人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)B版必修4基本初等函任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)的定義

案例2：1．2．1三角函數(shù)的定義一、教學(xué)目標(biāo)1．知識目標(biāo)：(1)讓學(xué)生理解任意角的三角函數(shù)的定義；了解終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等；(2)掌握三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義域；2．能力目標(biāo)：(1)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用圖形分析數(shù)學(xué)問題的能力；(2)學(xué)會運(yùn)用任意角三角函數(shù)的定義求相關(guān)角的三角函數(shù)值；(3)樹立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)．3．情感目標(biāo)：通過三角函數(shù)定義的學(xué)習(xí)，體會同一角的三角函數(shù)值，不因在其終邊上取點(diǎn)的變化而變化，從而啟示我們在研究問題時(shí)，能在千變?nèi)f化中，抓住事物的本質(zhì)屬性，不被表面現(xiàn)象所迷惑，從中體會三角函數(shù)，像一般實(shí)函數(shù)一樣，體現(xiàn)了一般函數(shù)的抽象美．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)任意角的三角函數(shù)定義既是本節(jié)的重點(diǎn)又是難點(diǎn)內(nèi)容，另外三角函數(shù)的定義域，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值、判定三角函數(shù)值的符號也是本節(jié)的重點(diǎn)．三、教學(xué)方法(1)通過三角函數(shù)定義的變化：從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)，由邊的比變?yōu)樽鴺?biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比，使學(xué)生在理解、掌握定義的基礎(chǔ)上，加深特殊與一般關(guān)系的理解．(2)通過對定義的剖析，使學(xué)生對正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域有比較深刻的認(rèn)識，達(dá)到突破難點(diǎn)的目的．四、教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)引入角的概念．初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)的定義．教師運(yùn)用多媒體展示在初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的定義．師：前面我們對角的概念進(jìn)行了擴(kuò)充，并學(xué)習(xí)了弧度制，知道角的集合與實(shí)數(shù)集是一一對應(yīng)的，在這個(gè)基礎(chǔ)上，今天我們來研究任意角的三角函數(shù)．共同回顧，點(diǎn)明主題．概念形成1．用坐標(biāo)的形式表示出初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)：設(shè)點(diǎn)P(，y)是銳角終邊上的任意一點(diǎn)，記OP=r(r≠O)，則sin=cos=．Tan=．2．任意角的三角函數(shù)：(1)確立任意角在直角坐標(biāo)系中的位置；以坐標(biāo)原點(diǎn)為角的頂點(diǎn)，以O(shè)軸的正方向?yàn)榻堑氖歼叄?2)點(diǎn)P(，y)是角終邊上任意一點(diǎn)，OP=r(r≠O)根據(jù)三角形的相似知識得到，，均為定值．(3)定義三角函數(shù)如下：叫做角的余弦，記作cos，即cos=；叫做角的正弦，記作sin，即sin=；1．以坐標(biāo)原點(diǎn)為銳角的頂點(diǎn)，以O(shè)軸為角的始邊，則角的終邊落在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，若設(shè)點(diǎn)P(，y)是終邊上的任意一點(diǎn)，記OP=r(r≠0)，試將角的三角函數(shù)用，y，r表示出來．學(xué)生作圖，教師在此過程中要引導(dǎo)學(xué)生在坐標(biāo)系中作出符合銳角三角函數(shù)定義要求的直角三角形．該過程中要適時(shí)指點(diǎn)學(xué)生，并加強(qiáng)學(xué)生與學(xué)生之間的討論與交流．回答問題：教師通過多媒體將此過程展示給學(xué)生，明確坐標(biāo)與三角函數(shù)的關(guān)系．2．教師提出問題：問題1：根據(jù)剛才我們在直角坐標(biāo)系中討論的銳角三角函數(shù)，你能給出任意角的三角函數(shù)定義嗎?教師一邊鼓勵學(xué)生大膽說出自己的想法，一邊組織學(xué)生分組討論，并及時(shí)肯定．回答問題：通過鼓勵和肯定一些好的想法，讓一位能代表大多數(shù)持一致意見的學(xué)生主動地說出自己對任意角三角函數(shù)的定義．1．將初中定義的銳角三角函數(shù)放到坐標(biāo)系中討論，指明研究函數(shù)問題的工具，完成從三角形到坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化，為后面在直角坐標(biāo)系中定義任意角的三角函數(shù)搭建平臺．2．通過對比，讓學(xué)生對知識進(jìn)行類比、遷移及聯(lián)想，樹立他們勇于探索的信心．通過分組討論，加強(qiáng)學(xué)生間的交流與合作，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性．教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計(jì)意圖概念形成吾叫做角的正切，記作tan，即tan=．(4)角的其他三種三角函數(shù)：角a的正割：sec==角的余扎csc==；角的余切：cot==問題2：角的三角函數(shù)值不受終邊上的點(diǎn)P的位置的影響嗎?這是一個(gè)較有思考價(jià)值的問題，教師要注意正確地引導(dǎo)和必要地提示，銳角三角函數(shù)的大小僅與銳角的大小有關(guān)，與直角三角形的大小無關(guān)．類似地……(留給學(xué)生思考)教師邊引導(dǎo)，邊結(jié)合多媒體演示．問題3：依據(jù)函數(shù)的定義，這幾個(gè)比值可以分別構(gòu)成函數(shù)嗎?若能構(gòu)成，它們的自變量是什么?還是y?r還是角?概念深化1．角是“任意角”，當(dāng)=+(∈Z)時(shí)，與的同名三角函數(shù)值應(yīng)該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值都相等．2．定義中只說怎樣的比值叫做的什么函數(shù)，并沒有說的終邊在什么位置(終邊在坐標(biāo)軸上的除外)，即函數(shù)的定義與口的終邊位置無關(guān)．實(shí)際上，如果終邊在坐標(biāo)軸上，上述定義同樣適用．3．三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù)．4．對于正弦函數(shù)sin=，因?yàn)閞>0，所以恒有意義，即取任意實(shí)數(shù)，恒有意義，也就是說sin恒有意義，所以正弦函數(shù)的定義域是R；類似地可寫出余弦函數(shù)的定義域；對于正切函數(shù)tan=，因?yàn)?0時(shí)，無意義，即tan=無意義，又當(dāng)且僅當(dāng)角的終邊落在縱軸上時(shí)，才有=O，所以當(dāng)?shù)慕K邊不在縱軸上時(shí)，恒有對于第1到第3點(diǎn)教師要點(diǎn)撥，學(xué)生思考．對于第4點(diǎn)教師提出問題：談到函數(shù)，定義域要先行．在此，對三角函數(shù)的定義域要進(jìn)一步地明確，確定三角函數(shù)的定義域的依據(jù)就是任意角的三角函數(shù)的定義．三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，如何去確定這些函數(shù)定義域(即限定角的范圍)，它們的定義域是什么?由學(xué)生討論回答．1．讓學(xué)生明確定義是對任意角而言的，0P是角的終邊，至于是轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)的不清楚，也只有這樣，才能說明角是任意的．2．使學(xué)生明確任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別：任意角的三角函數(shù)包含銳角三角函數(shù)．實(shí)質(zhì)上銳角三角函數(shù)的定義與任意角的三角函數(shù)的定義是一致的，銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例．所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來定義的．3．讓學(xué)生掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域．教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計(jì)意圖概念形成‘_意義，即tan恒有意義，所以正切函數(shù)的定義域是≠+(∈Z)．從而有Y=sin，∈R，y=cos，∈R，y=tan，≠+(∈Z)．應(yīng)用卷例例1已知角的終邊過點(diǎn)P(2，一3)，求的六個(gè)三角函數(shù)值．例2求下列各角的六個(gè)三角函數(shù)值：(1)O；(2)；(3)．學(xué)生板演，教師對學(xué)生在解題思路和規(guī)范性方面進(jìn)行指導(dǎo)．讓學(xué)生鞏固六種三角函數(shù)的概念，感受三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用．熟記O到2范圍內(nèi)的某些特殊角的三角函數(shù)值．歸納小結(jié)l.知識：三角函數(shù)的定義及其定義域．2．?dāng)?shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合思想；類比法．，學(xué)生反思本節(jié)內(nèi)容，對知識進(jìn)行總結(jié)，教師對思想方法進(jìn)行提煉．