，不管怎么擺，三角形的形狀和大小完全一樣，只能擺成這一種三角形.同學(xué)們，你們?cè)倮焕切螘?huì)怎樣？生：（拉一拉后）拉不動(dòng).師：（緊接著）再比一比.生：（同桌同學(xué)比后）我們的三角形還是一樣.師：通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)的研究，現(xiàn)在你們感受到什么？生：三角形有穩(wěn)定性.師：對(duì).三角形本身固有不變形的特征，我們也叫做三角形的穩(wěn)定性.（板書：穩(wěn)定性）（3）旁證與應(yīng)用師：像這樣的四根小棒，（教師通過實(shí)物展示臺(tái)演示）你們猜猜看，老師會(huì)擺成怎樣的圖形？生：長(zhǎng)方形.師：（按學(xué)生說的擺出長(zhǎng)方形）難道就只能擺出這一種圖形嗎？你們?cè)俨虏驴矗蠋熯€會(huì)擺出怎樣的圖形？（師演示：擺出其他大小、形狀不一的多個(gè)平行四邊形）師：為什么都是這四根小棒，老師可以擺這么多大小不等、形狀不同的圖形，而你們用同樣一套的三根小棒，只能擺出形狀、大小一樣的三角形呢？這說明了什么？生：三角形具有穩(wěn)定性，四邊形易變形.師：說得好.現(xiàn)在老師這里有一個(gè)長(zhǎng)方形，（出示模型）要使它不變形，你們有辦法嗎？生：（群情激昂）有.師：請(qǐng)一位同學(xué)上臺(tái)前來把你的辦法演示給大家看.（生上臺(tái)前操作）師：為什么加一根小棒就穩(wěn)定了呢？生：因?yàn)檫@個(gè)長(zhǎng)方形加一根小棒后就形成了兩個(gè)三角形，這樣就穩(wěn)定了.師：對(duì).同學(xué)們，圖形各有各的特點(diǎn)，在生活中也各有各的作用.那么，你現(xiàn)在知道三角形為什么在生活中有廣泛應(yīng)用了嗎？生：知道了.【賞析】對(duì)于三角形“穩(wěn)定性”的教學(xué)，按照傳統(tǒng)教學(xué)及教材的編排意圖，是通過三角形“拉不動(dòng)”的實(shí)驗(yàn)來感受“三角形的穩(wěn)定性”.若這一實(shí)驗(yàn)可行，充其量也只能是讓學(xué)生感覺“什么叫穩(wěn)定性”.三角形穩(wěn)定性的實(shí)質(zhì)是什么？它就是“只要三角形的邊長(zhǎng)確定，則大小、形狀唯一”，這才是對(duì)“三角形穩(wěn)定性”本質(zhì)特征的真實(shí)描述.為此，本節(jié)課對(duì)教材進(jìn)行了大膽地處理，改變了以往的教法，采用“做三角形”、“比三角形”的方法，以及通過“利用四邊形作旁證”，并特別強(qiáng)調(diào)“比”的姿勢(shì)和方法，將三角形穩(wěn)定性明確定位于“邊長(zhǎng)確定，大小、形狀也就確定”，從而科學(xué)地指向了三角形穩(wěn)定性的本質(zhì)，有效地避免了學(xué)生今后學(xué)習(xí)理解上的歧義.當(dāng)然，為顧及到學(xué)生年齡特點(diǎn)和認(rèn)識(shí)能力，教師在凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)的同時(shí)，仍然利用了“拉一拉”這樣的細(xì)節(jié)，為進(jìn)一步幫助學(xué)生去感悟“三角形的穩(wěn)定性”起到了恰到好處的作用.【片斷二】概括定義1.小組討論師：你們能做、也會(huì)畫三角形，那能不能說說什么樣的圖形叫三角形呢？先分小組議一議.（小組討論，教師巡視參與）2.師生互動(dòng)（辨析）師：剛才聽了你們的討論，大家都談了自己的看法.就按你們的說法，我們來看看是不是這樣：課件出示：師：是三角形嗎？生：不是.師：為什么？生：三條都必須是線段，其中有一條不是.師：（邊肯定邊板書：三條線段）說得好，其中一條是曲線.課件出示：師：有三條線段的圖形就叫三角形，是嗎？生：不行，有缺口，要封閉，連起來……師：封閉？（做個(gè)圍起的手勢(shì)）是不是這樣？生：圍起.師：這位同學(xué)用的這個(gè)詞有水平，你再說一遍給大家聽聽.生：圍起.師：（邊糾正學(xué)生說的話邊板書：圍成）“圍起”就是“圍成”.好，按你們意思，像這樣圍起來嗎？課件出示：生：不對(duì).師：那怎么圍呢？生：每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)連起來.（板書：端點(diǎn)要相連）師：是三角形嗎？課件出示：3.概括表述師：好.現(xiàn)在你們知道什么樣的圖形叫三角形了吧！誰再來完整地說一說？生：……4.看書確認(rèn)師：這是我們的說法，想知道數(shù)學(xué)書上是怎么說的嗎？請(qǐng)快速翻到課本的第80頁，各自默讀一遍.（學(xué)生閱讀課本）師：我們的說法和書上比較怎么樣？生：差不多.師：差什么？生：書上更完整、準(zhǔn)確.師：是的.完整也是數(shù)學(xué)的一種美.【賞析】尊重學(xué)生的基礎(chǔ)，激活學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，這是當(dāng)前追求高效課堂的重要理念.執(zhí)教者依據(jù)學(xué)生在學(xué)習(xí)四邊形時(shí)對(duì)于“封閉圖形、四條邊、四條線段圍成”等特征已認(rèn)識(shí)得較透徹的基礎(chǔ)上，借助學(xué)生原有認(rèn)知對(duì)一些圖形進(jìn)行是否為三角形的直觀辨析中，以注重“數(shù)學(xué)本質(zhì)”為原則，逐一解決“三條線段”、“圍成”、“相鄰兩條線段端點(diǎn)相連”這幾個(gè)三角形定義本質(zhì)元素的理解，環(huán)環(huán)相扣、循序漸進(jìn)，可謂是一氣呵成.較之以往的教學(xué)方式，改變了“教師苦口婆心的誘導(dǎo)，學(xué)生牽著被動(dòng)的回答”的詮釋概念的尷尬教學(xué)局面，原來只是作為在強(qiáng)行“吞食”定義后，再進(jìn)行所謂的“是不是三角形”的判斷訓(xùn)練，現(xiàn)在則將這些依據(jù)以往教學(xué)經(jīng)驗(yàn)學(xué)生可能出現(xiàn)的“錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)”，串在一起變?yōu)樽寣W(xué)生在直視辨析中判斷、分析、概括出“定義”的演繹過程，使過去的那種無實(shí)質(zhì)意義的所謂判斷訓(xùn)練成了現(xiàn)在學(xué)生自主探究的廣闊平臺(tái).這樣，使學(xué)生更易于理解，并接受三角形定義的本質(zhì)內(nèi)容，同時(shí)培養(yǎng)了他們一些研究問題的數(shù)學(xué)思想方法.“看書確認(rèn)”雖說簡(jiǎn)單平常，卻往往不被教師看重，而這一細(xì)節(jié)正使本環(huán)節(jié)進(jìn)入了一個(gè)更為完美的結(jié)尾，讓學(xué)生盡享探究成功之愉悅，懂得了“看書也是一種學(xué)習(xí)方法”，從而養(yǎng)成一種“數(shù)學(xué)閱讀”的好習(xí)慣.【片斷三】三角形高和底的教學(xué)1.畫一畫師：（手指黑板中三角形頂點(diǎn)A到BC邊之間，邊暗示邊提問）前面你們畫了三角形，現(xiàn)在還想畫一畫嗎？不過，現(xiàn)在讓你畫的是一條線段，一條表示頂點(diǎn)A到它的對(duì)邊BC間距離的線段，會(huì)畫嗎？生：會(huì).師：好，那就請(qǐng)大家按自己想法在這張練習(xí)紙上畫一畫.（另外，請(qǐng)一個(gè)同學(xué)在黑板上來畫.巡視中發(fā)現(xiàn)有不同畫法的學(xué)生也請(qǐng)上來在黑板上畫）2.說一說師：現(xiàn)在有兩種畫法，那么到底哪一條線段畫得是對(duì)的呢？我們先請(qǐng)這位同學(xué)（對(duì)的）說說你為什么要這樣畫.生：頂點(diǎn)A到BC邊的距離就是從頂點(diǎn)A到BC邊畫一條垂直線段.師：說得好.大家給他掌聲鼓勵(lì).如果要量出這段距離是多少？應(yīng)當(dāng)從哪兒量到哪？生：從頂點(diǎn)量到垂足.（不用學(xué)生量，只需他們比劃指出即可）師：垂足在哪里？（標(biāo)上字母D.）現(xiàn)在我們把AD這條線段叫做三角形BC邊上的高，一般用虛線表示，畫上直角符號(hào)，而這條對(duì)邊就是三角形的底（分別標(biāo)上“高”、“底”）.清楚了嗎？好，下面，看誰反應(yīng)最快.BC底邊上的高是哪條線段？AD是哪條底邊上的高？：BC底邊上的高是AD.：AD是BC底邊上的高.師：（緊接著）現(xiàn)在再請(qǐng)這位同學(xué)（錯(cuò)的）也說說你的理由.生：……（也許知道錯(cuò)了）師：沒關(guān)系.現(xiàn)在老師讓你過一點(diǎn)A向線段BC畫一條垂直線段，你會(huì)畫嗎？生在教師畫的圖上畫AD.師：這條垂直線段是A點(diǎn)到BC線段的距離嗎？生：是.師：如果老師連接AB、AC（見右圖），現(xiàn)在AD這條垂直線段是頂點(diǎn)A到對(duì)邊BC的距離嗎？生：是.師：AD也就是BC底邊上的——生：高.師：說得好，現(xiàn)在會(huì)畫了吧.看來“失敗也是我們需要的，它和成功對(duì)我們一樣有價(jià)值”.3.議一議師：什么叫三角形的高和底呢？同桌同學(xué)互相說一說.（同桌同學(xué)又一次討論）師：哪個(gè)同學(xué)來匯報(bào)一下你們的想法？生：頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂直線段是高，那條對(duì)邊就是底.師：你們的想法正藏在電腦里呢，想不想一起來看看.（課件展示：在完整演示畫三角形高的過程中揭示三角形高和底的概念）師：這里我們看到“高和底是互相垂直的”.同時(shí)，從這節(jié)課同學(xué)們的表現(xiàn)來看，我們也明白：“路是腳踏出來的”“自古成功在勇于探索”.4.變一變（1）“變換高的位置后”的討論師：接下來，根據(jù)你對(duì)三角形高和底的認(rèn)識(shí)，請(qǐng)你注意圖形發(fā)生的變化，并來判斷這個(gè)問題：（課件演示，見右上圖）現(xiàn)在線段AD是不是三角形的高呢？生：不是（或是）.師：請(qǐng)同意“是”的同學(xué)舉手，再請(qǐng)同意“不是”的也舉舉手.那么到底“是”還是“不是”呢？我們還是請(qǐng)持有不同觀點(diǎn)的同學(xué)說說各自的理由好嗎？生1：是高.AD是從頂點(diǎn)A向?qū)匓C畫的一條垂線.生2：不是高.現(xiàn)在三角形的底是AB,AD沒有和AB相互垂直.師：你們兩個(gè)說的似乎都有一定道理.為什么會(huì)持有不同的觀點(diǎn)呢？老師幫你們揭開這個(gè)“謎”好吧？從你們各自說的理由來看，老師聽得出來“AD是三角形的高”，只不過“AD不是AB那條底邊上的高，而是BC底邊上的高”.是這樣嗎？（2）“高和底關(guān)系”的小組交流師：那么，BC還是三角形的底嗎？AB底邊上有高嗎？接下來請(qǐng)同學(xué)們帶著下面這三個(gè)問題分小組進(jìn)行討論.①你覺得一個(gè)三角形共有幾條高？為什么？相應(yīng)的又有幾條底邊？②AD是AB底邊上的高嗎？為什么？那么，它是哪條底邊上的高？③如果以AB為底，你能畫出這個(gè)三角形的高嗎？畫畫看？（小組交流，師巡視）師：現(xiàn)在對(duì)這三個(gè)問題都研究清楚了嗎？哪個(gè)組先來匯報(bào)你們交流的結(jié)果？：（匯報(bào)）三角形共有三條高，相應(yīng)的有三條底邊.：三角形有無數(shù)條高.師：哦？有無數(shù)條高？你的理由是什么？生：從頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫無數(shù)條垂線.師：原來如此.不過，高是從頂點(diǎn)出發(fā)，而且向它的對(duì)邊作垂線，你怎么把后面一點(diǎn)忘了呢？同學(xué)們，對(duì)“是不是高”的判斷不僅對(duì)“高的定義”要有深刻的認(rèn)識(shí)，還要知道一個(gè)三角形有三個(gè)頂點(diǎn)，也就有三條高，以及相應(yīng)的三條底邊.高與底都是相互不可分割的，有“對(duì)應(yīng)”的關(guān)系.了解了這一點(diǎn)，我們的觀點(diǎn)就統(tǒng)一了.是嗎？看來，“話不說不明，事不辯不清”，學(xué)習(xí)就需要我們有這種探索精神.5.練一練（1）畫高強(qiáng)化訓(xùn)練師：下面還要請(qǐng)一位同學(xué)上來介紹一下AB底邊上的高你是怎么畫的？生：我是用三角板……師：大家同意他的畫法嗎？生：同意.師：這位同學(xué)的畫法，我們通過電腦來展示一遍，好嗎？（課件展示）師：現(xiàn)在我們已會(huì)畫出AB底邊、BC底邊上的高，還剩下一條AC底邊上的高會(huì)畫嗎？在你們聰明的小腦瓜里畫畫.（2）找不同類三角形高的訓(xùn)練師：同學(xué)們剛才畫了三角形三條底邊上的高，如果把這個(gè)三角形頂點(diǎn)C移動(dòng)一下：這樣，形成了一個(gè)新的三角形（直角三角形），你能找出它的三條高嗎？生用手比劃，其中尤其強(qiáng)化兩條直角邊互為高和底的認(rèn)識(shí).師：很好.如果把頂點(diǎn)C繼續(xù)移動(dòng)：這樣，又形成了一個(gè)新的三角形（鈍角三角形），你能找出它的三條高嗎？生：能.（手比劃，對(duì)鈍角三角形內(nèi)的高很快找到，其外高視學(xué)生情況由教師演示）師：很好.對(duì)于這個(gè)三角形的三條高，其中一條高大家一下就找到了，另外兩條高可以這樣畫，以后到了中學(xué)你們還會(huì)學(xué)習(xí).【賞析】高和底的認(rèn)識(shí)是本節(jié)課的難點(diǎn)，尤其是非水平方向位置高的認(rèn)識(shí)及其畫法.為了突破這一難點(diǎn)，執(zhí)教者從“認(rèn)識(shí)對(duì)邊”到“畫線段表示頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離”，從“說一說畫頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂線的畫法”到“議一議對(duì)高和底定義的概括”，無不十分注重有關(guān)高的本質(zhì)特征“從頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€”的描述.其后，通過“旋轉(zhuǎn)”這一由靜到動(dòng)的情景設(shè)置，將“高”從學(xué)生習(xí)慣于“生活中的高”的認(rèn)識(shí)位置“旋”到了非水平方向位置，當(dāng)學(xué)生覺得這樣的高有些不可思議時(shí)，執(zhí)教者以把握“高的本質(zhì)特征”作為基本出發(fā)點(diǎn)，引發(fā)出有關(guān)“討論”和“交流”的兩個(gè)環(huán)節(jié).“討論”以“AD現(xiàn)在還是三角形的高嗎”為主題展開，在持有“是”和“不是”兩種不同觀點(diǎn)的“對(duì)壘”中，進(jìn)一步提升學(xué)生對(duì)高的本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)，擺脫他們習(xí)慣于“生活中的高”的影響，從而解決他們對(duì)非水平方向位置高的認(rèn)識(shí)這一難點(diǎn).繼前一部分的討論后，找到了矛盾的焦點(diǎn)是“AD是三角形的高”，只不過“AD不是AB底邊上的高”，通過交流，發(fā)現(xiàn)“為什么會(huì)有兩種截然不同的答案”的原因，原來是在于沒有認(rèn)識(shí)到“高和底之間有著密切的關(guān)系”.繼而小組互助和交流“你覺得一個(gè)三角形共有幾條高？為什么？”“AD是AB邊上的高嗎？為什么？那么它是哪條底邊上的高？”“如果以AB為底，你能畫出這個(gè)三角形的高嗎？”.在交流中，學(xué)生知道了“一個(gè)三角形共有三條高”，明確了“高和底的對(duì)應(yīng)關(guān)系”，強(qiáng)化了高和底的認(rèn)識(shí).“旋轉(zhuǎn)”環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)是一個(gè)不可多得的重要環(huán)節(jié).其中，當(dāng)有學(xué)