傳遞現(xiàn)象基本方程

傳遞現(xiàn)象基本方程1第1頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、不可壓縮流體流體的壓縮性可以用體積的應(yīng)變來(lái)描述，即ΔV/V0，一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)ΔV/V0<5%時(shí)，流體就可以視為不可壓縮流體。液體：可視為不可壓縮流體氣體：只有在壓力變化不大的情況下才可視為不可壓縮流體2023/4/262第2頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日三、描述流體流動(dòng)的兩種觀點(diǎn)1.拉格朗日觀點(diǎn)以流體中的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作為研究對(duì)象，考察流體中的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和物理量隨時(shí)間和空間位置的變化規(guī)律。這種方法著眼于固定的流體質(zhì)點(diǎn)，而不是空間中的固定場(chǎng)點(diǎn)。采用拉格朗日觀點(diǎn)研究流體流動(dòng)時(shí)，流體的狀態(tài)函數(shù)是流體質(zhì)點(diǎn)的起始位置和時(shí)間的函數(shù)，例如要研究初始位置在x0，y0，z0處的流體質(zhì)點(diǎn)速度隨時(shí)間的變化情況，這時(shí)速度u可以表示為：注意：這里的x0，y0，z0是質(zhì)點(diǎn)標(biāo)號(hào)，是t=0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置，不是場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)。對(duì)于不同的流體質(zhì)點(diǎn)x0，y0，z0有不同的數(shù)值。2023/4/263第3頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.歐拉觀點(diǎn)：

歐拉觀點(diǎn)并不研究每個(gè)流體各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而是把著眼點(diǎn)放在空間中固定場(chǎng)點(diǎn)處的流體，考察流體質(zhì)點(diǎn)在經(jīng)過(guò)固定的空間點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和物理量隨時(shí)間的變化規(guī)律。采用歐拉觀點(diǎn)來(lái)研究流體流動(dòng)時(shí)，流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和相關(guān)物理量是時(shí)間和空間位置的函數(shù)。比如按照歐拉觀點(diǎn)，空間中流體任一點(diǎn)的流速u(mài)可以寫(xiě)成

注意：這里的x，y，z

是場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)，即空間位置坐標(biāo)。拉格朗日觀點(diǎn)常用于微分動(dòng)量方程和能量傳遞微分方程的推導(dǎo)，推導(dǎo)時(shí)研究對(duì)象選擇的是空間中固定質(zhì)量的流體微元，其位置和體積可以變化的。此外，拉格朗日觀點(diǎn)也常用于理論分析當(dāng)中。2023/4/264第4頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日歐拉觀點(diǎn)常用于質(zhì)量傳遞微分方程的推導(dǎo)。推導(dǎo)時(shí)，選取的流體微元體積、位置固定，輸入和輸出流體微元的物理量則隨時(shí)間而變。不管采用那種觀點(diǎn)，所得的結(jié)果都是相同的，只不過(guò)采用不同的觀點(diǎn)，解決問(wèn)題的難易程度不同。2023/4/265第5頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日四、描述流體流動(dòng)的兩種幾何方法1.跡線跡線為同一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)軌跡，即該質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻運(yùn)動(dòng)位置的連線.顯然跡線的概念與拉格朗日觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。流線是用來(lái)描述流場(chǎng)中各點(diǎn)流動(dòng)方向的曲線。它是某一時(shí)刻速度場(chǎng)中的矢量線，即在該線上任意一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)在這一時(shí)刻的速度方向一致.顯然流線的概念和歐拉觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。2.流線2023/4/266第6頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日五、描述流體流動(dòng)的三種時(shí)間導(dǎo)數(shù)根據(jù)連續(xù)介質(zhì)模型，與傳遞現(xiàn)象有關(guān)物理量(如溫度、速度、濃度、壓力和密度等)均是時(shí)間和空間的連續(xù)函數(shù)，這些物理量隨時(shí)間的變化率，是傳遞過(guò)程的速率大小的量度。假設(shè)以Ф代表某物理量，則其隨時(shí)間和空間位置的變化可以表示為該物理量對(duì)位置和時(shí)間的全微分為2023/4/267第7頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日這時(shí)，該物理量的全導(dǎo)數(shù)就變?yōu)?、隨體導(dǎo)數(shù)如果全導(dǎo)數(shù)中的位置隨時(shí)間的變化率等于流體在空間中的速度分量即，隨體導(dǎo)數(shù)，記為3、偏導(dǎo)數(shù)

偏導(dǎo)數(shù)是指在固定位置處某物理量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，記為偏導(dǎo)數(shù)又稱為局部導(dǎo)數(shù)或當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)。將上式中的各項(xiàng)同除以dt，則得到該物理量對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)1、全導(dǎo)數(shù)2023/4/268第8頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日偏導(dǎo)數(shù)的物理意義：空間中固定位置處觀察到的某物理量隨時(shí)間的變化率。全導(dǎo)數(shù)的物理意義：當(dāng)觀察者以任意速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，某物理量隨時(shí)間的變化率。隨體導(dǎo)數(shù)的物理意義：當(dāng)觀察者隨流體一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，某物理量隨時(shí)間的變化率。三種導(dǎo)數(shù)的物理意義：2023/4/269第9頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日六、穩(wěn)態(tài)過(guò)程和非穩(wěn)態(tài)過(guò)程如果一個(gè)過(guò)程的各個(gè)物理量與時(shí)間無(wú)關(guān)，這個(gè)過(guò)程就是一個(gè)穩(wěn)態(tài)過(guò)程。反之，就是一個(gè)非穩(wěn)態(tài)過(guò)程。穩(wěn)態(tài)過(guò)程的物理量?jī)H僅是空間位置的函數(shù)。如果以x，y，z來(lái)表示空間位置，以t

來(lái)表示時(shí)間那么某個(gè)物理量Ф

就可以表示為Ф＝Ф（x，y，z

）因?yàn)榉€(wěn)態(tài)過(guò)程Ф與時(shí)間無(wú)關(guān)，即2023/4/2610第10頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第2節(jié)質(zhì)量傳遞微分方程質(zhì)量傳遞微分方程也稱為連續(xù)性方程，常用歐拉觀點(diǎn)來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)。一、質(zhì)量傳遞微分方程的推導(dǎo)在流體場(chǎng)中的空間點(diǎn)M(x,y,z)處取一流體微元（長(zhǎng)、寬、高分別為dx、dy、dz），設(shè)位于M點(diǎn)處的流體速度為u，密度為ρ，且u和ρ均為時(shí)間和空間的函數(shù)，那么在M點(diǎn)處流體的質(zhì)量通量就是ρ·u

？如果u在x,y,z方向上的分速度分別為ux，uy和uz，

那么ρ·u

在x,y,z三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量分別為ρux，ρuy，ρuz。根據(jù)質(zhì)量守恒定律，對(duì)所選取的微元控制體進(jìn)行微分質(zhì)量衡算，有2023/4/2611第11頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（流入的質(zhì)量流率）－（流出的質(zhì)量流率）＝（質(zhì)量變化速率）x方向上流入的質(zhì)量流率：x方向上流出的質(zhì)量流率：在x方向上的凈質(zhì)量流率為2023/4/2612第12頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日同理，在y方向和z方向上的凈質(zhì)量流率分別為因?yàn)槲⒃刂企w內(nèi)任一時(shí)刻流體的的質(zhì)量為因此，微元體內(nèi)質(zhì)量變化速率為由于（流入的質(zhì)量流率）－（流出的質(zhì)量流率）＝（質(zhì)量變化速率）所以有2023/4/2613第13頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日移項(xiàng)得，二、連續(xù)性微分方程的分析將連續(xù)性微分方程展開(kāi)，得可以看出，上式的前四項(xiàng)為密度的隨體導(dǎo)數(shù)，即Dρ/Dt引入漢密爾頓算符:,則有連續(xù)性方程可以簡(jiǎn)化為2023/4/2614第14頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日將上式對(duì)時(shí)間求隨體導(dǎo)數(shù)有定義為比容，即單位質(zhì)量的物體所占據(jù)的體積。從定義可知和互為倒數(shù)，即上式兩邊同除以ρυ將其帶入方程中，得2023/4/2615第15頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日上式的左邊表示流體微元的體積膨脹速率或變形速率上式的右邊表示速度的向量散度，它等于流體微元在三個(gè)坐標(biāo)軸方向上線性形變速率之和。在某些特定情況下，連續(xù)性方程還可以簡(jiǎn)化，例如對(duì)于穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，所以，連續(xù)性方程可以簡(jiǎn)化為2023/4/2616第16頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日對(duì)于不可壓縮流體，由于密度是一個(gè)常數(shù)，所以連續(xù)性方程可簡(jiǎn)化為寫(xiě)成向量形式為在研究傳遞現(xiàn)象過(guò)程中遇到的流體大多為不可壓縮流體，因此上式是傳遞現(xiàn)象研究中最基本和最重要的方程之一。2023/4/2617第17頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日柱坐標(biāo)下的連續(xù)性方程r——為徑向距離θ——為方位角z——為軸向距離2023/4/2618第18頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日球坐標(biāo)下的連續(xù)性方程r——為徑向距離θ

——為余緯度Ф

——為方位角2023/4/2619第19頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日三、多組分體系的連續(xù)性方程前面講的連續(xù)性微分方程是單組分的連續(xù)性方程，沒(méi)有考慮多組分相互擴(kuò)散的影響。當(dāng)流體中存在多種組分的濃度梯度時(shí)，這時(shí)質(zhì)量傳遞要用多組分連續(xù)性方程來(lái)描述。與單組分的連續(xù)性方程不同的是在多組分連續(xù)性方程中，物質(zhì)濃度的變化除了由于流體流動(dòng)造成的外擴(kuò)散以外，還有由于分子熱運(yùn)動(dòng)所導(dǎo)致的內(nèi)擴(kuò)散，以及體系內(nèi)部由于可能出現(xiàn)的化學(xué)反應(yīng)導(dǎo)致的物質(zhì)的生成或消耗。因此，多組分連續(xù)性方程中要比單組分的連續(xù)性方程多出一個(gè)分子擴(kuò)散項(xiàng)和化學(xué)反應(yīng)項(xiàng)。1、多組分體系連續(xù)性方程的建立2023/4/2620第20頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日由分子擴(kuò)散導(dǎo)致的A組分濃度變化速率可用來(lái)表示式中jA為A組分的擴(kuò)散通量，為擴(kuò)散通量隨位置變量變化率的全微分，即擴(kuò)散通量的向量散度。考慮到分子擴(kuò)散造成的質(zhì)量傳遞速率的變化，對(duì)組分A而言，其連續(xù)性方程就可以寫(xiě)作如果體系中還有A參與的化學(xué)反應(yīng)，則A組分的連續(xù)性方程需要進(jìn)一步改寫(xiě)為式中，rA表示單位體積由于化學(xué)反應(yīng)引起的A的質(zhì)量變化速率。這里規(guī)定A生成，rA取正值；A消耗，rA取負(fù)值2023/4/2621第21頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日將菲克擴(kuò)散定律的表達(dá)式

帶入上式，有2、多組分體系連續(xù)性方程的簡(jiǎn)化對(duì)于不可壓縮流體，若不存在化學(xué)反應(yīng)，則上式可簡(jiǎn)化為：若參與傳質(zhì)的介質(zhì)不運(yùn)動(dòng)(如固體或靜止流體)，則隨體導(dǎo)數(shù)變?yōu)槠珜?dǎo)數(shù)，于是上式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為此即為費(fèi)克第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。2023/4/2622第22頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日在此基礎(chǔ)上，若傳質(zhì)過(guò)程達(dá)到穩(wěn)態(tài)，則上述方程可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：此即為固體或靜止流體穩(wěn)態(tài)傳質(zhì)的拉普拉斯方程。3、多組分體系連續(xù)性方程的其它形式柱坐標(biāo)系下多組分體系中A組分的的質(zhì)量傳遞微分方程為球坐標(biāo)系下多組分體系中A組分的的質(zhì)量傳遞微分方程為2023/4/2623第23頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日流體的動(dòng)量傳遞微分方程又稱為運(yùn)動(dòng)方程，它是通過(guò)對(duì)流體微元進(jìn)行動(dòng)量微分衡算得到的，其依據(jù)為牛頓第二定律，即動(dòng)量守恒定律，推導(dǎo)是采用的觀點(diǎn)是拉格朗日觀點(diǎn)。一、動(dòng)量傳遞微分方程的推導(dǎo)（一）動(dòng)量守恒定律在流體微元上的應(yīng)用根據(jù)牛頓第二定律，作用在流體微元上的合外力可表示為即流體微元所受到的合外力等于流體微元的動(dòng)量隨時(shí)間的變化率推導(dǎo)過(guò)程采用拉格朗日觀點(diǎn)，從流場(chǎng)中選取一個(gè)固定質(zhì)量的流體微元，考察該流體微元隨周?chē)黧w一起流動(dòng)時(shí)的動(dòng)量變化情況。第三節(jié)動(dòng)量傳遞微分方程2023/4/2624第24頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日在流場(chǎng)中選取一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為dx,dy,dz

的流體微元，該微元體的體積dV=dxdydz,注意其體積和位置是可以隨時(shí)間變化的，對(duì)該流體微元應(yīng)用牛頓第二定律有，由于力和速度都是向量，上式為一向量方程，其在x,y,z三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的分量為注意：這里為什么要用隨體導(dǎo)數(shù)?2023/4/2625第25頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（二）作用在流體微元上的外力分析1、體積力（Bodyforce）體積力是作用在物體整體上的外力，也稱為質(zhì)量力，它的大小與物體的質(zhì)量成正比。體積力在本質(zhì)上是一種非接觸力，比如萬(wàn)有引力、電磁力等。體積力以FB來(lái)表示。如果用fB表示單位質(zhì)量的流體受到的體積力，那么流體微元受到的體積力dFB為若fB

在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量分別為X、Y、Z，則dFB在x,y,z三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的分量為

2023/4/2626第26頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2、表面力（Surfaceforce）單位面積上的表面力定義為表面應(yīng)力或機(jī)械應(yīng)力，一般以τ來(lái)表示。相應(yīng)地表面應(yīng)力也可分為壓應(yīng)力和剪應(yīng)力。表面應(yīng)力的表示方法：表面應(yīng)力分量有兩個(gè)下標(biāo)，例如τxy，第一個(gè)下標(biāo)表示與應(yīng)力作用面相垂直的坐標(biāo)軸，第二個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力的作用方向。從對(duì)應(yīng)力下標(biāo)的定義可知，當(dāng)兩個(gè)下標(biāo)相同時(shí)，τ表示的是壓應(yīng)力；當(dāng)兩個(gè)下標(biāo)不同時(shí)，τ表示的是剪應(yīng)力。作用在物體表面上的力，又稱機(jī)械力，表面力本質(zhì)上是一種接觸力，以FS來(lái)表示。表面力有兩種，一種是垂直作用在物體表面上的力，稱為正壓力或法向力；另一種是平行作用在物體表面上的力，稱為切向力或剪切力。2023/4/2627第27頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日下面以x方向?yàn)槔疾炝黧w微元受到的表面力如右圖所示，流體微元在x方向上受到6個(gè)表面應(yīng)力的作用，其中2個(gè)為壓應(yīng)力，4個(gè)為剪應(yīng)力。以dFsx表示流體微元在x方向上受到的表面力之和，那么2023/4/2628第28頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（三）用應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程由于作用在流體微元上的合外力為體積力和表面力之和，即而根據(jù)牛頓第二定律，所以有，上式即為x方向上以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程。2023/4/2629第29頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日同理，可以推導(dǎo)出在y，z方向上以應(yīng)力表示的動(dòng)量衡算方程分別為：y方向z方向上述3個(gè)方程中一共有9個(gè)應(yīng)力，分別為τxx、τxy、τyx、τyy、τxz、τzx、τzz、τzy、τyz。寫(xiě)成矩陣的形式為：2023/4/2630第30頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日可以證明，這個(gè)矩陣是對(duì)稱陣，即證明如下：取一個(gè)長(zhǎng)寬高分別為dx,dy,dz流體微元，以其中心作為坐標(biāo)原點(diǎn)，考察在xoy截面上，流體微元受到的剪應(yīng)力狀況，如右圖所示，流體微團(tuán)受到4個(gè)剪應(yīng)力的作用，在剪應(yīng)力的作用下流體微團(tuán)將發(fā)生旋轉(zhuǎn)。（壓應(yīng)力由于通過(guò)流體微元的中心，因此不會(huì)使流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)）這里規(guī)定力矩逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)由力矩平衡可得：2023/4/2631第31頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日化簡(jiǎn)可得同理在其它截面上有：由此可見(jiàn)在上述9個(gè)表面應(yīng)力中只有6個(gè)是獨(dú)立的，但這6個(gè)獨(dú)立變量都是未知量，而方程只有3個(gè)。因此要想使方程能夠求解，需要知道它們與已知量或與方程中其它未知量之間的關(guān)系。由于表面應(yīng)力跟速度梯度有關(guān)系，因此應(yīng)該將表面應(yīng)力與速度梯度聯(lián)系起來(lái)。2023/4/2632第32頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（四）牛頓流體的應(yīng)力－速度梯度關(guān)系方程前已述及，對(duì)于牛頓型流體的一維流動(dòng)，在平行于流動(dòng)方向上的切向力與速度梯度之間的關(guān)系為：對(duì)于三維流動(dòng)，每一切向力與其相應(yīng)的兩個(gè)方向上的速度梯度有關(guān)，其關(guān)系為牛頓型流體剪應(yīng)力－速度梯度關(guān)系方程1、牛頓流體剪應(yīng)力－速度梯度關(guān)系方程2023/4/2633第33頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2、牛頓型流體壓應(yīng)力－速度梯度關(guān)系方程對(duì)于靜止流體，壓應(yīng)力與靜壓力大小相等，方向相反。但對(duì)于流動(dòng)流體，壓應(yīng)力除了包括靜壓力以外，還有一部分壓應(yīng)力是由流體的粘性引起的，它使流體微元承受拉伸或壓縮，發(fā)生線性形變。直角坐標(biāo)系下，各壓應(yīng)力和流體的速度梯度關(guān)系如下：牛頓型流體壓應(yīng)力－速度梯度關(guān)系方程x方向y方向z方向2023/4/2634第34頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日現(xiàn)在把牛頓型流體的壓應(yīng)力和剪應(yīng)力與速度梯度的關(guān)系帶入到用應(yīng)力表示的動(dòng)量衡算方程中，經(jīng)化簡(jiǎn)以后就得到了流體運(yùn)動(dòng)方程的最終形式：x方向y方向z方向?qū)⒁陨先綄?xiě)成向量形式為：上式即為牛頓流體的運(yùn)動(dòng)方程，也稱為奈維－斯托克斯方程，該式對(duì)于穩(wěn)態(tài)流動(dòng)或非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)、可壓縮流體或不可壓縮流體、理想流體或非理想流體均適用，但不適用于非牛頓流體？2023/4/2635第35頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、動(dòng)量傳遞微分方程的簡(jiǎn)化1、不可壓縮流體的運(yùn)動(dòng)方程由于不可壓縮流體的連續(xù)性方程為所以運(yùn)動(dòng)方程2、理想流體的運(yùn)動(dòng)方程什么是理想流體？就可以簡(jiǎn)化為2023/4/2636第36頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日r方向θ方向z方向三、其它坐標(biāo)系下的動(dòng)量傳遞微分方程柱坐標(biāo)下不可壓縮流體的運(yùn)動(dòng)方程r——為徑向距離θ——為方位角z——為軸向距離與連續(xù)方程一樣，在某些情況下采用柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)表示的奈維－斯托克斯方程更為簡(jiǎn)便、直觀。2023/4/2637第37頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日球坐標(biāo)系下不可壓縮流體的奈維－斯托克斯方程r——為徑向距離θ

——為余緯度φ

——為方位角r方向分量θ方向分量φ方向分量其中，2023/4/2638第38頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日四、對(duì)動(dòng)量傳遞微分方程的分析（一）方程的可解性以直角坐標(biāo)系下的奈維斯托克斯方程為例，對(duì)于等溫流動(dòng)(μ

=常數(shù))，方程中共有5個(gè)未知數(shù)，而運(yùn)動(dòng)方程只有3個(gè)，加上一個(gè)連續(xù)性方程和一個(gè)流體流動(dòng)狀態(tài)方程f(ρ,p)=0，這樣5個(gè)方程、5個(gè)未知數(shù)，因此，從理論上講方程是可解的。但實(shí)際上，由于方程組的非線性和邊界條件的復(fù)雜性，到目前為止，還無(wú)法將奈維－斯托克斯方程的普遍形式的解求出，只能針對(duì)某些特定的簡(jiǎn)單情況才可能求得其解析解。奈維－斯托克斯方程描述的是任意瞬時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。原則上講，方程既適用于層流也適用于湍流，但實(shí)際上，該方程只能直接應(yīng)用于層流，而不能直接地用于求解湍流問(wèn)題。2023/4/2639第39頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（二）方程中重力項(xiàng)的處理對(duì)于大多數(shù)的實(shí)際問(wèn)題，流體受到的體積力只是重力，即fB=g。當(dāng)流體為不可壓縮流體時(shí)，重力這一體積力與流體的靜壓力有著密切的關(guān)系。對(duì)于靜止的不可壓縮流體，直角坐標(biāo)系下的奈維－斯托克斯方程當(dāng)流體流動(dòng)時(shí)，流體內(nèi)部的壓力除了靜壓力外，還有一項(xiàng)動(dòng)壓力，即推動(dòng)流體向前流動(dòng)所需要的壓力，用pd來(lái)表示。這時(shí)，將其帶入奈維－斯托克斯方程得ps——流體的靜壓力可以簡(jiǎn)化為：2023/4/2640第40頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日這樣，以動(dòng)壓力梯度表示的運(yùn)動(dòng)方程中將不出現(xiàn)重力項(xiàng)，從而簡(jiǎn)化了對(duì)方程的求解。從物理意義上講，靜壓力由重力引起，因此靜壓力與重力剛好相互抵消，這時(shí)運(yùn)動(dòng)方程中的各項(xiàng)就都只與流體流動(dòng)有關(guān)。引入動(dòng)壓力可以使方程中不出現(xiàn)重力項(xiàng)，但這并不意味著重力在任何情況下都不會(huì)對(duì)流體流動(dòng)產(chǎn)生影響。因?yàn)橹亓?xiàng)雖然在方程中可能不出現(xiàn)，但在邊界條件中有可能出現(xiàn)。這里分兩種情形進(jìn)行考慮：（1）如果在邊界條件中只包含有速度項(xiàng)而不含有壓力項(xiàng)，直接利用上式求解時(shí)將不會(huì)出現(xiàn)重力項(xiàng)。在此情況下可以認(rèn)為重力的存在不會(huì)對(duì)流體的流動(dòng)造成影響，比如在封閉管道中流體流動(dòng)問(wèn)題。（2）如果在邊界條件中含有壓力項(xiàng)，利用上式求解時(shí)將會(huì)出現(xiàn)重力項(xiàng)（即

ps

項(xiàng)），這時(shí)重力項(xiàng)通過(guò)邊界條件又重新出現(xiàn)了，它將對(duì)流體流動(dòng)起作用，比如具有自由表面的流體流動(dòng)問(wèn)題。最后指出，以動(dòng)壓力梯度表示的流體運(yùn)動(dòng)方程僅適用于不可壓縮流體2023/4/2641第41頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第四節(jié)能量傳遞微分方程一、能量傳遞微分方程的推導(dǎo)能量傳遞微分方程又稱能量方程，它是以熱力學(xué)第一定律，即能量轉(zhuǎn)化與守恒定律為理論依據(jù)推導(dǎo)出來(lái)的。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，在某個(gè)過(guò)程中，系統(tǒng)總能量的變化等于系統(tǒng)所吸收的熱與系統(tǒng)對(duì)環(huán)境所做的功之差，用公式表示為

——單位質(zhì)量的流體所具有的動(dòng)能gz——單位質(zhì)量的流體所具有的勢(shì)能U

——單位質(zhì)量的流體所具有的內(nèi)能

——單位質(zhì)量的流體所吸收的熱

——單位質(zhì)量的流體對(duì)環(huán)境所做的功2023/4/2642第42頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日下面采用拉格朗日觀點(diǎn)推導(dǎo)能量傳遞微分方程。按照拉格朗日觀點(diǎn)，在流體中任選一具有固定質(zhì)量的微元體，在整個(gè)流動(dòng)過(guò)程中，令此微元體在流體中隨波逐流，觀察者隨著流體微元一起運(yùn)動(dòng)，考察在此過(guò)程中的能量轉(zhuǎn)換情況。由于流體微元在做隨波逐流的運(yùn)動(dòng)，因此該流體微元與周?chē)黧w之間沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，故動(dòng)能變化為零，同時(shí)該流體微元與周?chē)黧w之間也無(wú)相對(duì)位置變化，因此位能變化也為零。故流體微元的總能量中只有內(nèi)能發(fā)生了變化。流體微元對(duì)環(huán)境所做的功可以用表面應(yīng)力對(duì)流體微元所做的功來(lái)表示，只不過(guò)這時(shí)需要在前面加一個(gè)負(fù)號(hào)。這樣將熱力學(xué)第一定律應(yīng)用于流體微元就有：（流體微元的內(nèi)能增長(zhǎng)速率）＝（流入流體微元的熱流率）＋（表面應(yīng)力對(duì)流體微元的做功速率）2023/4/2643第43頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日W——表面力對(duì)單位質(zhì)量的流體所做的功。流體微元的內(nèi)能變化速率加入流體微元的熱流速率表面應(yīng)力對(duì)流體微元的做功速率注意：這里的導(dǎo)數(shù)為什么要用隨體導(dǎo)數(shù)？下面分別對(duì)上式中各項(xiàng)能量傳遞速率加以分析：1、流入流體微元的能量速率流入流體微元的能量有三種：一種為環(huán)境流體以導(dǎo)熱方式傳入微元體的熱流，另一種為流體微元的自身發(fā)熱速率（比如有化學(xué)反應(yīng)或核反應(yīng)等就會(huì)有能量變化），還有一種為輻射傳熱，不過(guò)由于輻射傳熱在通常溫度下一般很小，可以忽略不計(jì)。（1）以導(dǎo)熱方式流入微元體的能量速率用公式可表示為2023/4/2644第44頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日設(shè)沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向流入微元體的熱通量分別為：qx、qy、qz，并假定微元體的熱傳導(dǎo)是各向同性的，則沿x方向流入微元體的熱流率為沿x方向流出微元體的熱流率為所以，沿x方向輸入微元體的凈熱流率為同理，沿y方向和z方向輸入微元體的凈熱流率為和2023/4/2645第45頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日所以，在三個(gè)方向上以導(dǎo)熱方式輸入流體微元的總熱流率為（2）微元體自身的放熱速率以q來(lái)表示單位體積的流體微元內(nèi)部放熱速率，故流體微元的放熱速率為所以，進(jìn)入流體微元的熱流率如果是各向同性導(dǎo)熱，將傅立葉導(dǎo)熱定律帶入有2023/4/2646第46頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2、表面應(yīng)力對(duì)流體微元所做的功表面應(yīng)力有法向力和切向力兩種，共9個(gè)力，在這些應(yīng)力的作用下，流體微元將發(fā)生體積變化（如膨脹和壓縮）和形狀變化（扭曲變形）。下面對(duì)法向應(yīng)力和切向應(yīng)力對(duì)流體微元做的功分別加以討論。（1）法向應(yīng)力對(duì)流體微元所做的功在法向應(yīng)力的作用下，流體微元將發(fā)生膨脹和壓縮，流體微元的體積應(yīng)變速率可以用

來(lái)表示，根據(jù)連續(xù)性方程此膨脹速率＝▽·u，因此壓應(yīng)力對(duì)流體微元所做的膨脹功為，此處的負(fù)號(hào)表示壓力的方向與流體微元表面的壓應(yīng)力的方向相反。（2）切向應(yīng)力對(duì)流體微元所做的功在切向應(yīng)力的作用下，流體內(nèi)部將產(chǎn)生摩擦熱（切向力即摩擦剪應(yīng)力，它是由流體的粘性引起的，因此也稱為粘性力）。如果令單位體積流體微元摩擦生熱速率為Φ

（稱為散逸熱速率，單位與q相同，均為J/(m3·s)，這樣流體微元因粘性力而做功的速率為2023/4/2647第47頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日這樣表面應(yīng)力對(duì)流體微元的做功速率即為流體壓應(yīng)力和剪應(yīng)力所的做功速率之和，即該方程即為能量方程（能量傳遞微分方程）的普遍形式，式中各項(xiàng)均表示單位體積的流體能量變化速率，單位均為J/(m3·s)而2023/4/2648第48頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日寫(xiě)成向量形式為二、能量方程的化簡(jiǎn)（一）對(duì)于不可壓縮流體這時(shí)，由連續(xù)性方程可知，▽·u＝0，所以能量方程可以簡(jiǎn)化為一般情況下，除了高粘度的流體或高速運(yùn)動(dòng)的流體外，摩擦熱Φ很小，通?？梢院雎圆挥?jì)，即φ=0，這時(shí)能量方程可簡(jiǎn)化為如果流體沒(méi)有內(nèi)熱源，或雖有化學(xué)反應(yīng)但熱效應(yīng)不大，即q可視為零，這時(shí)能量方程可再次簡(jiǎn)化為2023/4/2649第49頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日根據(jù)U的定義有，cv為恒容熱容，對(duì)于不可壓縮流體或固體，cv≈

cp，將其帶入上式并在直角坐標(biāo)系下展開(kāi)有上式兩邊同除以得，2023/4/2650第50頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（二）固體導(dǎo)熱由于固體中物質(zhì)沒(méi)有宏觀運(yùn)動(dòng)，因此各速度項(xiàng)為零，即ux=uy

=uz

=0。所以能量方程中的所有隨體導(dǎo)數(shù)就都變成了偏導(dǎo)數(shù)。即，由于固體不可壓縮，所以▽·u＝0，同時(shí)內(nèi)部沒(méi)有流動(dòng)，摩擦熱φ

＝0，這樣能量傳遞微分方程或就可以簡(jiǎn)化為2023/4/2651第51頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日上式兩邊同除以得，上式即為有內(nèi)熱源的固體熱傳導(dǎo)方程如果固體中沒(méi)有內(nèi)熱源，即q＝0，該方程還可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為該方程即為傅立葉第二導(dǎo)熱定律的表達(dá)式，也被稱為傅立葉場(chǎng)方程，它描述的是無(wú)內(nèi)熱源的固體三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題。如果固體導(dǎo)熱不僅沒(méi)有內(nèi)熱源，而且是穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，這時(shí)熱傳導(dǎo)方程可以簡(jiǎn)化為：該方程稱為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的拉普拉斯(Laplace)方程2023/4/2652第52頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日如果固體導(dǎo)熱為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，但有內(nèi)熱源，這時(shí)能量方程可簡(jiǎn)化為或者該方程稱為泊松(Poisson)方程2023/4/2653第53頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日三、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下的能量方程（一）柱坐標(biāo)系下的能量方程對(duì)于不可壓縮流體、摩擦熱可以忽略、且無(wú)內(nèi)熱源時(shí)，柱坐標(biāo)系下的能量方程為其中：r——為徑向距離；θ——為方位角；z——為軸向距離（二）球坐標(biāo)系下的能量方程對(duì)于不可壓縮流體、摩擦熱可以忽略、且無(wú)內(nèi)熱源時(shí)，球坐標(biāo)系下的能量方程為其中：r——為徑向距離；θ

——為余緯度；φ

——為方位角2023/4/2654第54頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第5節(jié)定解條件方程的定解條件包括初始條件和邊界條件。5.1初始條件初始條件就是當(dāng)初始時(shí)刻時(shí)，傳遞現(xiàn)象微分方程中各物理量所處的狀態(tài)，如在直角坐標(biāo)系下的速度、壓力和密度、溫度的初始條件可表示為：2023/4/2655第55頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日5.2邊界條件5.2.1固體壁面處的速度條件對(duì)于粘性流體，由于流體粘附于固體壁面上，所以壁面上某一點(diǎn)流體的速度就是壁面上該點(diǎn)的速度。如果固體壁面是由多孔介質(zhì)組成的（例如固體催化劑、分子篩和某些膜），流體可穿過(guò)介質(zhì)的孔進(jìn)行滲透，此時(shí)，流體在壁面處的切向速度分量等于零，而與固體壁面相垂直的法向速度分量等于流體穿過(guò)壁面的速度。理想流體的粘性力為零，因此，流體不會(huì)粘附在固體壁面上，流體在壁面上的切向速度不為零，即理想流體會(huì)在固體壁面上滑脫。2023/4/2656第56頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期日5.2.2固體壁面處的溫度條件⑴若固體表面是絕熱的，則在固體壁面處法線方向溫度梯度為零。⑵若固體壁面是等溫的，則在固體壁面處，T=Tw，Tw為固體壁面的溫度。⑶對(duì)于由多孔介質(zhì)組成的固體壁