2022-2023學年九年級數(shù)學專家點撥-方案設計型問題

一、考點突破方案設計型問題在中考試卷中頻頻出現(xiàn)，充分說明此類問題已成為中考的熱點題型之一。方案設計型問題就是給出符合要求的解決問題的方法，這種類型的問題，有時會給出設計要求，也可能讓學生自己設計方案。有時需要學生通過閱讀、觀察、歸納、探索和比較等手段尋找解決實際問題的方法，得到最佳答案。方案設計題往往帶有濃郁的生活氣息，能讓學生充分體驗知識的應用的價值，改變重結(jié)果輕過程的學習模式。重視動手操作和實踐，把知識的產(chǎn)生過程放在突出的位置，是近幾年中考命題的熱點。常以解答題的形式出現(xiàn)，所占分值較大。二、重難點提示解決方案設計問題，首先要熟練掌握方程、不等式、函數(shù)、概率、統(tǒng)計等基礎知識，并且要具備利用這些知識解決實際問題的能力，還要有觀察圖形、分析圖形的能力，具有較強的發(fā)散思維的能力。一、知識脈絡圖二、知識點撥1.設計圖形型幾何圖形的分割與設計在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，有時是根據(jù)面積相等來分割，有時是根據(jù)線段間的關(guān)系來分割，有時根據(jù)其它條件來分割，做此類題一般用尺規(guī)作圖。2.設計測量方案型該題型已滲透到幾何各章節(jié)之中，例如：測量底部不能直接到達的小山的高，測量池塘的寬度，測量圓的直徑等，此類題解法的不唯一。3.設計最佳方案型此類題往往要求所設計的問題中出現(xiàn)路程最短、運費最少、效率最高等詞語，解題時常與函數(shù)、幾何聯(lián)系在一起。能力提升類例1如圖所示，在7×6的正方形網(wǎng)格中，選取14個格點，以其中三個格點為頂點畫出△ABC。請你以選取的格點為頂點再畫出一個三角形，且分別滿足下列條件：（1）圖①中所畫的三角形與△ABC組成的圖形是軸對稱圖形。（2）圖②中所畫的三角形與△ABC組成的圖形是中心對稱圖形。（3）圖③中所畫的三角形與△ABC的面積相等，但不全等。一點通：對于（1）和（2），按照要求畫出△ABC的軸對稱圖形和中心對稱圖形即可;對于（3），設相鄰兩個格點之間的距離為1，則△ABC的面積為3，則圖⑥、⑦、⑧的情形均滿足題意。另外，圖⑨的情形不合題意，注意要舍去。解：（1）如圖④（2）如圖⑤（3）答案不唯一，如圖⑥、⑦、⑧所示的三角形面積均與△ABC的面積相等，且不與△ABC全等。評析：格點問題是在假定了問題背景的前提下而設置的問題。對于格點問題，常要結(jié)合格點特征，合理使用單位正方形，適當?shù)臅r候，還要進行相應的計算。例2義潔中學計劃從榮威公司購買A、B兩種型號的小黑板，經(jīng)洽談，購買一塊A型小黑板比購買一塊B型小黑板多用20元，且購買5塊A型小黑板和4塊B型小黑板共需820元。（1）求購買一塊A型小黑板、一塊B型小黑板各需要多少元？（2）根據(jù)義潔中學的實際情況，需從榮威公司購買A、B兩種型號的小黑板共60塊，要求購買A、B兩種型號小黑板的總費用不超過5240元，并且購買A型小黑板的數(shù)量應大于購買A、B兩種型號小黑板總數(shù)量的。請你通過計算，求出義潔中學從榮威公司購買A、B兩種型號的小黑板有哪幾種方案？一點通：（1）設購買一塊A型小黑板需要x元，一塊B型需（x－20）元，根據(jù)購買一塊A型小黑板比購買一塊B型小黑板多用20元，且購買5塊A型小黑板和4塊B型小黑板共需820元可列方程求解。（2）設購買A型小黑板m塊，則購買B型小黑板（60－m）塊，根據(jù)需從榮威公司購買A、B兩種型號的小黑板共60塊，要求購買A、B兩種型號小黑板的總費用不超過5240元。并且購買A型小黑板的數(shù)量應大于購買A、B種型號小黑板總數(shù)量的QUOTE13，可列不等式組求解。解：（1）設購買一塊A型小黑板需要x元，5x+4（x－20）=820，x=100，x－20=80，所以購買A型小黑板需100元，B型小黑板需80元。（2）設購買A型小黑板m塊，QUOTE&100m+80（60﹣m）≤5240&m＞60×∵m為整數(shù)，∴m為21或22，∴當m=21時，60－m=39；當m=22時，60－m=38，∴有兩種購買方案方案一：購買A型小黑板21塊，購買B型小黑板39塊；方案二：購買A型小黑板22塊，購買B型小黑板38塊。評析：處理不等問題的關(guān)鍵是找出不等關(guān)系，找不等關(guān)系時要關(guān)注題目中的關(guān)鍵詞，如“不超過，不少于”等。綜合運用類例3在一次數(shù)學探究型學習活動中，某學習小組要制作一個圓錐體模型，操作規(guī)則是：在一塊邊長為16cm的正方形紙片上剪出一個扇形和一個圓，使得扇形圍成圓錐的側(cè)面時，圓恰好是該圓錐的底面。它們首先設計了如圖所示的方案一，發(fā)現(xiàn)這種方案不可行，于是他們調(diào)整了扇形和圓的半徑，設計了如圖所示的方案二。（兩個方案的圖中，圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切）（1）請說明方案一不可行的理由；（2）判斷方案二是否可行？若可行，請確定圓錐的母線長及其底面圓半徑；若不可行，請說明理由。一點通：能否制成圓錐，關(guān)鍵是看能否剪出一個圓的周長等于扇形的弧長，這是問題（1）的出發(fā)點，需通過計算來判斷；問題（2）的答題關(guān)鍵是利用“圓錐底面周長等于側(cè)面展開圖弧長”與“的長恰好等于正方形的對角線的長”構(gòu)造方程組求解。解：（1）理由如下：∵扇形的弧長＝16×＝8π，圓錐底面周長＝2πr，∴圓的半徑為4cm。由于所給正方形紙片的對角線長為16cm，而制作這樣的圓錐實際需要正方形紙片的對角線長為16＋4＋4＝（20＋4）cm，20＋4＞16，∴方案一不可行。（2）方案二可行。求解過程如下：設圓錐底面圓的半徑為rcm，圓錐的母線長為Rcm，則由①②可得，r＝。故所求圓錐的母線長為cm，底面圓的半徑為cm。評析：本題從閱讀（學習）能力、探究能力、邏輯推理能力等方面對學生進行了全面的考查，試題突出了數(shù)學本質(zhì)，強化了對數(shù)學通性通法的考查。例4隨著人們生活水平的提高，轎車已進入平常百姓家，我市家庭轎車的擁有量也逐年增加，某汽車經(jīng)銷商計劃用不低于228萬元且不高于240萬元的資金訂購30輛甲、乙兩種新款轎車，兩種轎車的進價和售價如下表：（1）請你幫助經(jīng)銷商算一算共有哪幾種進貨方案？（2）如果按表中售價全部賣出，哪種進貨方案獲利最多？并求出最大利潤。（注：其它費用不計，利潤=售價－進價）。一點通：根據(jù)“經(jīng)銷商計劃用不低于228萬元且不高于240萬元的資金訂購30輛甲、乙兩種新款轎車”，建立不等式組，而采購車輛數(shù)為整數(shù)，變無限解為有限解，方案也就出來了。解：（1）設訂購甲種車為輛，則訂購乙種車為輛，由題意，得，解得，∵為整數(shù)，∴取11，12，13，30－取19，18，17。答：該經(jīng)銷商訂購甲、乙種車共有3種方案：方案一：甲車11輛，乙車19輛；方案二：甲車12輛，乙車18輛；方案三：甲車13輛，乙車17輛。（2）設經(jīng)銷商全部售出甲、乙兩種車后獲利萬元，由題意，得：，∵，∴隨的增大而減小?！喈?11時，（萬元）?！喈斒鄢黾追N車11輛，乙種車19輛時，該經(jīng)銷商獲得的最大利潤為22.9萬元。評析：解答綜合題，需要由淺入深，認真讀題，理解題意，合理設未知數(shù)，分步解答。思維拓展類例5在一平直河岸同側(cè)有兩個村莊，到的距離分別是3km和2km，?，F(xiàn)計劃在河岸上建一抽水站，用輸水管向兩個村莊供水?！痉桨冈O計】某班的數(shù)學興趣小組設計了兩種鋪設管道的方案：圖（1）是方案一的示意圖，設該方案中管道長度為，且（其中于點）；圖（2）是方案二的示意圖，設該方案中管道長度為，且（其中點與點關(guān)于對稱，與交于點）。【觀察計算】（1）在方案一中，km（用含的式子表示）；（2）在方案二中，組長小宇為了計算的長，作了如圖（3）所示的輔助線，請你按小宇同學的思路計算，km（用含的式子表示）?！咎剿鳉w納】（1）①當時，比較大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；②當時，比較大?。海ㄌ睢埃尽?、“＝”或“＜”）；（2）請你參考下邊方框中的方法指導，就（當時）的所有取值情況進行分析，要使鋪設的管道長度較短，應選擇方案一還是方案二？一點通：題中設計了兩種管道鋪設方案，方案一中長度可直接求得，方案二中長度可利用勾股定理來求。比較兩種方案管道長度時要認真閱讀題中的方法指導，同時要注意分類討論思想的應用。解：【觀察計算】（1）；（2）?！咎剿鳉w納】（1）①；②；（2）。①當，即時，，。；②當，即時，，。；③當，即時，，。。綜上可知：當時，選方案二；當時，選方案一或方案二；當時，選方案一。例6某中學租用兩輛小汽車（設速度相同）同時送1名帶隊老師及7名九年級的學生到縣城參加數(shù)學競賽，每輛限坐4人（不包括司機）。其中一輛小汽車在距離考場15km的地方出現(xiàn)故障，此時離截止進考場的時刻還有42分鐘，這時唯一可利用的交通工具是另一輛小汽車，且這輛車的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下車時間忽略不計）。（1）若小汽車送4人到達考場，然后再回到出故障處接其他人，請你通過計算說明他們能否在截止進考場的時刻前到達考場；（2）假如你是帶隊的老師，請你設計一種運送方案，使他們能在截止進考場的時刻前到達考場，并通過計算說明方案的可行性。一點通：（1）由于小汽車在距離考場15千米的地方出現(xiàn)故障，所以另一輛小汽車把自己車上的人送到市區(qū)后再回來送這一批人所走的路程應該為15×3，如果根據(jù)已知條件計算即可判斷是否進考場的時刻前到達考場；（2）方案1：設這車送4人到達后返回，再經(jīng)過x小時后碰到另外步行的4人，那么車和步行的人是相遇問題，由此即可路程方程解決問題；方案2：用車送4人，另4人同時步行，車送到某一地點時讓車上4人下車步行，車返回去接先期步行的4人，當8人同時到達考場時。解：（1）（分鐘），，不能在限定時間內(nèi)到達考場。（2）方案1：先將4人用車送到考場，另外4人同時步行前往考場，汽車到考場后返回到與另外4人的相遇處再載他們到考場。先將4人用車送到考場所需時間為（分鐘）。0.25小時內(nèi)另外4人步行了1.25km，此時他們與考場間的距離為（km）設汽車返回與步行的4人相遇，，解得。汽車由相遇點再去考場所需時間也是。所以用這一方案送這8人到考場共需。所以這8個人能在截止進考場的時刻前到達考場。方案2：8人同時出發(fā)，4人步行，先將4人用車送到離出發(fā)點的處，然后這4個人步行前往考場，車回去接應后面的4人，使他們跟前面4人同時到達考場。由處步行前往考場需，汽車從出發(fā)點到處需，先步行的4人走了，設汽車返回（h）后與先步行的4人相遇，則有，解得，所以相遇點與考場間的距離為。由相遇點坐車到考場需。所以先步行的4人到考場的總時間為，先坐車的4人到考場的總時間為，他們同時到達，則有，解得。將代入上式，可得他們趕到考場所需時間為（分鐘）。。∴他們能在截止進考場的時刻前到達考場。評析：此題比較難，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解。方案設計型問題是指應用數(shù)學基礎知識建模的方法，來按題目所呈現(xiàn)的要求進行計算，論證，選擇，判斷，設計的一種數(shù)學試題。有利用不等式（組）進行方案設計，利用概率與統(tǒng)計進行方案設計，利用函數(shù)知識進行方案設計，利用幾何知識進行方案設計。其中以利用函數(shù)與不等式解決的方案設計問題為最多。利用函數(shù)與不等式解決的方案設計問題的基本方法是：（1）根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)實際意義建立關(guān)于自變量的不等式組，求函數(shù)自變量的取值范圍；（3）根據(jù)函數(shù)自變量的取值范圍，確定符合條件的設計方案；（4）利用函數(shù)的性質(zhì)求最大值或最小值，確定最優(yōu)化方案。問題：某學校舉行演講比賽，選出了10名同學擔任評委，并事先擬定從如下4個方案中選擇合理的方案來確定每個演講者的最后得分（滿分為10分）：方案1所有評委所給分的平均數(shù)。方案2在所有評委所給分中，去掉一個最高分和一個最低分，然后再計算其余給分的平均數(shù)。方案3所有評委所給分的中位數(shù)。方案4所有評委所給分的眾數(shù)。為了探究上述方案的合理性，先對某個同學的演講成績進行了統(tǒng)計實驗。下面是這個同學的得分統(tǒng)計圖：（1）分別按上述4個方案計算這個同學演講的最后得分；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，請用統(tǒng)計的知識說明哪些方案不適合作為這個同學演講的最后得分。一點通：本題關(guān)鍵是理解每種方案的計算方法：（1）方案1：平均數(shù)=總分÷10。方案2：平均數(shù)=去掉一個最高分和一個最低分的總分÷8。方案3：10個數(shù)據(jù)，中位數(shù)應是第5個和第6個數(shù)據(jù)的平均數(shù)。方案4：求出評委給分中出現(xiàn)次數(shù)最多的分數(shù)。（2）考慮時應涉及不受極值的影響，不能有兩個得分等原因，從而進行排除。解：（1）方案1的最后得分：；方案2的最后得分：；方案3的最后得分：；方案4的最后得分：或。（2）因為方案1中的平均數(shù)受極端數(shù)值的影響，不能反映這組數(shù)據(jù)的“平均水平”，所以方案1不適合作為最后得分的方案。因為方案4中的眾數(shù)有兩個，眾數(shù)失去了實際意義，所以方案4不適合作為最后得分的方案。評析：本題用到的知識點：給定一組數(shù)據(jù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)，稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。中位數(shù)的定義：將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，把中間的數(shù)據(jù)（或中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做中位數(shù)。平均數(shù)=總數(shù)÷個數(shù)。學會選用適當?shù)慕y(tǒng)計量分析問題。（答題時間：60分鐘）1.認真觀察圖①的4個圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，回答下列問題：（1）請寫出這四個圖案都具有的兩個共同特征。特征1：_________________________________________________；特征2：_________________________________________________。（2）請在圖②中設計出你心中最美麗的圖案，使它也具備你所寫出的上述特征2.為創(chuàng)建綠色校園，學校決定在一塊正方形的空地上種植花草，現(xiàn)向?qū)W生征集設計圖案。圖案要求只能用圓弧在正方形內(nèi)加以設計，使正方形和所畫的圓弧構(gòu)成的圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。種植花草部分用陰影表示。請你在圖③、圖④、圖⑤中畫出三種不同的設計圖案。提示：在兩個圖案中，只有半徑變化而圓心不變的圖案屬于同一種，例如：圖①、圖②只能算一種。3.某公司為了擴大經(jīng)營，決定購進6臺機器用于生產(chǎn)某種活塞?，F(xiàn)有甲、乙兩種機器供選擇，其中每種機器的價格和每臺機器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如下表所示。經(jīng)過預算，本次購買機器所耗資金不能超過34萬元。甲乙價格（萬元/臺）75每臺日產(chǎn)量（個）10060（1）按該公司要求可以有幾種購買方案？（2）若該公司購進的6臺機器的日生產(chǎn)能力不能低于380個，那么為了節(jié)約資金應選擇哪種方案？4.某校九年級270名師生計劃集體外出一日游，乘車往返，經(jīng)與客運公司聯(lián)系，他們有座位數(shù)不同的中巴車和大客車兩種車型可供選擇，每輛大客車比中巴車多15個座位，學校根據(jù)中巴車和大客車的座位數(shù)計算后得知，如果租用中巴車若干輛，師生剛好坐滿全部座位；如果租用大客車，不僅少用一輛，而且?guī)熒旰筮€多30個座位。（1）求中巴車和大客車各有多少個座位？（2）客運公司為學校這次活動提供的報價是：租用中巴車每輛往返費用350元，租用大客車每輛往返費用400元，學校在研究租車方案時發(fā)現(xiàn)，同時租用兩種車，其中大客車比中巴車多租一輛，所需租車費比單獨租用一種車型都要便宜，按這種方案需要中巴車和大客車各多少輛？租車費比單獨租用中巴車或大客車各少多少元？5.甲、乙兩地工廠分別生產(chǎn)17臺，15臺同一種型號的檢測設備，全部運往A,B兩個場館。A館需要18臺，B館需要14臺。（1）設甲地運往A館的設備有x臺，請?zhí)顚懕?，并求出總運費y（元）與x（臺）的函數(shù)關(guān)系式。（2）要是總運費不高于20230元。請你幫助該公司設計調(diào)配方案，并寫出有哪幾種方案。（3）x為多少時，總費用最小，最小值是多少？表1出發(fā)地目的地甲地乙地A館800元/臺700元/臺B館500元/臺600元/臺表2出發(fā)地目的地甲地乙地A館（臺）（臺）B館（臺）（臺）6.為執(zhí)行中央“節(jié)能減排，美化環(huán)境，建設美麗新農(nóng)村”的國策，我市某村計劃建造A、B兩種型號的沼氣池共20個，以解決該村所有農(nóng)戶的燃料問題。兩種型號沼氣池的占地面積、使用農(nóng)戶數(shù)及造價見下表：型號占地面積（單位：m2/個）使用農(nóng)戶數(shù)（單位：戶/個）造價（單位：萬元/個）A15182B20303已知可供建造沼氣池的占地面積不超過365m2（1）滿足條件的方案共有幾種?寫出解答過程。（2）通過計算判斷，哪種建造方案最省錢。7.2011年我國云南盈江發(fā)生地震，某地民政局迅速組織了30噸飲用水和13噸糧食的救災物資，準備租用甲、乙兩種型號的貨車將它們快速運往災區(qū)。已知甲型貨車每輛可裝飲用水5噸和糧食1噸，乙型貨車每輛可裝飲用水3噸和糧食2噸。已知可租用的甲型貨車不超過4輛。（1）若一共租用了9輛貨車，且使救災物資一次性地運往災區(qū)，共有哪幾種運貨方案？（2）若甲、乙兩種貨車的租車費用每輛分別為4000元、3500元,在（1）的方案中，哪種方案費用最低？最低是多少？（3）若甲、乙兩種貨車的租車費用不變,在保證救災物資一次性運往災區(qū)的情況下，還有沒有費用更低的方案？若有，請直接寫出該方案和最低費用，若沒有，說明理由。（租車數(shù)量不限）8.某商場將進價40元一個的某種商品按50元一個售出時，每月能賣出500個。商場想了兩個方案來增加利潤：方案一：提高價格，但這種商品每個售價漲價1元，銷售量就減少10個；方案二：售價不變，但發(fā)資料做廣告。已知這種商品每月的廣告費用m（千元）與銷售量倍數(shù)p的關(guān)系為p=；試通過計算，判斷商場為賺得更大的利潤應選擇哪種方案？請說明你判斷的理由！9.研究所對某種新型產(chǎn)品的產(chǎn)銷情況進行了研究，為投資商在甲、乙兩地生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品提供了如下成果：第一年的年產(chǎn)量為（噸）時，所需的全部費用（萬元）與滿足關(guān)系式，投入市場后當年能全部售出，且在甲、乙兩地每噸的售價，（萬元）均與滿足一次函數(shù)關(guān)系。（注：年利潤＝年銷售額－全部費用）（1）成果表明，在甲地生產(chǎn)并銷售噸時，，請你用含的代數(shù)式表示甲地當年的年銷售額，并求年利潤（萬元）與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）成果表明，在乙地生產(chǎn)并銷售噸時，（為常數(shù)），且在乙地當年的最大年利潤為35萬元。試確定的值；（3）受資金、生產(chǎn)能力等多種因素的影響，某投資商計劃第一年生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品18噸，根據(jù)（1），（2）中的結(jié)果，請你通過計算幫他決策，選擇在甲地還是乙地產(chǎn)銷才能獲得較大的年利潤？

1.解：（1）特征1：都是軸對稱圖形；特征2：都是中心對稱圖形；特征3：這些圖形的面積都等于4個單位面積……（2）滿足條件的圖形有很多，只要畫出正確的一個即可。2.解：以下為不同情形下的部分正確畫法，答案不唯一。3.解：（1）設購買甲種機器x臺，則購買乙種機器（6－x）臺。由題意，得，解這個不等式，得，即x可以取0、1、2三個值，所以，該公司按要求可以有以下三種購買方案：方案一：不購買甲種機器，購買乙種機器6臺；方案二：購買甲種機器1臺，購買乙種機器5臺；方案三：購買甲種機器2臺，購買乙種機器4臺。（2）按方案一購買機器，所耗資金為30萬元，新購買機器的日生產(chǎn)量為360個；按方案二購買機器，所耗資金為1×7＋5×5＝32萬元，新購買機器的日生產(chǎn)量為1×100＋5×60＝400個；按方案三購買機器，所耗資金為2×7＋4×5＝34萬元，新購買機器的日生產(chǎn)量為2×100＋4×60＝440個。因此，選擇方案二既能達到生產(chǎn)能力不低于380個的要求，又比方案三節(jié)約了2萬元資金，故應選擇方案二。4.解：（1）設每輛中巴車有座位x個，每輛大客車有座位（x＋15）個，依題意有解之得：x1＝45，x2＝－90（不合題意，舍去）答：每輛中巴車有座位45個，每輛大客車有座位60個。（2）①若單獨租用中巴車，租車費用為×350＝2100（元）②若單獨租用大客車，租車費用為（6－1）×400＝2000（元）③設租用中巴車y輛，大客車（y＋1）輛，則有45y＋60（y＋1）≥270解得y≥2，當y＝2時，y＋1＝3，運送人數(shù)為45×2＋60×3＝270符合要求這時租車費用為350×2＋400×3＝1900（元）故租用中巴車2輛和大客車3輛，比單獨租用中巴車的租車費少200元，比單獨租用大客車的租車費少100元。5.解：（1）如表出發(fā)地目的地甲地乙地A館（18－）（臺）B館（17－）（臺）（－3）（臺）（2）依題意解之得，因為為正整數(shù)，、4，故有兩種方案。方案1：從甲地運往A館