2022-2023學(xué)年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽精講及練習(xí)《輔助圓》

PAGE初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽精講及練習(xí)（66）輔助圓一、內(nèi)容提要經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)可以畫(huà)無(wú)數(shù)個(gè)圓；經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)作圓，必須是不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)，可以作一個(gè)圓，并且只能作一個(gè)圓.經(jīng)過(guò)四點(diǎn)作圓(即四點(diǎn)共圓)有如下的判定定理：到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等的所有的點(diǎn)在同一個(gè)圓上(圓的定義).一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形頂點(diǎn)在同一圓上.一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角的四邊形頂點(diǎn)共圓.同底同側(cè)頂角相等的三角形頂點(diǎn)共圓.推論：同斜邊的直角三角形頂點(diǎn)共圓(斜邊就是圓的直徑).畫(huà)出輔助圓就可以應(yīng)用圓的有關(guān)性質(zhì).常用的有：同弧所對(duì)的圓周角相等.圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角.圓心角(圓周角)、弧、弦、弦心距的等量關(guān)系.圓中成比例線(xiàn)段定理：相交弦定理，切割線(xiàn)定理.證明型如ab+cd=m2常用切割線(xiàn)定理二、例題例1.已知：點(diǎn)O是△ABC的外心，BE，CD是高.求證：AO⊥DE證明：延長(zhǎng)AO交△ABC的外接圓于F，連接BF.∵O是△ABC的外心∴AF是△ABC外接圓的直徑，∠ABF=Rt∠.∵BE，CD是高，∠BDC=∠CEB=Rt∠.∴B，C，E，D四點(diǎn)共圓(同斜邊的直角三角形頂點(diǎn)共圓)∴∠ADE=∠ECB=∠F.∴∠AGD=∠ABF=Rt∠，即AO⊥DE.例2.正方形ABCD的中心為O，面積為2022cm2，P為正方形內(nèi)的一點(diǎn)，且∠OPB=45，PA∶PB=5∶14，則PB=____cm.解：∵∠OPB=∠OAB=45∴ABOP四點(diǎn)共圓(同底同側(cè)頂角相等的三角形頂點(diǎn)共圓)∴∠APB=∠AOB=Rt∠.在Rt△APB中，設(shè)PA為5x，則PB是14x.∴(5x)2+(14x)2=2022.解得x=3,14x.＝42.∴PB=42(cm).例3.已知：平行四邊形ABCD中，CE⊥AB于E，AF⊥BC于F.求證：AB×AE+CB×CF=AC2.證明：作BG⊥AC交AC于G.∵CE⊥AB，AF⊥BC.∴A，F(xiàn)，B，G和B，E，C，G分別共圓.(對(duì)角互補(bǔ)的四邊形頂點(diǎn)共圓)根據(jù)切割線(xiàn)定理，得AB×AE=AG×ACCB×CF=CG×AC∴AB×AE+CB×CF=AC(AG+CG)=AC2.例4.已知：AD是Rt△ABC斜邊的高，角平分線(xiàn)BE交AD于F.求證：AE2=AB2－BE×BF.分析：根據(jù)同角的余角相等，可證AE=AF.由射影定理AB2=BD×BC.故只要證AE×AF＝BD×BC－BE×BF創(chuàng)造應(yīng)用切割線(xiàn)定理的條件，作△ABC的外接圓并延長(zhǎng)BE交圓于G，得F、D、C、G四點(diǎn)共圓.∴BD×BC=BF×BG.∴右邊=BF×BG.－BE×BF=BF(BG－BE)=BF×EG從而轉(zhuǎn)為要證AE×AF=BF×BG.即只要證△AEG∽△BFA……(證明由同學(xué)自已完成)例5已知：從⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的兩條切線(xiàn)PA，PB切點(diǎn)A和B，在AB上任取一點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作OC的垂線(xiàn)交PA于M，交PB于N.求證：OM=ON.證明：連結(jié)OA，OB.∵A，B是切點(diǎn)∴OA⊥PA，OB⊥PB.又∵OC⊥MN.∴A，M，C，O和B，N，O，C分別共圓.(輔助圓可以不畫(huà))根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得∠OAC=∠OMC，∠ONC=∠OBC.∵OA=OB，∴∠OAC=∠OBC.∴∠OMC=∠ONC，∴OM=ON.三、練習(xí)661.已知：AD是△ABC的高，DE，DF分別是△ADB和△ADC的高求證：B，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓2.已知：兩條線(xiàn)段AB和CD相交于點(diǎn)P，且PA×PB=PC×PD.求證：A，B，C，D四點(diǎn)共圓.3.已知：⊙O和⊙O，相交于A，B，過(guò)點(diǎn)A作一直線(xiàn)交⊙O于C，交⊙O，于D，分別過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)D作⊙O和⊙O，的切線(xiàn)相交于點(diǎn)P.求證：P，C，B，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.4.已知：E是正方形ABCD邊BC上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AE的垂線(xiàn)和∠C的外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)F.求證：AE=AF.5.已知：M是平行四邊形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M畫(huà)兩組對(duì)邊的垂線(xiàn)段分別交AB，CD于E，F(xiàn)交AD，BC于G，H.求證：EG∥FH.6.已知：△ABC的三條高AD，BE，CF交于點(diǎn)H.求證：BH×BE+CH×CF=BC2.7.已知：AB是⊙O的直徑，C是半圓上的一點(diǎn)，CD⊥AB于D，G是CD上的一點(diǎn)，AG的延長(zhǎng)線(xiàn)交半圓于H.求證：CD2+AD2=AG×AH.8.已知：AD是△ABC的角平分線(xiàn).求證：AD2=AB×AC.＝DB×DC9.已知：凸五邊形ABCDE中.∠A=3α，BC=CD=DE，∠C=∠D=180.＝2α.求證：AC，AD，AE三等分∠A.10.求證：圓上一點(diǎn)到圓內(nèi)接四邊形兩組對(duì)邊的距離的積相等11.求證：圓內(nèi)接四邊形兩組對(duì)邊積的和等于兩對(duì)角線(xiàn)的積(托列密定理)12.如圖已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD中，由AB上一點(diǎn)M作MP⊥BC，MQ⊥CD，MR⊥DA，PR交MQ于N.求證：.13.如圖已知：∠ACE=∠CDE=Rt∠，點(diǎn)B在CE上，CA=CB=CD，過(guò)A，C，D的圓交AB于F.求證：點(diǎn)F是△CDE的內(nèi)心13例題：1．某一出租車(chē)一天下午以鼓樓為出發(fā)地在東西方向營(yíng)運(yùn)，向東為正，向西為負(fù)，行車(chē)?yán)锍蹋▎挝唬簁m）依先后次序記錄如下：+9、3、5、+4、8、+6、3、6、4、+10。（1）將最后一名乘客送到目的地，出租車(chē)離鼓樓出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)？在鼓樓的什么方向？（2）若每千米的價(jià)格為2.4元，司機(jī)一個(gè)下午的營(yíng)業(yè)額是多少？解答：（1）0km，就在鼓樓；（2）139.2元。2.同學(xué)們都知道,|5－(－2)|表示5與－2之差的絕對(duì)值,實(shí)際上也可理解為5與－2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離。試探索：(1)求|5－(