將軍飲馬模型

中數(shù)專：軍馬型一、背知識：【傳說】早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者叫海．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題．將軍每天從軍營A出發(fā)先到河飲馬然再去河岸同側(cè)的軍營B開會應該怎樣走才能使路程最短？這個問題的答案并不難說海倫略加思索就解決了它從此以后這個被稱為將飲”的問題便流傳至今．【問題原型】將軍飲馬造選馬點【涉及知識】兩點之間線段最短，垂線段最短；三角形兩邊三邊關系；軸稱；平移；【解題思路】找對稱點，實現(xiàn)折轉(zhuǎn)直二、將飲馬問題常模型1.兩一型兩定點到一動點距離和最小例1定直線l上一個動點使點到個定點A與的離之和最小PA+PB最小作：連接AB與直線

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的交點QQ即所要尋找的點，即當動點跑了點Q處PA+PB最，且最小值等于原：點之間線段最短。證明：接，與直線

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的交點Q為線

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上任意一點，在⊿PAB中由三角形三邊關系可知≧當且僅當重時取﹦)例：在定直線l上一個動點，動點到個定點A與B的離之和最小，即PA+PB的最小關：對點1

作點B關直線

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的對稱點C的Q為所要尋找的點，即當動點P到了點PA+PB和小，且最小值等于AC.原：點，線段最短證明：接AC，直l的交Q，P為直線上一點，在PAC中由三角形三邊關系知AP+PC≧AC(當僅PQ重取)2.兩一型例：在∠長最短．

的內(nèi)部有一點A，在OM找一BON上一點C，BAC周作：點關于OM的對稱點AA于ON的點’A交于點，ON交C連AB，AC，△ABC即所求．原：點，線段最短例4在∠

的內(nèi)部有點點B，OM上一點在ON上點使得四邊形ABCD

周長最短．2

12212121221212作：點A關于OM的稱點A，點關的稱點’，連接A’B，與OM交于點，ON交點D連接ACBDAB四邊形ABCD即所求．原：點之間，線段最短3.兩兩動最例5知A是個定點定直線

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上找個動點M與且長等于定長

（動點M位動點N左側(cè)），使AM+MN+NB值最小.提示：存在定長的動點問題一定要考慮平移作一將點A向平移長度d得點，作A關于直線l對稱點A’，連接A’B，交直線

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于點N，點N向左移長度

d得點M作二作點A關直l的稱點A，點向平移長得點A，接AB，交直線l于，點Q左平移長度得到點Q原：點之間，線段最短，最小值為A’例6：（橋選址）軍日需騎馬從軍營出發(fā)，去岸對側(cè)的瞭望臺觀察敵情，已知河流的寬度為30米請問，在何地修浮橋可使得將軍每日的行程最短？例6：直線l∥l，直線l上一個點，直線l上一個點D，使得CD⊥l且3

AC＋BDCD短．作：點A沿CD方向下平移CD長d至A，連接A’B，交l2于D，點D作DCl2于，接AC．則橋即所求．此時小值為A’B原：點之間，線段最短，4.

垂段短例7在∠的部有一點A在OM上找一點，ON上找一點，使得AB＋BC最短．原：線最點A是點，是線，點B點C是OMON上找的點，是動點．作：點A關OM對稱點A，過點A作A’CON，交于B，、即所求。例8在直線l上一個動點P使點到個定點A與B的離之差最小即PA-PB最小作：接，作的中垂線與的交，即為所求點P此時|=0原：段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等4

例9定直線l上一個動點C使點到個定點A與B的距離之差最大即|PA-PB最大作：延長交

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于點，點C即所求，即點、A、C三點共線時，最大值為AB的度。原：角形任意兩邊之差小于第三邊例10直最大

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上找一個動點C點到個定點A的離差最大|作：作點B關

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的對稱點B，接AB，交l于點即所求，最大值為長度。原：角形任意兩邊之差小于第三邊典型例

三角形．圖，在等邊ABC中=6，AD⊥是AC上一M是上一點，且AE=2求EM+EC的小值AE

HM

D

C

5

B

D

C

解：點關直線AD的對稱是點B，連接BE，交AD點M則最，過點